选修2-3 计数原理 (二)讲义

金牌数学高二（选修2—3）专题系列之 计数原理（二）

1.排列:从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

（1）排列数: 从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列的个数.用符号An表示

m（2）排列数公式:Ann(n1)(n2)(nm1)

m或Anm

n!n,mN,mn

(nm)!n=n!=nn1321=n(n-1)! 规定 0！=1 An2.组合：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

（1）组合数: 从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，用Cn表示

mn!Anmn(n1)(n2)(nm1)m(n,mN,且mn) （2）组合数公式: Cm或Cnm!(nm)!Amm!mn（3）组合数的性质：

m0mm1mnm ① Cn．规定：Cn . 1； ②CnCn1＝Cn+Cn013③ CnCnCnn11nnCn2n ④CnCnn ⑤Cn1

3.二项式定理及其特例： （1）二项式定理

1n1knkknnabnCn0anCnabCnabCnbnN

展开式共有n+1项，其中各项的系数Cnn1（2）特例：(1x)1CnxrrCnxkk0,1,2,,n叫做二项式系数。

xn.

4.二项展开式的通项公式：5．二项式系数的性质：

knkkTCab （为展开式的第K+1项） k1n

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（1）对称性：在象的对称轴．

abn展开式中，与首末两端 “等距”的两个二项式系数相等即CnmCnnm，直线rn是图

2（2）增减性与最大值：当k间取得最大值。

n1时，二项式系数逐渐增大，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中2当n是偶数时，在中间一项C取得最大值； 当n是奇数时，在中间两项C6.各二项式系数和： （1）

0122nCnCnCnrCnnCn n2nn12n，Cn12取得最大值． n（2）Cn024135CnCnCnCnCn2n1

7.各项系数之和：（采用赋值法） 例：求解：令x2x3y9的各项系数之和

2x3y9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9

1,y1，则有2x3ya0a1a2a9231，

99故各项系数和为-1

题型一：选择题

例1.【2015高考陕西，理4】二项式(x1)n(nN)的展开式中x2的系数为15，则n（ ） A．4 B．5 C．6 D．7

拓展变式练习

1.【2015高考新课标1，理10】(xxy)的展开式中，xy的系数为（ ） A．10 B．20 C．30 D．60

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2552

2.【2015高考湖北，理3】已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为（ ）

A．212 B．211 C．210 D．29

3a23.【2015高考湖南，理6】已知x的展开式中含x的项的系数为30，则a（ ）

x5A．3 B．3 C．6 D．-6

4.【2014年湖南卷（理04）】(x2y)的展开式中x2y3的系数是（ ）

A．20 B．5 C．5 D．20

题型二 ：填空题

125138例2.【2015高考重庆，理12】x的展开式中x的系数是 .(用数字作答)

2x

拓展变式练习

1.【2015高考广东，理9】在(x1)4的展开式中，x的系数为 .

2.【2015高考四川，理11】在(2x1)的展开式中，含x2的项的系数是 .（用数字作答）

55123.【2015高考天津，理12】在x 的展开式中，x的系数为 . 4x

4.【2015高考安徽，理11】(x3)7的展开式中x5的系数是 .（用数字填写答案）

5.【2015高考福建，理11】x2 的展开式中，x2的系数等于 .（用数字作答）

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561x

一、选择题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 1.【2014年湖北卷（理02）】若二项式(2x)7的展开式中

ax1的系数是84，则实数a＝（ ） 3x23A． 2 B．4 C．1 D．4

2.【2014年四川卷（理02）】在x(1x)6的展开式中，含x3项的系数为（ ） A．30 B．20 C．15 D．10

643.【2014年浙江卷（理05）】在(1x)(1y)的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，

则f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)（ ）

A．45 B．60 C．120 D．210

二、填空题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

4.【2013北京，理12】将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 .

5.【2013大纲全国，理14】6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种．(用数字作答)

6.【2013浙江，理14】将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有 种(用数字作答)．

7.【2013重庆，理13】从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 .(用数字作答)

8.【2015高考北京，理9】在2x的展开式中，x3的系数为 .（用数字作答）

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9.【2015高考新课标2，理15】(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a .

110.【2015高考上海，理11】在1x2015的展开式中，x2项的系数为 .（结果用数值表示）

x

11.【2014年全国大纲卷（13）】(

12.【2014年安徽卷（理13）】设a0，n是大于1的自然数， (110xy8)的展开式中x2y2的系数为 . yx4yA2A1xn)的展开式为 a3a0a1xa2x2anxn．若点Ai(i,ai)(i0,1,2)的位置如图所示，则 a . 1

A0

O12x82713.【2014年全国新课标Ⅰ（理13）】(xy)(xy)的展开式中xy的系数为 .(用数字填写答案)

14.【2014年全国新课标Ⅱ（理13）】xa的展开式中，x7的系数为15，则a . (用数字填写答案)

222615.【2014年山东卷（理14）】若(ax)的展开式中x3项的系数为20，则ab的最小值为 . 10bx

课堂过手训练

姓名：_____________ 得分：_____________

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1.【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 个.

2.【2014年辽宁卷（理06）】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为 种.

3.【2014年全国大纲卷（05）】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有 种.

4.【重庆理科9】某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有 种.

5.【重庆】高三（一）班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 .

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