第１期 谭天荣：贝尔定理的评析 ６９ 什么样的结果呢？是一定会与量子力学相矛盾，还 是相反，在某种条件下经典概率论也会与量子力学 殊途同归呢？这个问题并不艰深，可是由于人们一 直不屑于思考它，因此迄今为止，它还是微观物理 学的一个盲区。对于量子力学自身的发展来说，这 个盲区的存在并不碍事，但当问题涉及量子力学与 经典物理学之间的关系时，人们就难免会在这个盲 区里误人歧途，贝尔定理就是一例。 贝尔定理的证明多种多样，但万变不离其宗， 这些证明都用到经典概率论，特别是用到其中的 关于“联合概率”的运算规则，不幸的是，关于这 些运算规则是否适用微观过程的问题，刚好落在 这个盲区之内。因此贝尔定理的研究引导物理学 家们走进了这个盲区，人们在这里不自觉地遵循 如下准则：当他们从量子力学的角度考虑问题时， 默认这些规则全都不适用于微观过程，当他们从 定域隐变量理论的角度考虑问题时，又默认这些 规则全都适用于微观过程。我们即将看到，这一 荒谬的准则引起了怎样的混乱。 贝尔定理的中心点是贝尔不等式，而贝尔不 等式是一个关于“自旋相关函数”的公式，在这 里，先为该函数给出一个人们在实践中反复应用， 但却始终没有明确表述的“经典表达式”。 实验证明：如果一个电子束（或其他自旋１／２ 的粒子柬）Ｌ经过一个磁场方向为ａ的斯特恩一 革拉赫装置Ｇ ，将被分裂为两束，其中一束向ａ 方向偏转，另一束则向一ａ方向偏转。这个实验 事实表明：电子自旋（电子的角动量）沿磁场方向 的投影只能取两个值，如果以矗／２为单位，这２ 个值分别是１和一１。用 表示电子束Ｌ中的某 一电子的自旋沿ａ方向的投影，则测量的结果要 么是 ＝１，要么是 ：一１。其中测量结果为 ＝１的诸电子形成一个新的电子束，把这个电子 束记作Ａ，让它再经过一个磁场方向为ｂ的斯特 恩一革拉赫装置Ｇ ，则它将再次分裂为两束，其 中一束的自旋的测量值为 ＝１；另一束为 ＝ 一１。如果电子束Ａ有ＪＶ个电子，其中有ｐＮ个在 Ｇ 中的测量结果为 ＝１，则实验证明，当ＪＶ足 够大时，Ｐ的取值与ＪＶ无关。根据概率的频率定 义，Ｐ是Ａ中的单个电子的初态是 ＝１的条件 下，其终态是 ＝１的概率。这是一个“条件概 率”，把它记作Ｐｒ（ ＝１ Ｉ ＝１）。一般地说，对 于Ｘ，Ｙ∈｛１，一１｝（即Ｘ与Ｙ要么是１，要么是 一１），Ｐｒ（ ＝Ｙ Ｉ ＝Ｘ）是Ａ中的单个电子从 ＝Ｘ态“跃迁”至 ＝Ｙ态的概率。 设ｅ是电子束Ｌ中的单个电子，它在Ｇ 中获 得测量值 ＝１的概率依赖于电子束Ｌ的性质， 因此这个概率应写作Ｐｒ（ ＝１ ＩＬ）。在一定条件 下，表达式中的符号Ｌ可以略去，这个概率就略写 作Ｐｒ（ ＝１）。 用ｘ表示事件“ｅ在Ｇ 中获得测量值 ＝ １”；Ｙ表示事件“ｅ在Ｇ 中获得测量值 ＝１”， 则根据概率的乘法公式，在略去符号Ｌ的前提下， 积事件Ｘ・ｙ的概率为 Ｐｒ（ ＝１， ６＝１）＝Ｐｒ（ ＝１）・Ｐｒ（ ６＝１ Ｉ ＝１） 一般地说，对于Ｘ，Ｙ∈｛１，一１｝，概率的乘法 公式表成 Ｐｒ（ ；Ｘ， ６＝Ｙ）ｉＰｒ（ ＝ ）・Ｐｒ（ ６＝ ＹＩ ＝ ） （１） 在这里，Ｐｒ（ ＝Ｘ）有一个隐蔽的初始条件 Ｌ；从而联合概率Ｐｒ（ ＝ ，ｏｒ ＝ｙ）也是如此。 对于量子力学，联合概率尸ｒ（ ＝ ， ＝Ｙ）是 没有定义的，可以把式（１）当作它的“操作定义”。 