1．全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2．全等三角形的表示
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3．全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等、对应边相等。 4．三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”） （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”） （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。 5．直角三角形全等的判定：
HL定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
【例题1】（2019•贵州省安顺市）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
专题知识回顾
专题典型题考法及解析
A．∠A＝∠D
B．AC＝DF
C．AB＝ED
D．BF＝EC
【解答】选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确； 选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误； 选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误． 故选：A．
【例题2】（2019•黑龙江省齐齐哈尔市）如图，已知在△ABC和△DEF中，△B＝△E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC△△DEF，则还需添加的一个条件是 _________（只填一个即可）．
【答案】AB＝DE．
【解析】添加AB＝DE； △BF＝CE， △BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，
△△ABC△△DEF（SAS）
【例题3】（2019•铜仁）如图，AB＝AC，AB△AC，AD△AE，且△ABD＝△ACE． 求证：BD＝CE．
【答案】见解析。
【解析】证明：△AB△AC，AD△AE， △△BAE+△CAE＝90°，△BAE+△BAD＝90°， △△CAE＝△BAD．
又AB＝AC，△ABD＝△ACE， △△ABD△△ACE（ASA）． △BD＝CE．
一、选择题
1. (2019•广东）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB=2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM、AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB.AM交于点N、K．则下列结论： 专题典型训练题
△△ANH△△GNF；△△AFN=△HFG；△FN=2NK；△S△AFN : S△ADM =1 : 4．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】AH=GF=2，△ANH=△GNF，△AHN=△GFN，△ANH△△GNF（AAS），△正确； 由△得AN=GN=1，△NG△FG，NA不垂直于AF，△FN不是△AFG的角平分线
△△AFN≠△HFG，△错误；由△AKH△△MKF，且AH:MF=1:3，△KH:KF=1:3，又△FN=HN， △K为NH的中点，即FN=2NK，△正确；S△AFN =S△ADM =1 : 4，△正确.
2.（2019▪广西池河）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是（ ）
11AN·FG=1，S△ADM =DM·AD=4，△S△AFN : 22
A．1 【答案】B．
【解析】根据正方形的性质，利用SAS即可证明△ABE≌△BCF，再根据全等三角形的性质可得∠BFC＝∠AEB，进一步得到∠BFC＝∠ABF，从而求解．
B．2
C．3
D．4
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥BC，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°， 在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠BFC＝∠AEB， ∴∠BFC＝∠ABF，
故图中与∠AEB相等的角的个数是2．
3.（2019•湖北天门）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 【答案】A． 【解析】连结DO．
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线， ∴∠CBO＝90°，
B．3个
C．2个
D．1个
∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD． 又∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中，，
∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠CDO＝∠CBO＝90°． 又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；故①正确， ∵△COD≌△COB， ∴CD＝CB， ∵OD＝OB， ∴CO垂直平分DB， 即CO⊥DB，故②正确；
∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线， ∴∠EDO＝∠ADB＝90°，
∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°， ∴∠ADE＝∠BDO， ∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠EDA＝∠DBE， ∵∠E＝∠E，
∴△EDA∽△EBD，故③正确； ∵∠EDO＝∠EBC＝90°， ∠E＝∠E， ∴△EOD∽△ECB， ∴
，
∵OD＝OB，
∴ED•BC＝BO•BE，故④正确。
4.（2019•湖北孝感）如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A．
【解析】证明△BCE≌△CDF（SAS），得∠CBE＝∠DCF，所以∠CGE＝90°，根据等角的余弦可得CG的长，可得结论．
正方形ABCD中，∵BC＝4，
∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°， ∵AF＝DE＝1， ∴DF＝CE＝3， ∴BE＝CF＝5， 在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS）， ∴∠CBE＝∠DCF，
∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE， cos∠CBE＝cos∠ECG＝
，
∴，CG＝，
∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝
5.（2019•山东省滨州市）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．4 【答案】B．
