一种证明隐函数存在定理的新方法

维普资讯 http://www.cqvip.com ２００８年６月　重庆文理学院学报（自然科学版）　Ｊｕｎ．，２００８　第２７卷第３期　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ａｒｔｓ　ａｎｄ　Ｓｃｉｅｎｅｅｓ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｅｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０ｌ＿２７　Ｎｏ．３　一种证明隐函数存在定理的新方法　张锦来　（朝阳师范高等专科学校数学系，辽宁朝阳１２２０００）　［摘要］本文给出隐函数存在定理的一种新的证明方法．此方法更简单且易于掌握．　［关键词］隐函数；存在性；证明　［中图分类号］０１７２［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７３—８０１２（２００８）０３—００３６—０２　证明隐函数存在定理一般采用几何方法或逐次逼近法…，证明比较繁琐，不易于掌握．文献［２］借　助多元函数的微分中值定理给出了一元隐函数存在定理的一个证明．本文给出一种更加简捷的证明　方法．　１　一元隐函数存在定理的内容　首先将一元隐函数存在定理叙述如下：　定理１　若函数Ｆ（ｘ，Ｙ）在矩形区域　：　。一６１，≤‘Ｘ≤　ｏ＋６１，，Ｙｏ—ｂ≤Ｙ≤Ｙｏ＋ｂ上有定义，并且　满足下列条件：　（１）Ｆ（Ｘ，Ｙ）在　上连续；　（２）Ｆ　（Ｘ，Ｙ），Ｆ　（Ｘ，Ｙ）在　上存在且连续；　（３）Ｆ（Ｘ。，Ｙｏ）＝０；　（４）Ｆ，　（　ｏ，Ｙｏ）≠０；　则：　１）在以Ｘ。为中心的某个小区间Ａ：Ｘ。一６≤Ｘ≤Ｘ。＋６上存在唯一连续隐函数Ｙ：　Ｘ）使Ｆ（ｘ，　Ｘ））　０，且Ｙ。＝　Ｘ。）；　２）函数　）在△上有连续导数，且厂（　）＝一　专暑舅．　２　定理的证明　证明　１）由条件（４）Ｆ　（Ｘ。，Ｙ。）≠０，不妨假设Ｆ　（Ｘ。，Ｙｏ）＞０（Ｆ　（　。，Ｙ。）＜０同样可证）。由条件　（１）、（２），Ｆ（ｘ，Ｙ）、Ｆ　（　，Ｙ）在　上连续，所以存在６＞０，使Ｆ（ｘ，Ｙ）、Ｆｙ　（　，Ｙ）在区域　：　。一６　≤　≤　ｏ＋６，Ｙｏ一６≤ｙ≤ｙｏ＋６（　ｃ　）上连续且Ｆ　（　，ｙ）＞０．由连续函数的性质，存在正数　ｍ，Ｍ使０＜ｍ≤Ｆ　（Ｘ，Ｙ）≤Ｍ．　在完备空间ｃ［　。一６，Ｘ。＋６］＝｛　Ｘ）为［Ｘ。一６，Ｘ。＋６］上的连续函数｝中作映射　：　ｒｆ＝ｆ一　１　Ｆ（　・以下证明　是压缩映射・　显然　是Ｃ［Ｘ。一６，Ｘ。＋６］的自映射，Ｖｆｌ（Ｘ）　（Ｘ）∈Ｃ［Ｘ。一　，Ｘ。＋６］．由微分中值定理得：　Ｉ（　）（　）一（　）（　）Ｉ＝Ｊ　（　）一　Ｆ（　（　））一　（　）＋　Ｆ（　（　））『＝　［收稿日期］２００８—０４—１６　［作者简介］张锦来（１９５９一），女，辽宁朝阳人，副教授，从事数学教学与研究　３６　维普资讯 http://www.cqvip.com

Ｊ　（　）一　（　）一　［Ｆ（　（　））一Ｆ（　（　））］Ｊ　　Ｉ（　）一　（　）一ｉ　Ｆ　，［　，　（　）（　（　）一　（　））＋　（　）］Ｅｌ２（　）一　（　）］Ｉ≤　ＩＡ（　）一　（　）Ｉ（１一　ｍ）：　ｌ　（　）一　（　）Ｉ，０＜　（　）＜１，０＜　＝（１一　Ｉ１１）＜ｌ，即７１是压　缩映射．　由Ｂａｎａｃｈ不动点原理，　有唯一的不动点－厂，即存在唯一的连续函数Ｙ＝－厂（　）∈Ｃ［Ｘ　～６，　，＋　６］，使（ｒｆ）（　）＝／（　），且ⅡＦ（　））一０．　由条件（３）Ｆ（　。，Ｙ。）＝０，又Ｆ（　。　。））；０，而与　。对应且满足Ｆ（　。