另一方面，玻姆曾经提出如下的理想实验：一 个电子源不断发射成对的电子，每对电子都处于 “单态”，即总自旋为零的状态。设ｅ和已 是其中 的一对电子，ｅ向右飞遇到磁场方向为ａ的斯特 恩一革拉赫装置，获得自旋（分量）的测量值 ， 与此同时，ｅ 向左飞遇到装置磁场方向为ｂ的装 置，获得自旋的测量值ｒ 。在这个实验中， 和 ｒ 可以同时测量，因此，如果将这个实验重复ＪＶ 次，则对于给定的Ｘ，Ｙ∈｛１，一１｝，可以记录下其 中的测量结果为 ＝ ，ｒ ＝Ｙ的实验的次数 ， 根据概率的频率定义，当ＪＶ足够大时，同时测量 和ｒ 时获得测量结果为 ＝Ｘ，ｒ ＝Ｙ的概率 为 Ｊｖ Ｐｒ（ ＝Ｘ，ｒ６＝Ｙ）＝ 』Ｖ 下面，规定∑表示对 ∈｛１，一１｝取和，∑表 示对Ｘ，Ｙ∈｛１，一１｝取和，∑表示对Ｘ，Ｙ，Ｚ∈｛１， 维普资讯 http://www.cqvip.com
７０ 一常，ｋ￣ｌＩ学院学报 ２００８年 １｝取和。借助于上面的概率，可以定义 和 Ｐ（ａ，ｂ）；￣ｊｘｙＰｒ（ ＝ ，丁６＝Ｙ） （２） 定域隐变量理论就得不到贝尔不等式”，这一点 丁 的乘积的平均值 贝尔却并没有证明。下面将证明，“没有定域性 隐变量理论也能导出贝尔不等式。” 实验证明（为了避免产生误解，这里采用命 题Ｉ、Ⅱ、Ⅲ表示）： ｐ（ａ，ｂ）就是ｅ和ｅ 的“自旋相关函数”。这个定 义可以用测量的数据表示为 １ 命题Ｉ 对于任意单位向量ａ和ｂ及其夹角 Ｐ（口，ｂ）兰 ，ｔＩ∑ ｖ ｘｙ 从而是“自旋相关函数”的原始定义。 实验证明：如果ｂ＝ａ，则 ＝一ｏ－ 。这一结 果可表示为 丁６＝一ｏ－６ （３） 应用经典概率论，从式（３）可以得出 ｘｙＰｒ（ ＝ ，丁６＝Ｙ）＝一∑ 尸，．（ ＝ ， ６ ｙ） （４） 式（２）与式（４）给出： 引理１任意给定单位矢量ａ和ｂ，对于由式 （１）给出的联合概率，有 Ｐ（ａ，ｂ）＝一ｘｙＰｒ（ ＝ ， ６＝Ｙ） 这就是所说的自旋相关函数的“经典表达式”。 弄清这个表达式是否适用于微观过程，乃是我们 重新考察贝尔定理的最关键的一步。 虽然Ｐｒ（ ＝ ， ＝Ｙ）的取值与 有关，但 根据引理１，我们可以引进一个与 无关的函数 Ｅ（ａ，６）；ＥｘｙＰｒ（ ＝ ， ６＝），） （５） 它与自旋相关函数的关系是 Ｅ（ａ，ｂ）＝一尸（ａ，ｂ） （６） 根据平均值的定义，式（５）定义的Ｅ（ａ，ｂ）是 与 的乘积的平均值。两个随机变量的乘积 的平均值与它们的平均值的乘积之差，称为它们 的“相关”。对于 与 。，因为它们各自的平均 值都为零，因此Ｅ（ａ，ｂ）就是这两个随机变量的 “相关”。 ２ 两个定理 贝尔证明了如下两个命题： 第一，贝尔不等式与量子力学的自旋相关公 式不能同时成立； 第二，从定域隐变量理论可以导出贝尔不等式。 并且从这两个命题导出贝尔定理。