一、阅读长题
【例】 探究一，模型再现：m条直线最多可以把平面分割成多少个部分？
如图①，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1+1=2(个)部分；所以1条直线最多可以把平面分割成2个部分；
如图②，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4(个)部分，所以2条直线最多可以把平面分割成4个部分；
如图③，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1+1+2+3=7(个)部分，所以3条直线最多可以把平面分割成7个部分； 平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+3+4=11(个)部分，所以4条直线最多可以把平面分割成11个部分； ……
图① 图② 图③
问题一：5条直线最多可以把平面分割成 个部分.
问题二：m条直线最多可以把平面分割成 个部分(用含m的代数式表示). 探究二，类比迁移：n个圆最多可以把平面分割成多少个部分？
如图④，很明显，平面中画出1个圆时，会得到1+1=2(个)部分,所以1个圆最多可以把平面分割成2个部分；
如图⑤，平面中画出第2个圆时，新增的一个圆与已知的1个圆最多有2个交点，这2个交点会把新增的这个圆分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4(个)部分，所以2个圆最多可以把平面分割成4个部分；
如图⑥，平面中画出第3个圆时，新增的一个圆与已知的2个圆最多有4个交点，这4个交点会把新增的这个圆分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+4=8(个)部分；
图④ 图⑤ 图⑥
平面中画出第4个圆时，新增的一个圆与已知的3个圆最多有6个交点，这6个交点会把新增的这个圆分成6部分，从而多出6个部分，即总共会得到1+1+2+4+6=14(个)部分； ……
问题三：5个圆最多可以把平面分割成 个部分.
问题四：n个圆最多可以把平面分割成 个部分(用含n的代数式表示).
问题五：如果n个圆最多可以把平面分割成508个部分，求n的值(要求写出解答过程). 探究三，拓展延伸：
问题六：5条直线和1个圆最多可以把平面分割成 个部分.
问题七：m条直线和n个圆最多可以把平面分割成 个部分(用含m,n的代数式表示). 解析：本题探究平面分割问题，直线与圆分割平面的探究方式是相同的，其本质都是先研究新增交点的个数，进而得到新增的平面部分的个数，再利用规律[1+2+3+…+m=
m(m+1)
2
]解决
具体问题. 对应训练
1.【问题】 用n边形的对角线把n边形分割成(n-2)个三角形，共有多少种不同的分割方案(n≥4)？
【探究】 为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论.不妨假设n边形的分割方案有f(n)种. 探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①、图②，显然只有2种不同的分割方案，所以f(4)=2.
图① 图②
探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？ 不妨把分割方案分成3类：
图③ 图④ 图⑤
第1类：如图③，用点E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f(4)种不同的分割方案，所以此类共有f(4)种不同的分割方案.
第2类：如图④，用点A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为f(4)种分割方案.
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第3类：如图⑤，用点A与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f(4)种不同的分割方案，所以此类共有f(4)种不同的分割方案.
综上，f(5)=f(4)+f(4)+f(4)=×f(4)=×f(4)=5(种).
2
2
4
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5
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探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？ 不妨把分割方案分成四类：
图⑥ 图⑦ 图⑧ 图⑨
第1类：如图⑥，用点F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有f(5)种不同的分割方案，所以此类共有f(5)种不同的分割方案.
第2类：如图⑦，用点A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f(4)种不同的分割方案，所以此类共有f(4)种分割方案.
第3类：如图⑧，用点A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f(4)种不同的分割方案，所以此类共有f(4)种分割方案.
第4类：如图⑨，用点A与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有f(5)种不同的分割方案，所以此类共有f(5)种分割方案.
综上，f(6)=f(5)+f(4)+f(4)+f(5)=f(5)+5f(5)+5f(5)+f(5)=5f(5)=14(种).
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则f(7)与f(6)的关系为： f(7)=6f(6)，共有 种不同的分割方案.
