高中数学立体几何经典例题

1.下列几个命题中，

①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台;

②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;

③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体;

④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱.

其中正确的有__________个.（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：①中两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①是错误的；②中两个底面互相平行，其余四个面都是等腰梯形，也有可能两底面根本就不相似，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的.

答案：A

2.下列命题中正确的是（ ）

A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥

D.棱台各侧棱的延长线交于一点

答案：D

例1 长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为（ ）

A.13 B.210 C.32 D.23

活动：解决空间几何体表面上两点间最短线路问题，一般都是将空间几何体表面展开，转化为求平面内两点间线段长，这体现了数学中的转化思想.

解：如图3，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，BB1=1.

图3

如图4所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开,

图4

225126，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是26； 则有AC1=

如图5所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开,

223332，则有AC1=即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是32；

图5

如图6所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开,

图6

22则有AC1=4225，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是25.

由于32＜25，32＜26，

所以由A到C1在正方体表面上的最短距离为32.

答案：C

2..图7是边长为1 m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线.

图7 图8

2.（2006江西高考，理15）如图10所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长．．为_________.

图10