从逻辑的 角度来说，为了证明贝尔定理，必须证明：“没有 ＝ （ａ，ｂ），有 Ｐｒ（ ６＝１ Ｉ ＝１）＝ Ｐｒ（ ６：一１ Ｉ ＝一１）＝ ＣＯＳ （ ） Ｐｒ（ ６＝１ Ｉ ＝一１）＝ Ｐｒ（ ６＝一１ Ｉ ＝一１）＝ ｓｉｎ （ｙ／Ｚ） 由于 ＝１与 ＝一１是两个相互对立的事 件，经典概率论给出： Ｐｒ（ ＝１ Ｉ ）＋Ｐｒ（ ＝一１ ＩＬ）＝１ 它可以略写为 Ｐｒ（ ＝１）＋Ｐｒ（ ＝一１）＝１ （７） 再把Ｐｒ（ ＝ ， ＝Ｙ）略写成，（ ，Ｙ），则根 据式（１）、式（７）与命题Ｉ，容易证明： ，（１，１）一，（一１，１）一ｆ（１，一１）＋，（一１， 一１）＝ａ・ｂ 另一方面，根据定义，有 Ｅｘｙｆ（ｘ，Ｙ） ＾（１，１）一，（一１，１）一，（１，一１）＋ ，（一１，一１） 上面诸式给出 引理２任意给定单位矢量ａ和ｂ，对于由式 （１）定义的联合概率，有 ￣ｘｙＰｒ（ ＝ ， ６＝Ｙ）＝ａ・ｂ 引理１与引理２给出量子力学的自旋相关公式 尸（ａ，ｂ）＝一ａ・ｂ 引理２可从命题Ｉ、式（１）和式（７）导出，命 题Ｉ是一个实验事实，而式（７）不证自明，因此我 们证明了 定理１从式（１）与引理１的合取，可以导出 量子力学的自旋相关公式。 定理１表明式（１）与引理１的合取与量子力 学相容。从纯逻辑的角度来说，有可能式（１）与 引理１都与量子力学不相容，而它们的合取却与 量子力学相容，但这种情况毕竟是一种罕见的例 维普资讯 http://www.cqvip.com 第１期 谭天荣：贝尔定理的评析 ７ｌ 外。如果排除这种例外，则从定理１可得出结论： 式（１）与引理１都与量子力学相容，即： 第一，联合概率Ｐｒ（ ： ， ＝Ｙ）的操作定 义与量子力学相容。 从式（１）与引理１导出量子力学的自旋相关 公式，是经典概率论与量子力学殊途同归的一个 例子；命题Ⅱ与量子力学不相容，则是经典概率论 与量子力学相矛盾的一个例子，第一个例子表明， 经典概率论的某些运算规则适用于微观过程，而 第二，自旋相关函数的经典表达式与量子力 学相容。 另一方面，经典概率论给出 Ｐ，（ ＝ ，Ｏ＂ｃ＝ｚ）＝∑Ｐ，（ ＝ ，Ｏ＂ｂ：ｙ，Ｏ＂ｃ＝ｚ） Ｙ （８） Ｐ，（ ＝ ，Ｏ＂ｂ＝ｙ）＝∑Ｐ，（ ＝ ，Ｏ＂ｂ＝ｙ， ＝ｚ） Ｚ （９） Ｐ，（ ＝ｙ，Ｏ＂ｃ＝ｚ）＝ＥＰｒ（ｃｒ．＝ ，Ｏ＂ｂ＝ｙ， ＝ｚ） （１０） 把Ｐｒ（ ＝ ， ６＝ｙ， ＝Ｚ）略写作Ｆ（ ，Ｙ，Ｚ）， 考虑到概率不能取负值，则有： 命题Ⅱ 任意给定单位矢量ａ，ｂ，ｃ和 ，Ｙ， Ｚ∈｛１，一１｝，存在函数Ｆ（ ，Ｙ，Ｚ）＞１０，使得 Ｐｒ（ｏ＂ ＝ ， ＝ｚ）＝ＺＦ（ｘ，Ｙ，ｚ） ｙ Ｐｒ（ ＝ ， ６：Ｙ）＝ＥＦ（ｘ，Ｙ，Ｚ） Ｚ Ｐｒ（ ６＝ ， ：Ｚ）＝ＥＦ（ ，Ｙ，Ｚ） 应用式（５），可以从命题Ⅱ得到。 命题Ⅲ 任意给定单位矢量ａ，ｂ，ｃ，存在函 数Ｆ（ ，Ｙ，Ｚ）＞１０，使得 ｅ（ａ，ｂ）＝∑ （ ，Ｙ，Ｚ） Ｅ（ａ，ｃ）：Ｅｘｚｆ（ ，Ｙ，Ｚ） Ｅ（ｂ，ｃ）＝∑ｙ （ ，Ｙ，Ｚ） 从命题Ⅲ容易导出不等式 ＩＥ（ａ，ｂ）一Ｅ（ａ，ｃ）Ｉ≤１一Ｅ（ｂ，ｃ） （１１） 式（６）与式（９）给出贝尔不等式 ＩＰ（ａ，ｂ））一Ｐ（ａ，ｃ）Ｉ≤１＋Ｐ（ｂ，ｃ） 从而我们证明了 定理２从引理１和命题Ⅱ可导出贝尔不等式。 考虑到自旋相关函数的经典表达式与量子力 学相容，而贝尔不等式与量子力学不相容，从定理 ２可得出结论：仅仅从命题Ⅱ就可导出贝尔不等 式，从而有： 第一，命题Ⅱ与量子力学不相容。 第二，上世纪７０年代关于贝尔不等式的那些 实验表明，命题Ⅱ与实验事实相矛盾。 第二个例子则表明并非经典概率论的所有运算规 则都适用于微观过程。