一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）下面的几何体中，俯视图为三角形的是（ ）
A． B．
2
C． D．
2．（3分）一元二次方程（x﹣2）＝0的根是（ ） A．x＝2
B．x1＝x2＝2
C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝0，x2＝2
3．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠COD＝50°，那么∠CAD的度数是（ ）
A．20°
B．25°
2
C．30° D．40°
4．（3分）已知﹣1是一元二次方程ax+bx+1＝0的一个根，则a﹣b的值是（ ） A．﹣1
B．0
C．1
D．无法确定
5．（3分）已知菱形的面积为10，对角线的长分别为x和y，则y关于x的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）在不透明的袋子里装有16个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外无其它差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.6，则袋中白球有（ ） A．12个
B．20个
C．24个
D．40个
7．（3分）如图，这是某市政道路的交通指示牌．BD的距离为3m，从D点测得指示牌顶端
A点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC的长度是（ ）
A．3
B．3
C．3
﹣3
D．3
﹣3
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．任意两个等腰三角形相似
C．一元二次方程x﹣ax﹣2＝0，无论a取何值，一定有两个不相等的实数根 D．关于反比例函数y＝，y的值随x值的增大而减小
9．（3分）如图，已知△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，点B的坐标为（﹣3，2），则点C的坐标为（ ）
2
A．（3，﹣2）
B．（6，﹣4）
C．（4，﹣6）
D．（6，4）
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，点M为边AD的中点，连接BD交CM于点N，则BN的长是（ ）
A．1
B．
2
C． D．
11．（3分）二次函数y＝ax+bx+c的图象如图所示，以下结论中正确的是（ ）
A．abc＜0 B．4ac﹣b＞0
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．4a﹣2b+c＞0
12．（3分）如图，矩形ABCD，AB＝8，AD＝14，点M，N分别为边AD和边BC上的两点，且MN∥AB，点E是点A关于MN所在的直线的对称点，取CD的中点F，连接EF，NF，分别将△EDF沿着EF所在的直线折叠，将△CNF沿着NF所在的直线折叠，点D和点C恰好重合于EN上的点G．以下结论中：
①EF⊥NF；②∠MNE＝∠CNE；③△MNE∽△DEF；④四边形MNCD是正方形；⑤AM＝5．其中正确的结论是（ ）
2
A．①②
B．①④
C．①③⑤
D．①④⑤
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13．（3分）已知
，则
2
＝ ．
14．（3分）抛物线y＝x﹣6x+5向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ．
15．（3分）如图，在A时测得一棵大树的影长为4米，B时又测得该树的影长为6米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度是 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与双曲线y＝（k≠0）交于点A，过点C（0，2）作AO的平行线交双曲线于点B，连接AB并延长与y轴交于点D（0，4），则k的值为 ．
三、解答题：本题共7题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（5分）计算：﹣12+（
）+cos45°+|1﹣
2
|
18．（8分）有3张正面分别写有数字﹣2，0，1的卡片，它们的背面完全相同，现将这3张卡片背面朝上洗匀，小明先从中任意抽出一张卡片记下数字为x；小亮再从剩下的卡片中任意取出一张记下数字为y，记作P（x，y）．
（1）用列表或画树状图的方法列出所有可能的点P的坐标；
（2）若规定：点P（x，y）在第二象限小明获胜；点P（x，y）在第四象限小亮获胜，游戏规则公平吗？
19．（5分）如图，一次函数y1＝﹣x+2的图象与反比例函数y2＝（k≠0）的图象分别交于第二、四象限的A，B两点，点A的横坐标为﹣1． （1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答：当x取何值时，y1＜y2．请直接写出答案： ．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，延长DA于点E，使得DA＝AE，连接BE．
（1）求证：四边形AEBC是矩形；
（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若AB＝6，∠CAB＝30°，求△OGC的面积．
21．（7分）天猫商城某网店销售某款蓝牙耳机，进价为100元．在元旦即将来临之际，开展了市场调查，当蓝牙耳机销售单价是180元时，平均每月的销售量是200件，若销售单价每降低2元，平均每月就可以多售出10件．
（1）设每件商品降价x元，该网店平均每月获得的利润为y元，请写出y与x元之间的函数关系；
（2）该网店应该如何定价才能使得平均每月获得的利润最大，最大利润是多少元？ 22．（9分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E是边BC的中点．动点P从点A出发，沿着AB运动到点B停止，速度为每秒钟1个单位长度，连接PE，过点E作PE的垂线交射线AD与点Q，连接PQ，设点P的运动时间为t秒． （1）当t＝1时，sin∠PEB＝ ；
（2）是否存在这样的t值，使△APQ为等腰直角三角形？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△PEQ的面积等于10？
23．（10分）如图，抛物线y＝x+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴所在的直线是x＝，点B的坐标为（4，0）．
2
（1）抛物线的解析式是 ；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上一动点，当∠ABP＝2∠ABC时，求出点P的坐标； （3）若M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点N，使得点B，C，M，N构成的四边形是菱形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
2018-2019学年广东省深圳市宝安区九年级（上）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）下面的几何体中，俯视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据俯视图是从物体上面看所得到的图形进行解答即可．
【解答】解：俯视图为三角形的是故选：C．
．
【点评】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
2．（3分）一元二次方程（x﹣2）＝0的根是（ ） A．x＝2
B．x1＝x2＝2
C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝0，x2＝2
2
【分析】方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（x﹣2）＝0， 则x1＝x2＝2， 故选：B．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是掌握要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解． 3．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠COD＝50°，那么∠CAD的度数是（ ）
