一类非经典反应扩散方程全局吸引子的正则性

第３１卷第３期　２０１１年９月　数学理论与应用　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡＬ　ＴＨＥＯＲＹ　ＡＮＤ　ＡＰＰＬＩＣＡＴＩＯＮＳ　ＶｏＩ．３１　Ｎｏ．３　Ｓｅｐ．２０１１　一类非经典反应扩散方程全局吸引子的正则性　龚静　曾妙琴　秦桂香　（１．长沙理工大学数学与计算科学学院，长沙，４１００１４）　（２．中南大学商学院，长沙，４１００８３）　摘要考虑了一类非经典反应扩散方程全局吸引子的正则性。利用渐近先验估计证明了系统在　（ｎ）中　非经典反应扩散方程　吸引子　正则性渐近先验估计　的全局吸引予Ａ－在Ｄ（』４）中有界，并进一步获得Ａ　即为系统在Ｄ（Ａ）中的全局吸引子Ａ：。　关键词Ｒｅｇｕｌａｒｉｔｙ　ｏｆ　Ｇｌｏｂａｌ　Ａｔｔｒａｃｔｏｒ　ｆｏｒ　ａ　Ｎｏｎｃｌａｓｓｉｃａｌ　Ｄｉｆｕｓｉｏｎ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　Ｇｏｎｇ　Ｊｉｎｇ　Ｚｅｎｇ　Ｍｉａｏｑｉｎ　Ｑｉｎ　Ｇｕｉｘｉａｎｇ　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，Ｃｈａｎｇｓｈａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ，４１００１４）　（２．Ｂｕｓｉｎｅｓｓ　Ｓｃｈｏｏｌ，Ｃｅｎｔｒａｌ　Ｓｏｕｔｈ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ，４１００８３）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｓｔｕｄｉｅｓ　ｔｈｅ　ｒｅｇｕｌａｒｉｔｙ　ｏｆ　ｇｌｏｂａｌ　ａｔｔｒａｃｔｏｒ　ｆｏｒ　ａ　ｎｏｎｃｌａｓｓｉｃａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｉｔ　ｉｓ　ｐｒｏｖｅｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｇｌｏｂａｌ　ａｔｔｒａｃｔｏｒ　Ａｌ　ｉｎ砩（　）ｉｓ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｉｎ　Ｄ（Ａ）ｂｙ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ　ｐｒｉｏｒｉ　ｅｓｔｉｍａｔｅ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｉｔ　ｉｓ　ｐｒｏｖｅｄ　ｔｈａｔ　Ａｌ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｇｌｏｂａｌ　ａｔｔｒａｃｔｏｒＡ２　ｉｎ　Ｄ（Ａ）．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ　Ｎｏｎｃｌａｓｓｉｃａｌ　ｒｅａｃｔｉｏｎ—ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ａｔｔｒａｃｔｏｒ　ｒｅｇｕｌａｒｉｔｙ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ　ｐｒｉｏｒｉ　ｅｓｔｉｍａｔｅ　１　引言　本文考虑如下非经典反应扩散方程初边值问题：　ｆ：　＋Ａ　＋　Ｍ　ｇ　∈　．　