那么，在经典概率论中，哪 些运算规则适用于微观过程，哪些运算规则不适 用于微观过程呢。下面我们将回答这一问题。 ３事件运算的布尔代数 前人对贝尔定理的工作得出了两个确切的结 论：第一，贝尔不等式与量子力学不相容，第二，贝 尔不等式与实验事实不符。这两个结论到底说明 了什么问题，这～问题归结为弄清楚命题Ⅱ究竟 有什么缺陷。 命题Ⅱ可推导如下： 第一步，定义联合概率 Ｐｒ（ｏ＂ ＝ ， ６＝ｙ， ＝Ｚ）。 第二步，从概率的频率定义得到式（８）： Ｐ，（ ＝ ， ＝ｚ）＝ＥＰｒ（ｃｒ．＝ ，Ｏ＂ｂ：ｙ， ＝ｚ） Ｙ 第三步，适当交换 ＝ ， ６＝Ｙ和 ＝Ｚ的 次序，从上式得到： Ｐ，（ ： ，Ｏ＂ｂ＝ｙ）＝ＥＰｒ（ｃｒ．＝ ，Ｏ＂ｃ＝ｚ，ｏ＇ｂ＝ｙ） Ｚ Ｐ，（ ＝ｙ，ｃｒｆ＝ｚ）＝ＥＰｒ（ｃｒｂ＝ｙ，ｏ－．＝ ，Ｏ＂ｃ＝ｚ） 第四步，根据经典概率论的公式 Ｐｒ（ ＝ ， ＝ｚ，Ｏ＂ｂ＝ｙ）＝Ｐ，（ ＝ ，Ｏ＂ｂ＝ｙ， ＝Ｚ） Ｐ，（ ＝ｙ，Ｏ＂ａ＝ ， ＝Ｚ）＝Ｐ，（ －＝－Ｘ，Ｏ＂ｂ＝ｙ， ＝Ｚ） （１２） 从第三步的两个等式得到式（９）与式（１０）。 第五步，从式（８）、式（９）与式（１０），以及 Ｐｒ（ ＝ ， ６＝Ｙ， ＝Ｚ）＞１０得到命题Ⅱ。 逐步审查这些步骤。 比照式（１），联合概率Ｐ，．（ ＝ ， ：Ｙ， ：Ｚ）可以定义如下： 如果 ＝ 、 ：Ｙ和 ＝Ｚ是３个相继测量 的结果，即一个有Ⅳ个电子电子束通过一个磁场 方向为ａ的斯特恩一革拉赫装置Ｇ 时，有 个 电子的自旋．狈４量值为ｏ ＝ ，让这 个电子继续 通过一个磁场方向为ｂ的斯特恩一革拉赫装置 维普资讯 http://www.cqvip.com
７２ 常州工学院学报 ２００８年 Ｇ ，设有 个电子的自旋测量值为 ＝），，让这 尸，（ｃｒ口＝ ， ＝ｚ）＝ＥＰｒ（ｏ＂。＝ ，Ｏ＂ｂ＝），， ：ｚ） 这就是式（８）。 诚然，式（８）右边的概率Ｐｒ（ 。＝Ｘ， ＝Ｙ， 一个电子继续通过一个磁场方向为ｃ的斯特恩 革拉赫装置Ｇ ，设有 个电子的自旋测量值 ｅｒ（ ６＝ＹＩ 。＝ ）＝ ／Ｎｘ； ｅｒ（ ＝ｚＩ ６＝Ｙ） ：／ Ｐｒ（ 。＝Ｘ）＝ ／ＪＶ； ｅｒ（ 。＝Ｘ， ６＝Ｙ， ＝ｚ）＝ ／Ⅳ 为 ＝ｚ，则当ＪＶ足够大时，可以定义 ＝ｚ）要求Ｇ 的两个通道同时打开，从而这种 类型的概率是不能测量的，而在该概率的操作定 义中，Ｇ 的两个通道却是轮流打开的。然而，尽 管不能测量，式（８）右边的联合概率仍然是有意 义的，可以算作是Ｐｒ（ 。＝Ｘ， ６＝Ｙ， ＝ｚ）的另 上面诸式给出如下操作定义： ｅｒ（ 。＝Ｘ， ６＝Ｙ， ＝ｚ） Ｐｒ（ 。＝ ）・ｅｒ（ ６： ｙＩ盯。： ）・ｅｒ（盯 ＝ｚＩ ｂ＝ｙ） 这个定义与式（１）给出的Ｐｒ（ ＝Ｘ， ：Ｙ） 有密切关系。式（１）有一个隐蔽的初始条件 ，如 果 可以表成 ＝１，则Ｐｒ（ ＝１）与Ｐｒ（ 。＝Ｘ， ６＝Ｙ）的乘积就是Ｐｒ（ ＝１， 。＝ ， ６＝），）。 由于式（１）给出的Ｐｒ（ 。＝Ｘ， ＝Ｙ，）的操作 定义与量子力学相容，上面给出的Ｐｒ（ 。＝ ， ＝ Ｙ， ＝ｚ）的操作定义也不会与量子力学相矛盾。 但是，对于这一操作定义，式（８）显然不成立。 现在考虑另一过程：继续考虑上面的３个斯 特恩一革拉赫装置，其中Ｇ。