【解析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；即可得出结论． ∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD， 即∠AOC＝∠BOD，
B．3
C．2
D．1
在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确； ∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD， ∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，，
∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，④正确； 正确的个数有3个。
6.（2019•河南）如图，在四边形ABCD中，AD△BC，△D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．2
B．4
C．3
D．
故选：A．
【解析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF＝FC．再根据ASA证明△FOA△△BOC，那么AF＝BC＝3，等量代换得到FC＝AF＝3，利用线段的和差关系求出FD＝AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长． 如图，连接FC，则AF＝FC．
△AD△BC，
△△FAO＝△BCO． 在△FOA与△BOC中，
，
△△FOA△△BOC（ASA）， △AF＝BC＝3，
△FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1． 在△FDC中，△△D＝90°， △CD2+DF2＝FC2， △CD2+12＝32， △CD＝2故选：A．
．
7．（2019•山东临沂）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC△AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（ ）
A．0.5 【答案】B．
【解析】根据平行线的性质，得出△A＝△FCE，△ADE＝△F，根据全等三角形的判定，得出△ADE△△CFE，根据全等三角形的性质，得出AD＝CF，根据AB＝4，CF＝3，即可求线段DB的长． △CF△AB，
△△A＝△FCE，△ADE＝△F，
B．1
C．1.5
D．2
在△ADE和△FCE中，
△△ADE△△CFE（AAS）， △AD＝CF＝3， △AB＝4，
△DB＝AB﹣AD＝4﹣3＝1． 二、填空题
8.(2019四川成都）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，△BAD=△CAE，若BD=9，则CE的长为 . 【答案】9
【解析】此题考察的是全等三角形的性质和判定，因为△ABC是等腰三角形，所以有AB=AC，△BAD=△CAE，△ABD=△ACE，所以△ABD△ACE(ASA)，所以BD=二次，EC=9.
9.（2019•湖南邵阳）如图，已知AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是 ．（不添加任何字母和辅助线）
【答案】AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD。
【解析】根据图形可知证明△ADC≌△AEB已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA.SAS、AAS证明两三角形全等． ∵∠A＝∠A，AD＝AE，
∴可以添加AB＝AC，此时满足SAS； 添加条件∠ADC＝∠AEB，此时满足ASA； 添加条件∠ABE＝∠ACD，此时满足AAS，
故答案为AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD。
10.（2019•天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为 .
【答案】
49 13【解析】因为四边形ABCD是正方形，易得△AFB≌△DEA，∴AF=DE=5，则BF=13.
又易知△AFH∽△BFA，所以∴GE=AE-AG=
AHAF60120，即AH=，∴AH=2AH=，∴由勾股定理得AE=13，1313BABF49 1311.（2019•广东省广州市）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），△DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝△△ECF＝45°；△△AEG的周长为（1+
BE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论： ）a；△BE2+DG2＝EG2；△△EAF的面积的最大值a2．
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
故答案为△△．
【解析】如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH． △BE＝BH，△EBH＝90°， △EH＝
BE，△AF＝
BE，△AF＝EH，
△△DAM＝△EHB＝45°，△BAD＝90°， △△FAE＝△EHC＝135°，
△BA＝BC，BE＝BH，△AE＝HC， △△FAE△△EHC（SAS）， △EF＝EC，△AEF＝△ECH， △△ECH+△CEB＝90°，
△△AEF+△CEB＝90°，△△FEC＝90°， △△ECF＝△EFC＝45°，故△正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE△△CDH（SAS）， △△ECB＝△DCH，△△ECH＝△BCD＝90°，△△ECG＝△GCH＝45°， △CG＝CG，CE＝CH，
△△GCE△△GCH（SAS），△EG＝GH， △GH＝DG+DH，DH＝BE， △EG＝BE+DG，故△错误，
△△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AG+GH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故△错误， 设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝
x，
△S△AEF＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，
△﹣＜0，
△x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故△正确，
故答案为△△．
12．（2019•山东临沂）如图，在△ABC中，△ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC△BC，则△ABC的面积是 ．
【答案】8．
【解析】根据垂直的定义得到△BCD＝90°，得到长CD到H使DH＝CD，由线段中点的定义得到AD＝BD，根据全等三角形的性质得到AH＝BC＝4，△H＝△BCD＝90°，求得CD＝2△DC△BC， △△BCD＝90°，
△△ACB＝120°，△△ACD＝30°， 延长CD到H使DH＝CD， △D为AB的中点， △AD＝BD，
，于是得到结论．
在△ADH与△BCD中，，
△△ADH△△BCD（SAS），
△AH＝BC＝4，△H＝△BCD＝90°，
△△ACH＝30°， △CH＝△CD＝2
AH＝4，
＝8
，
，
△△ABC的面积＝2S△BCD＝2××4×2
故答案为：8．
三、解答题