Ｅ　ａ　∈　。　（１）　【　（０，　）：“ｏ（　）　其中力ｃ　是具有适当光滑边界０１２的有界区域。　非经典反应扩散方程广泛出现在非牛顿流体、土壤力学及热传导理论等领域。Ａｉｆａｎｔｉｓ在　文献［１］中首先为建立这类方程提供了一般的框架，并对项一△　的物理意义进行了阐证，具　体细节请参见文献［１］。关于系统（１）的整体解的长时间行为也有一些很好的成果，如文献　国家自然科学基金项目（Ｎｏ：１０９７１２２６）；湖南省高校科研项目（Ｎｏ：１０ｃ０４０２）资助　收稿日期：２０１１年３月１９日　一类非经典反应扩散方程全局吸引子的正则性　２９　［２］ｉｉＥ，￣Ｔ系统（１）整体弱解对应的解半群在空间Ｖ＝　（力）中全局吸引子的存在性，文献　［３］证明了系统（１）整体强解对应的解半群在空间Ｄ（Ａ）＝１ｔ２（　）ｎ　（　）中全局吸引子的　存在性．我们通过对非经典反应扩散方程（１）整体弱解对应的解半群在空间Ｖ＝　（　）中全　局吸引子的正则性的讨论，证明系统（Ｉ）在砩（力）中的全局吸引子Ａ　即为系统在Ｄ（Ａ）中的　全局吸引子Ａ　。　２预备知识　首先，令　日＝　（　），Ｖ：　（　），Ｄ（Ａ）＝　（　）ｎ　（　）其中Ａ＝一△，分别用（・，・），Ｉ．ｆ表　示　（　）中的内积与范数。用ｉｊ　Ｉｌ　＝『ｎ　Ｉ　ｌ　表示　中的范数。　对非线项／作如下假设：厂∈Ｃ　（Ｒ）满足：　厂（ｓ）≥０，一Ｃ１　Ｉ　ｓ　ｌ　一　≤　ｓ）ｓ≤Ｃ２　ｌ　ｓ　Ｉ　一Ｃ０　（２）　为得所需结论，给出如下概念和相关引理：　定义２．１如果对某个ＯＬ＞０，存在ｔ。＞０使得当ｔ＞ｔ。时，对任意的　，　∈Ｂ　ｃ　Ｖ，有　ｌＪＳ（ｔ）ｕ—Ｓ（ｔ）ｖｌｌ≤ｅ一　ｌｌ“一　ｌＩ　（３）　则称解半群｛Ｓ（ｔ）｝　在　中具有指数吸引性质。　引理２．２［２　设　是ＪＲ　中具有光滑边界的有界区域，　满足（２），则系统（１）生成的解半　群｛Ｓ（ｔ）｝　在　中存在全局吸引子Ａ　，它以　中的范数吸引Ｖ中的任意有界集。　引理２．３　设　是尺。中具有光滑边界的有界区域，，满足（２），则系统（１）生成的解半　群｛Ｓ（ｔ）｝　在Ｄ（Ａ）中存在全局吸引子　，它以Ｄ（Ａ）中的范数吸引Ｄ（Ａ）中的任意有界　集。　３　（　）中的指数吸引性　定理３．１设非线性项　满足（２），ｕ。，　。Ｅ砩（　），则系统（１）所对应的解半群｛Ｓ（ｔ）｝　在空间　中具有指数吸引性，即　１１ｓ（ｔ）　一Ｓ（ｔ）Ｖ。１ｌ≤ｅ　１ｌｕ。一＂。Ｉ　１（４）　证明：设　和　分别为初值Ⅱ。、１２。关于系统（１）的解，令叫＝“一　，则有　一△　一ａｗ＋Ａｗ＋　Ｍ）一厂（　）＝０　（５）　用　作用（４）式两端，由（２）有：　’　２丢（１　ｗ　Ｊ　２＋Ｉ　Ｉ；）＋Ａ　　ｌＪ　２＋Ｊ　Ｖｗ　Ｉ　２≤０　（６）　由Ｇｒｏｎｗａｌｌ引理有：　Ｉ　Ｉ　２＋Ｉ　Ｖｗ　Ｉ　２≤Ｉ１ｗ０　ｅ　（７）　其中　＝ｍｉｎ（１，Ａ）。故对一切ｔ＞０有　一　３０　数学理论与应用　ｌＩｓ（ｔ）‰一Ｓ（ｔ）ｖ。ｌ１≤ｅ　成立。证毕。　