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一、选择题
x2y2
1．椭圆＋＝1的焦点坐标是( )
25169A．(±5,0) C．(0，±12)
B．(0，±5) D．(±12,0)
C [由标准方程知，椭圆的焦点在y轴上，且c2＝169－25＝144，∴c＝±12， 故焦点为(0，±12)．]
x2y22．“2 B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 m－2>0，xy B [若方程＋＝1表示椭圆，则6－m>0， m－26－m m－2≠6－m， 2 2 解得2 3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝23，若满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( ) x2y2 A．＋＝1 129x2y2 C．＋＝1 912 B [∵2c＝|F1F2|＝23，∴c＝3. ∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝43，∴a＝23. ∴b2＝a2－c2＝9. x2y2x2y2 故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.] 129912 x2y2 4．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则 94△F1PF2的面积等于( ) x2y2x2y2 B．＋＝1或＋＝1 129912x2y2x2y2 D．＋＝1或＋＝1 48454548 x2y2 A．5 B．4 C．3 D．1 B [由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，1 ∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为 21 |PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B．] 2 x2y2 5．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的 ab中点P的轨迹是( ) A．圆 C．线段 B [设椭圆的右焦点为F2， 11 由题意，知|PO|＝|MF2|，|PF1|＝|MF1|， 22又|MF1|＋|MF2|＝2a， 所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c， 故由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆．] 二、填空题 x2y2 6．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为 ab________． 222a－b＝9，a＝18， ＋＝1 [由题意可得解得 91892 b＝9，0＋b2＝1， B．椭圆 D．直线 x2y2 x2y2 故椭圆的方程为＋＝1.] 189 x2y2 7．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O 259为坐标原点，那么线段ON的长是________． 4 [设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10， 又∵|MF|＝2，∴|ME|＝8， 1 又ON为△MEF的中位线，∴|ON|＝|ME|＝4.] 2 x2y2 8．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2 97 的面积为________． 7x2y2 [如图，由＋＝1， 297知a2＝9，b2＝7，c2＝2. 所以a＝3，b＝7，c＝2. 所以|F1F2|＝22. 设|AF1|＝x，则|AF2|＝6－x. 因为∠AF1F2＝45°， 27所以(6－x)2＝x2＋8－42x·.所以x＝. 221727 所以S△AF1F2＝×22××＝.] 2222三、解答题 x2y225 9．已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点－1，. 16125(1)求椭圆M的标准方程； (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标． [解] (1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)， x2y225 设椭圆M的方程为2＋2＝1(a>b>0)，又椭圆M过点－1，， ab5 2－b2＝4，a 则1化简并整理得5b4＋11b2－16＝0， 4a2＋5b2＝1， 16 故b2＝1或b2＝－(舍)，a2＝5， 5x22 故椭圆M的标准方程为＋y＝1. 5(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)， 1 设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1， 21 得y0＝±. 2 2x015152又＋y2，x0＝±， 0＝1，所以x0＝542 所以点P有4个，它们的坐标分别为 151151151151 ，，－，，，－，－，－. 22222222 10．设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|4 ＝|PD|.当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程． 5 [解] 设点M的坐标是(x，y)，P的坐标是(xP，yP)， 4 因为点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|， 55 所以xP＝x，且yP＝y. 4因为P在圆x2＋y2＝25上， 所以 x2＋ 5y＝25，整理得x＋y＝1，即点M的轨迹C的方程是x＋y＝1. 425162516 2 2 2 2 2 x2y2 1．P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则 169∠F1PF2的大小为( ) A．60° B．30° C．120° D．150° A [由椭圆的定义得 |PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝27， ∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64， ∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40， 40－281在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝， 2×122∵0°<∠F1PF2<180°， ∴∠F1PF2＝60°.] x2y2 2．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上， 123那么点M的纵坐标为( ) 3A．± 43C．± 2 2B．± 23D．± 4 D [∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)， ∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是3， 32y233 ∵点P在椭圆上，∴＋＝1，即y2＝，∴y＝±. 123423 ∴点M的纵坐标为±.] 4 x2y2 3．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝ 25164上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( ) A．5 C．13 B．7 D．15 B [由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.] x2y2→→ 4．已知点P(6,8)是椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若PF1·PF2＝ ab0.则椭圆的标准方程是________，sin∠PF1F2＝________. x2y25→→＋＝1 [因为PF1·PF2＝0， 180805所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10， 所以F1(－10,0)，F2(10,0)， 所以2a＝|PF1|＋|PF2| ＝ 6＋102＋82＋ 5，b2 6－102＋82＝125， 所以a＝6 x2y2 ＋＝1. 18080 如图所示， 过点P作PM⊥x轴，垂足为M， 则|PM|＝8，|F1M|＝10＋6＝16， 所以|PF1|＝ |PM|2＋|F1M|2＝82＋162＝85， |PM|85 所以sin∠PF1F2＝＝＝.] |PF1|855 x22 设F1，F2分别是椭圆＋y＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)． 4(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值． →→ (2)若C为椭圆上异于B的一点，且BF1＝λCF1，求λ的值． (3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值． x22 [解] (1)因为椭圆的方程为＋y＝1， 4所以a＝2，b＝1，c＝3，即|F1F2|＝23， 又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4， |PF1|＋|PF2|242 所以|PF1|·|PF2|≤＝2＝4， 2 当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”， 所以|PF1|·|PF2|的最大值为4. 31－λ1→→ (2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－3，0)，由BF1＝λCF1得x0＝，y0＝－. λλ 31－λ2 2λ12x0 2又＋y0＝1，所以＋－λ＝1， 44 化简得λ2＋6λ－7＝0， 解得λ＝－7或λ＝1，因为点C异于B点， 所以λ＝－7. (3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|， 所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8， 所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容