打开一个通道，通过 它的诸电子获得自旋 。＝１，Ｇ 也打开一个通 道，通过它诸电子获得自旋 ＝１，Ｇ 则同时打 开两个通道。设有ＪＶ个电子进入Ｇ ，其中有Ⅳ１ 个电子在Ｇ 中获得 ＝１并逸出Ｇ ，有Ⅳ２个电 子在Ｇ 中获得 ＝一１并逸出Ｇ 。设ｅ是进入 Ｇｄ的ＪＶ个电子之一，则按照概率的频率定义，当 ＪＶ足够大时，ｅ在３个斯特恩一革拉赫装置中依 次获得自旋 。＝１、 ＝１、 ＝１的概率为 Ｐｒ（ 。＝１， ＝１， ＝１）＝Ⅳ１／Ｎ 依次获得自旋 。＝１、 ＝一１、Ｏ＂ｃ＝１的概率为 Ｐｒ（ 。＝１， ６＝一１， ＝１）＝Ⅳ２／Ⅳ 另一方面，实验证明，如果上面实验中的其他条件 不变，只去掉斯特恩一革拉赫装置Ｇ ，让Ｇ 直接 连在Ｇ。之后，则ｅ在Ｇ。中获得自旋 。＝１，在 Ｇ 中获得自旋 ＝１的概率为 Ｐｒ（ 。＝１， ＝１）＝（Ⅳ１＋Ⅳ２）／Ｎ 从而有 尸，（ｃｒ口＝１， ＝１）：ＺＰｒ（Ｏ＂ａ：１，Ｏ＂ｂ＝），， ：１） 一般地说，我们有 一种定义。于是得出结论：“可以定义联合概率 Ｐｒ（ 。＝Ｘ， ６＝Ｙ， ＝ｚ），使得式（８）成立。”这 样，推导命题Ⅱ的第一步与第二步就同时通过了。 第三步也没有问题，式（８）是一个恒等式，在 给定的交换之后确实仍然成立。 然而，第四步就大错而特错了！无论采用 Ｐｒ（ 。＝ ， ＝Ｙ， ＝ｚ）的操作定义还是式（８） 所要求的定义，式（１２）都肯定不成立。 经典概率论立足于两大基石：概率的频率定 义与事件运算的布尔代数规则。概率的频率定义 乃是概率这一概念所固有的，它被公认为对于微 观过程仍然适用，但事件运算的布尔代数规则却 并非如此。 对于经典概率论，“积事件”Ａ・召表示“Ａ事 件与召事件都发生”，而召・Ａ表示“ 事件与Ａ 事件都发生”，因此事件乘法的交换律 Ａ・Ｂ＝Ｂ・Ａ 成立。但对于微观事件却并非如此。例如，如果 Ａ表示事件“某一电子处于自旋状态 。＝１”，而 召表示事件“该电子处于自旋状态 ＝１”，从而 Ａ・召表示“该电子从状态 。＝１跃迁至状态 ＝１”，则召・Ａ表示“该电子从状态 ＝１跃迁 至状态 。＝１”。因此，乘法的交换律不再成立。 同样，公式 （Ａ・召）・Ｃ＝（Ａ・Ｃ）・Ｂ 也不成立。导出式（１２）时，刚好用到上面两公 式。因此，式（１２）肯定不成立。 既然命题Ⅱ用了式（１２），而贝尔不等式又来 自命题Ⅱ，我们就不必惊讶它与量子力学相矛盾， 也不必惊讶它与实验结果不相符了。 一般地说，对于微观过程，事件运算不遵循布 尔代数的规则，换句话说，微观事件的事件空间是 “非布尔的”。于是得出结论：经典概率论的各种 维普资讯 http://www.cqvip.com 第１期 谭天荣：贝尔定理的评析 一７３ 概率运算规则，其中包括联合概率的运算规则，都 个电子。左边涉及同时发生的两个事件，其物 适用于微观过程；而经典概率论的事件运算规则 却不适用于微观过程。 理意义不容置疑；右边则涉及先后发生的两个事 件，我们仅能给出其操作定义。更糟糕的是：右边 有一个隐蔽的初始条件而左边却没有。对于这样 含义迥然不同的两个概率表达式，象上面那样的 “替换”运算是相当可疑的。 ４一个未证明的命题 由于量子力学的自旋相关公式与贝尔不等式 都以引理１为前提，对于上世纪７Ｏ年代的那些检 可以证明，式（１３）并不成立而式（４）却确实 成立。