……
【结论】 用n边形的对角线把n边形分割成(n-2)个三角形，共有多少种不同的分割方案(n≥4)？[直接写出f(n)与f(n-1)之间的关系式，不写解答过程]. 【应用】 用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？(应用上述结论中的关系式求解.)
2.实际问题：现有n支队伍，每支队伍都有足够多的水平完全相同的队员，要从这n支队伍中抽调部分队员安排到一张有4个位置的方桌进行竞技比赛，4个位置可以出现来自于同一队伍的队员，为了防止他们作弊，需要避免同队的队员坐在相邻的座位上.那么，一共有多少种不同的安排方法？
( )
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2
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问题探究：
探究一：如果有两支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？
不妨设两支队伍分别为A，B.从①号位开始，我们有2种选择，即A队员或B队员，②③号位置都只有1种选择(另一支队伍的队员)，④号位也只有1种选择.这样就得到了2×1×1×1=2(种)，一共有两种不同的安排方法.
探究二：如果有3支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不
同的安排方法？
不妨设3支队伍分别为A，B，C.让我们运用上面的方法试试.①号位置有3种队员可以选择，即A队员、B队员或C队员，②③两个位置选择队员时，我们需要考虑两种不同的情形： 第1种：若②③号位队员来自同一队伍，则②号位有2种选择，③号位只有1种选择，④号位有2种选择，此时会有3×2×1×2=12(种)安排方法；
第2种：若②③号位队员来自不同的队伍，则②号位有2种选择，③号位只有1种选择，④号位也只有1种选择，此时会有3×2×1×1=6(种)安排方法.
把上述两种情况的结果加起来得到12+6=18(种)，即一共有18种不同的安排方法.
探究三：如果有4支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？(请按照前面的探究方法，描述如果有4支参赛队伍时，会有多少种结果的推算过程.)
归纳探究：如果有n支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？
无论有多少支参赛队伍，我们都要考虑两种情况：②③号位队员来自同一个队伍；②③号位队员来自不同的队伍.
如果有n支参赛队伍，①号位有 种队员可以选择，②号位有 种队员可以选择. 若②③号位队员来自同一队伍，则③号位只有1种选择，④号位有 种选择，这样我们就有 种安排方法(结果不需化简).
若②③号位队员来自不同队伍，则③号位有 种选择，④号位有 种选择，这样我们就有 种安排方法(结果不需化简).
结论：如果有n支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有 种不同的安排方法(结果不需化简).
二、动态几何题
【例】 如图，在矩形ABCD中，AB=24 cm，BC=16 cm， 点E为边CD的中点，连接BE，作EF⊥BE交AD于点F．点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为2 cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为3 cm/s．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t(s)(0＜t＜8)． 解答下列问题： (1)当t为何值时，点P在线段BQ的垂直平分线上？
(2)连接PQ，设五边形AFEPQ的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式.
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形AFEPQ∶S矩形ABCD=33∶64？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点Q在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AC⊥BC，DC=8 cm，AD=6 cm．点F从点A出发，以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；同时，点E从点B出发，以1 cm/s的速度沿BC向点C匀速运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t(s)． (1)求AB的长度.
(2)设四边形ACEF的面积为y(cm2)，求y与t的函数关系式.
(3)是否存在某一时刻t，使得四边形ACEF的面积是△ACD的面积的倍？若存在，求出此时
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t的值；若不存在，请说明理由．
(4)求t为何值时，△BEF为直角三角形．
2.如图，在矩形ABCD中，AB=8 cm，BC=6 cm，连接AC，点O为AC的中点，点E为边BC上的一个动点，连接OE，作OF⊥OE，交边AB于点F．已知点E从点B开始，以1 cm/s的速度在线段BC上移动，设运动时间为t(s)(0＜t＜6)．解答下列问题： (1)当t为何值时，OE∥AB ？
(2)连接EF，设△OEF的面积为y(cm2)，求y与t的函数关系式. (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S△OEF∶S矩形ABCD=51∶384？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
(4)连接OB，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OB恰好将△OEF分成面积比为1∶2的两部分？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
备用图①
备用图②
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