2019年初高中数学衔接精品课程专题13 一次函数、正比例函数、反比例函数的图像和性质(解析版)

一、知识点精讲 （一）平面直角坐标系

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点O称为直角坐标系的原点。 （二） 图形的对称 （1）轴对称图形：

①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。

（2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

（3）平面直角坐标系内的对称点：

设M(x1,y1)，M(x2,y2)是直角坐标系内的两点，

x1x2y①若M和M'关于轴对称，则有。

y1y2②若M和M'关于x轴对称，则有x1x2。

y1y2x1x2。

yy12x1y2。

yx12③若M和M'关于原点对称，则有④若M和M'关于直线yx对称，则有x1y2yx⑤若M和M'关于直线对称，则有。

yx12x12ax2x22ax1xa ⑥若M和M'关于直线对称，则有或yyyy1212（三）函数的图像和性质

1

（1）变量：因变量，自变量。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点表示自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 （2）一次函数：

①若两个变量y,x间的关系式可以表示成ykxb（b为常数，k不等于0）的形式，则称y是x的一次函数。

②当b=0时，称y是x的正比例函数。 （3）一次函数的图象及性质

①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，

当k0， bO时，则经2、3、4象限； 当k0，b0时，则经1、2、4象限； 当k0， b0时，则经1、3、4象限； 当k0， b0时，则经1、2、3象限。

④当k0时，y的值随x值的增大而增大，当k0时，y的值随x值的增大而减少。 （4）正比例函数的图象及性质

函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是过原点的一条直线，当k0时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而增大；当k0时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而减小。 （5）反比例函数的图象及性质

k

(k≠0)是双曲线，y随x的增大而减小；当k0时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，当k0x

y随x的增大而增大．时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，双曲线是轴对称图形，对称轴是直线yx函数y

与yx；又是中心对称图形，对称中心是原点。 二、典例精析

【典例1】 已知A2,y1、Bx2,3，根据下列条件，求出A、B点坐标． (1) A、B关于x轴对称；(2) A、B关于y轴对称；(3) A、B关于原点对称． 【答案】见解析

2

【解析】

(1)因为A、B关于x轴对称，它们横坐标相同，纵坐标互为相反数， 所以x22，y13，则A2,3、B2,3．

(2)因为A、B关于y轴对称，它们横坐标互为相反数，纵坐标相同， 所以，x22，y13，则A2,3、B2,3． (3)因为A、B关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数， 所以x22，y13，则A2,3、B2,3．

【典例2】已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于A、B两点，O为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。 【答案】见解析 【分析】 ：

因为直线过第一、三象限，所以可知k>0，又因为b＝2，所以直线与y轴交于（0，2），即可知OB＝2，而ΔAOB的面积为2，由此可推算出OA＝2，而直线过第二象限，所以A点坐标为（－2，0），由A、B两点坐标可求出此一次函数的表达式。 【解析】

∵B是直线y＝kx＋2与y轴交点，∴B（0，2），∴OB＝2，又SAOB1AOBO2，AO2 2又，yx2 ykx2，过第二象限，A(2，0)把x12，y10代入ykx2中得k1【典例3】如图，反比例函数y y A O k

，3)，B(n，1)两点． 的图象与一次函数ymxb的图象交于A(1x

x B 图（12） 1（）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值． 【答案】见解析 【解析】 （1）

A(13)，在y

k3的图象上，k3，y 又xxB(n，1)在y

3

的图象上，n3，即x

3

3mb3

B(3，1) ，解得：m1，b2， 反比例函数的解析式为y，一次函数的解析式

x13mb，为yx2，

（2）从图象上可知，当x3或0x1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于一次函数的值。 三、对点精练

1．函数ykxm与y O A． y x O B． m(m0)在同一坐标系内的图象可以是（ ） xy x O C． y x O D． y x

【答案】B

【解析】对于答案（A）验证：ykxm中,m<0, y对于答案（C）验证：ykxm中,m>0, ym(m0),m>0,矛盾 xm(m0),m<0,矛盾 xm对于答案（D）验证：ykxm中,m=0, y(m0),m<0,矛盾

xm对于答案（B）验证：ykxm中,m>0, y(m0),m>0,一致符合要求。故选B.

x2．如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上，又知AB6，AD22，求B,C,D点的坐标．

【答案】见解析

【解析】据题意B(6,0),C(8,2),D(2,2) 3．如图，已知直线y（1）求k的值；

1kx与双曲线y(k0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4． 2x

4

（2）过原点O的另一条直线l交双曲线yk(k0)于C，D两点（P点在第一象限,且在A点的左边），x若由点C、B、D、A为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

y A

O x B 【答案】见解析 【解析】（1）在

中，当x=4时，y=2，∴点A的坐标是（4，2）．

2=8． 上，∴k=4×

∵点A（4，2）在双曲线

（2）∵反比例函数的图象是关于原点O的中心对称图形， ∴OA=OB，OC=OD．∴四边形ACBD是平行四边形． ∴

设点C的横坐标为m（0＜m＜4），则C（

）．

．

过点C、A分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F． 则

∵S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF， ∴S梯形CEFA=S△COA=6． ∴

∴点C的坐标为（2，4）．

【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

5

．

，解得m1=2，m2=-8（不合，舍去），

中k的几何意义．这里体

6