一ＶｏＩ１，　假设　（　）和Ｄ（Ａ）中的有界吸收集分别为　，和　：，因为Ｄ（Ａ）　（　）是紧的，所以Ｂ：　也为　（　）的有界集。由定理１及指数吸引性的定义知曰：按　（力）模指数吸引ｎ＇ｏ（力）中　任意有界集Ｂ　ｃ　Ｖ，且　在　（　）中紧，则有　Ａｌ　ｃ　２　ｃ　Ｄ（Ａ）　则有Ａ　在Ｄ（Ａ）中按Ｄ（Ａ）模有界。　４　Ａ　与　：的一致性　引理４．１　设Ｂａｎａｃｈ空间　、ｌ，，其模分别为ｌ１．　、ｌＪ．１Ｉｙ，Ｂ∈Ｂ（　）ｎ　（１，）。假设　｛　｝　：　∈Ｂ，且有　ＩＩ・ｌｉ　ｏ，　ｌＩ・ＩＩｙｙｏ，　ｏ，Ｙｏ∈Ｂ。贝０　０　ｙ０　其中　（　）为　中所有有界子集的集合。　定理４．２系统（１）在　（　）中的全局吸引子Ａ　即为该系统在Ｄ（Ａ）中的全局吸引子　４２。　证明：由于系统（１）在　（　）中的全局吸引子Ａ　的不变性，我们只需证Ａ　＝Ａ：。一方面，　显然有Ａ２　ｃ　Ａｌ，下证Ａ１　ｃ　Ａ２。　由全局吸引子的定义，有　。∈Ａ的充要条件是存在　∈Ｂ。，ｔ　一∞，使得　Ｓ（ｔ　）　Ｉ　ｏａｓｎ一。。　（８）　于是，对任意的Ｙ。∈Ａ　，由（８）知，存在　∈Ｂ：和ｔ　一∞，使得Ｓ（ｔ　）　ｌＩ．ＩＩｘＹｏ。由于　｛ｓ（ｔ　）　｝　：　在　（　）中是预紧的，从而｛Ｓ（ｔ）｝　在　（　）中有全局吸引子Ａ。，不妨设　ｓ（ｔ　）　ｌ１．ｆｌ　∈Ａ　。于是由引理３知　。＝Ｙｏ，即Ｙｏ∈Ａ：。由Ｙｏ的任意性，知Ａ　ｃ　Ａｚ。从而Ａ・　：Ａ，。　参考文献　『１　１　Ａｉｆａｎｔｉｓ．Ｅ．Ｃ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ　ｉｎ　ｓｏｌｉｄｓ［Ｊ］．Ａｃｔａ　Ｍｅｃｈ，１９８０，３７（２）：２６５—２９６．　［２］Ｃ．Ｙ．Ｓｕｎ，Ｓ．Ｙ．Ｗａｎｇ，Ｃ．Ｋ．Ｚｈｏｎｇ．Ｇｌｏｂａｌ　ａｔｔｒａｃｔｏｒｓ　ｆｏｒ　ａ　ｎｏｎｃｌａｓｓｉｃａｌ　ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ　ｅｑｕ￣ｉｏｎ［Ｊ］．Ａｃｔａ．Ｍａｔｈ．Ｓｉｎ，　２００７，２３（７）：１２７１—１２８０．　［３］王素云．一类非经典反应扩散方程的强解的长期行为［Ｊ］．兰州大学学报，２００８，６（４４）：１２４—１２６．　ｆ４１　Ｃ．Ｙ．Ｓｕｎ，Ｃ．Ｋ．Ｚｈｏｎｇ．Ａｔｔｒａｃｔｏｒｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｓｅｍｉｌｉｎｅａｒ　ｒｅａｃｔｉｎｇ—ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ　ｉｎ　ｕｎｂｏｕｎｄ＿　ｅｄ　ｄｏｍａｉｎｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ａｎａ１．２００５（６３）４９—６５．　［５］Ｙ．Ｑ．Ｘｉｅ，Ｃ．Ｋ．Ｚｈｏｎｇ．Ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｇｌｏｂａｌ　ａｔｔｒａｃｔｏｒｓ　ｆｏｒ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊ・Ｍａｔｈ・　Ａｎａ１．Ａｐｐ１．，２００７（３３６），５４—６９。