由于这一证明极为冗长而又曲折，这里不 再详述。 验贝尔不等式的实验，这个引理不是被检验的对 象。另一方面，证明这个引理的关键的前提是式 （４），而式（４）又容易被人认为是不证自明的。人 们认为，只要根据实验事实丁 ＝一 ，在 Ｐｒ（ ＝ ，丁６＝Ｙ）中把丁６＝Ｙ换成 ６＝一Ｙ，就可 以得到 Ｐｒ（ ＝ ， ６＝ｙ）＝Ｐｒ（ ＝ ， ６＝一ｙ） （１３） 从而得到式（４）。 ５ 结束语 我们已经看到，贝尔不等式起源于经典概率 论的事件运算规则，它既与定域性原理无关，也与 隐变量理论无关。因此，上世纪７０年代的那些检 验贝尔不等式的实验，只不过再一次证明经典概 率论的事件运算规则不适用于微观过程，这一工 作似乎很难说是一个“物理学中最重要的进展”， 更难说是一个“科学中最深刻的发现”。 但实际上问题不那么简单，式（１３）的两边表 示不同的过程：左边涉及两个电子；右边则只涉及 Ａ Ｓｔｕｄｙ ｏｎ Ｂｅｌｌ’Ｓ Ｔｈｅｏｒｅｍ ＴＡＮ Ｔｉａｎ—ｒｏｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，Ｑｉｎｇｄａｏ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｇｄａｏ ２６６０７１） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｏｖｅｓ ｔｈａｔ Ｂｅｌｌ’Ｓ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｉｓ ｏｒｉｇｉｎａｔｅｄ ｆｒｏｍ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｙ ｔｔｈｅｏｒｙ，ａｎｄ ｈｅｒｅｂｙ ｉｓ ｒｅｌａｔｅｄ ｎｅｉｔｈｅｒ ｔｏ ｌｏｃａｌｉｔｙ ｎｏｒ ｔｏ ｈｉｄｄｅｎ ｖａｒｉａｂｌｅｓ．Ｂｕｔ ｉｔｔ ｉｓ ａｌｓｏ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｄｅｒｉｖｅ ｓｐｉｎ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｉｎ ｑｕａｎｔｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ ｔｈｅｏｒｙ．Ｔｈｉｓ ｆａｃｔ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｔｈａｔ ｏｎ ｃｅｒ－ ｔａｉｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ｉｎｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｗｉｔｈ ｑｕａｎｔｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，ｂｕｔ ｕｎｄｅｒ ｏｔｈｅｒ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｑｕａｎｔｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｗｏｕｌｄ ｒｅａｃｈ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｇｏａｌ ｂｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍｅａｎｓ．Ｓｔｉｌｌ ｆｕｒｔｈｅｒ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｃｏｎｆｉｒｍｓ ｔｈａｔ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｒｕｌｅｓ ｉｎ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｙ ｔｔｈｅｏ— ｙ，ｃｏｎｔｒａｉｎｉｎｇ ｊｏｉｎｔ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｒｕｌｅｓ，ａｒｅ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｆｏｒ ｍｉｃｒｏ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，ｂｕｔ ｔｈｅ ｅｖｅｎｔ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｒｕｌｅｓ ｉｎ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｔｈｅｏｒｙ ａｒｅ ｕｎｓｕｉｔａｂｌｅ．Ｔｈｅ ｒｅａｓｏｎ ｏｂｔａｉｎｉｎｇ Ｂｅｌｌ’Ｓ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｌｉｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｓｔｅｐｓ ａｐｐｌｙｉｎｇ Ｂｏｏｌｅａｎ ａｌｇｅｂｒａ ｒｕｌｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｎｏｎ—Ｂｏｏｌｅａｎ ｍｉｃｒｏ ｅｖｅｎｔ ｓｐａｃｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｂｅｌｌ’Ｓ ｉｎｅｑｕａｌｉｙ；ｈｉｔｄｄｅｎ ｖａｒｉａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ；ｓｐｉｎ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ；ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ ｔｈｅ— ｏｒｙ；ｅｖｅｎｔ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｒｕｌｅｓ 责任编辑：张秀兰
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容