，Ｙ）一０的Ｙ值唯一，所　以Ｙｏ＝－厂（　０）．　２）设　，　＋　是［　。一６，　。＋６］内任意两点，而Ｙ＋Ａｙ＝－厂（　＋Ａｘ），由隐函数定义　Ｆ（　，Ｙ）＝０，Ｆ（　＋Ａｘ，Ｙ＋Ａｙ）＝０，即Ｆ（　＋Ａｘ，Ｙ＋△ｙ）一Ｆ（　，Ｙ）＝０，从而：　Ｆ（　＋Ａｘ，Ｙ＋Ａｙ）一Ｆ（　，Ｙ＋Ａｙ）＋Ｆ（　，Ｙ＋Ａｙ）一Ｆ（　，Ｙ）＝０．　由微分中值定理有：　Ｆ　（　＋０ｌＡｘ，Ｙ＋Ａｙ）Ａｘ＋Ｆ　（　，Ｙ＋０２Ａｙ）Ａｙ＝０．　其中，０＜０，＜１，０＜０２＜１．　因为点（　，Ｙ＋０２Ａｙ）∈　，所以Ｆ　（　，Ｙ＋　２△ｙ）≠０．于是有：　△ｖ　Ｆ　（　＋０ｌ　Ａｘ，Ｙ＋△ｙ）　△　Ｆ　（　，Ｙ＋０２Ａｙ）　‘　令　一０，由于－厂（　）连续，所以△ｙ一０．　由条件（２）　（　，ｙ），Ｆ　（　，ｙ）连续，从而有ｌｉｍＡ＞０　ｍｘ＝一　ｘ等著　，即－厂（　）在［　。一６，　。＋６］有　连续导数，且厂（　）＝一　暑　．同理可证一个方程多个变量或多个方程多个变量的隐函数存在定　王单．　［参考文献］　［１］吉林师范大学数学系．数学分析讲义（下）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９７８：４０—５４　［２］周宗福，蒋威．隐函数存在定理的新证明［Ｊ］．大学数学，２００７（５）：１３７—１３８．　［３］沈燮昌．数学分析（第２册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８８：１４９—１５４．　［４］东北师范大学数学系．常微分方程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８６：１９５—２１８．　Ａ　Ｎｅｗ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　Ｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｏｎ　Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｉｍｐｌｉｃｉｔ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ＺＨＡＮＧ　Ｊｉｎ—ｌａｉ　ｔＭａｔｈ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ．Ｃｈａｏｙａｎｇ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｃｈａｏｙａｎｇ　Ｌｉａｏｎｉｎｇ　１２２０００，ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ａｒｔｉｃｌｅ　ｐｒｏｖｉｄｅ　ａ　ｎｅｗ　ｐｒｏｏｆ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｂｏｕｔ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｏｎ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｉｍｐｌｉｃｉｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉＳ　ｍｕｃｈ　ｓｉｍｐｌｅ　ａｎｄ　ｅａｓｙ　ｔｏ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｉｍｐｌｉｃｉｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ；ｐｒｏｏｆ　３７