13.（2019•湖南长沙）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE＝AF；
（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
【答案】见解析。
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD， ∵DE＝CF， ∴AE＝DF，
在△BAE和△ADF中，，
∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴BE＝AF；
（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF， ∴∠EBA＝∠FAD， ∴∠GAE+∠AEG＝90°， ∴∠AGE＝90°， ∵AB＝4，DE＝1， ∴AE＝3， ∴BE＝
＝
＝5，
在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG，
∴AG＝＝．
14.（2019•湖南怀化）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形AECF是矩形．
【答案】见解析。
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC， ∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS）； （2）证明：∵AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB＝90°， ∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴四边形AECF是矩形．
15.（2019•湖南岳阳）如图所示，在菱形ABCD中，点E.F分别为AD.CD边上的点，DE＝DF， 求证：∠1＝∠2．
【答案】见解析。
【解析】由菱形的性质得出AD＝CD，由SAS证明△ADF≌△CDE，即可得出结论． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，，
∴△ADF≌△CDE（SAS）， ∴∠1＝∠2．
16.（2019•甘肃）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．
（1）证明：△ADG≌△DCE； （2）连接BF，证明：AB＝FB．
【解析】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． （1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC， 又∵AG⊥DE，
∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF， ∴∠DAG＝∠CDE，
∴△ADG≌△DCE（ASA）；
（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE，
又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB， ∴△DCE≌△HBE（ASA）， ∴BH＝DC＝AB， 即B是AH的中点， 又∵∠AFH＝90°，
∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．
17.（2019山东枣庄）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；
（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；
（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN＝【答案】见解析。
【解析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到AD＝BD＝DC＝据勾股定理计算即可；
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°， ∵AB＝2， ∴AD＝BD＝DC＝∵∠AMN＝30°，
∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠MBD＝30°， ∴BM＝2DM，
由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM2＝（解得，DM＝
，
）2，
，
，求出∠MBD＝30°，根
AM．
∴AM＝AD﹣DM＝﹣；
（2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°， ∴∠BDE＝∠ADF， 在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA） ∴BE＝AF；
（3）证明：过点M作ME∥BC交AB的延长线于E， ∴∠AME＝90°， 则AE＝
AM，∠E＝45°，
∴ME＝MA，
∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°， ∴∠BME＝∠AMN， 在△BME和△AMN中，
，
∴△BME≌△AMN（ASA）， ∴BE＝AN，
∴AB+AN＝AB+BE＝AE＝
AM．
18.（2019•河北）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，△B＝△D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心． （1）求证：△BAD＝△CAE；
（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB△AC时，△AIC的取值范围为m°＜△AIC＜n°，分别直接写出m，n的
值．
【答案】见解析。
【解析】（1）在△ABC和△ADE中，（如图1）
△△ABC△△ADE（SAS） △△BAC＝△DAE
即△BAD+△DAC＝△DAC+△CAE △△BAD＝△CAE． （2）△AD＝6，AP＝x， △PD＝6﹣x
当AD△BC时，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值．
（3）如图2，设△BAP＝α，则△APC＝α+30°， △AB△AC
△△BAC＝90°，△PCA＝60°，△PAC＝90°﹣α， △I为△APC的内心
△AI、CI分别平分△PAC，△PCA，
△△IAC＝△PAC，△ICA＝△PCA
△△AIC＝180°﹣（△IAC+△ICA） ＝180°﹣（△PAC+△PCA）
＝180°﹣（90°﹣α+60°）＝α+105°
△0＜α＜90°，
△105°＜α+105°＜150°，即105°＜△AIC＜150°，
△m＝105，n＝150．
19.（2019•江苏无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．
（1）求证：△DBC△△ECB； （2）求证：OB＝OC．
【答案】见解析。
【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到△ECB＝△DBC根据全等三角形的判定定理即可得到结论； 证明：△AB＝AC， △△ECB＝△DBC，
在△DBC与△ECB中，
△△DBC△△ECB（SAS）；
（2）根据全等三角形的性质得到△DCB＝△EBC根据等腰三角形的判定定理即可得到OB＝OC 证明：由（1）知△DBC△△ECB， △△DCB＝△EBC， △OB＝OC．
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