2
A．20°
B．25°
C．30°
D．40°
【分析】只要证明OA＝OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题； 【解答】解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∴DB＝AC，OD＝OB，OA＝OC， ∴OA＝OD， ∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠COD＝50°＝∠CAD+∠ADO， ∴∠CAD＝25°， 故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．（3分）已知﹣1是一元二次方程ax+bx+1＝0的一个根，则a﹣b的值是（ ） A．﹣1
B．0
C．1
D．无法确定
2
【分析】把x＝﹣1代入方程计算求出a﹣b的值即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：a﹣b+1＝0，即a﹣b＝﹣1， 故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5．（3分）已知菱形的面积为10，对角线的长分别为x和y，则y关于x的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据菱形的面积列出等式后即可求出y关于x的函数式． 【解答】解：由题意可知：10＝xy， ∴y＝
（x＞0），
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数，解题的关键是熟练运用菱形的面积公式，本题属于基础题型．
6．（3分）在不透明的袋子里装有16个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外无其它差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.6，则袋中白球有（ ） A．12个
B．20个
C．24个
D．40个
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意得：
＝0.6， 解得：x＝24，
经检验：x＝24是分式方程的解， 故袋中白球有24个． 故选：C．
【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．
7．（3分）如图，这是某市政道路的交通指示牌．BD的距离为3m，从D点测得指示牌顶端A点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC的长度是（ ）
A．3
B．3
C．3
﹣3
D．3
﹣3
【分析】直接利用等腰直角三角形的性质结合锐角三角函数关系得出答案． 【解答】解：由题意可得：∠CDB＝∠DCB＝45°， 故BD＝BC＝3m， 设AC＝x，
则tan60°＝解得：x＝3故选：D．
＝﹣3，
，
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．任意两个等腰三角形相似
C．一元二次方程x﹣ax﹣2＝0，无论a取何值，一定有两个不相等的实数根 D．关于反比例函数y＝，y的值随x值的增大而减小
【分析】利用正方形的判定定理、相似三角形的判定定理、一元二次方程的解及反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误； B、等腰三角形的对应角不一定相等，故错误；
C、方程x﹣ax﹣2＝0中△＝a+8＞0，一定有两个不相等的实数根，故正确； D、关于反比例函数y＝，在每一象限内y的值随x值的增大而减小，故错误， 故选：C．
【点评】考查了正方形的判定定理、相似三角形的判定定理、一元二次方程的解及反比例函数的性质，知识点比较多，较复杂．
9．（3分）如图，已知△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，点B的坐标为（﹣3，2），则点C的坐标为（ ）
2
2
2
A．（3，﹣2）
B．（6，﹣4）
C．（4，﹣6）
D．（6，4）
【分析】利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标
是（kx，ky）或（﹣kx，ky）．
【解答】解：∵△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4， ∴△ABO与△DCO的相似比为1：2， ∵点B的坐标为（﹣3，2）， ∴点C的坐标为（6，﹣4）， 故选：B．
【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，点M为边AD的中点，连接BD交CM于点N，则BN的长是（ ）
A．1
B．
C．
D．
【分析】首先证明△ABC是等边三角形，推出BD＝2，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC， ∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝2， ∵AM＝MD， ∴BC＝2DM， ∵DM∥BC， ∴△DMN∽△BCN， ∴
＝
＝，
∴BN＝BD＝， 故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．（3分）二次函数y＝ax+bx+c的图象如图所示，以下结论中正确的是（ ）
2
A．abc＜0 B．4ac﹣b＞0
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．4a﹣2b+c＞0
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案． 【解答】解：∵抛物线的开口向上， ∴a＞0，
∵对称轴在y轴的右侧， ∴b＜0， ∵c＝﹣3，
∴abc＞0，故A错误； ∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴△＝b﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b＜0，故B错误；
∵抛物线与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（2，0）， ∴对称轴方程为直线x＝，
∴当x＜时，y随x的增大而减小，故C错误； 当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故D正确； 故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
222
12．（3分）如图，矩形ABCD，AB＝8，AD＝14，点M，N分别为边AD和边BC上的两点，且MN∥AB，点E是点A关于MN所在的直线的对称点，取CD的中点F，连接EF，NF，分别将△EDF沿着EF所在的直线折叠，将△CNF沿着NF所在的直线折叠，点D和点C恰好重合于EN上的点G．以下结论中：
①EF⊥NF；②∠MNE＝∠CNE；③△MNE∽△DEF；④四边形MNCD是正方形；⑤AM＝5．其中正确的结论是（ ）
A．①②
B．①④
C．①③⑤
D．①④⑤
【分析】由折叠的性质得到∠DFE＝∠GFE，∠GFN＝∠CFN，根据平角的定义得到EF⊥NF；故①正确；连接AN，根据轴对称的性质得到∠ANM＝∠ENM，推出∠MNE≠∠CNE；故②错误；根据余角的性质得到∠DFE≠∠NEM，推出△MNE∽△DEF错误，故③错误；设DE＝x，根据相似三角形的性质得到CN＝8，推出四边形MNCD是正方形；故④正确；根据线段的和差得到AM＝6，故⑤错误．
【解答】解：∵由折叠的性质得，∠DFE＝∠GFE，∠GFN＝∠CFN， ∵∠DFE+∠GFE+∠GFN+∠CFN＝180°， ∴∠GFN+∠CFN＝90°， ∴∠NFE＝90°， ∴EF⊥NF；故①正确； 连接AN，
∵点E是点A关于MN所在的直线的对称点， ∴∠ANM＝∠ENM， ∴∠ANB＝∠CNE，
而四边形ABNM不是正方形， ∴∠ANB≠∠ANM，
∴∠MNE≠∠CNE；故②错误；
∵∠NEF≠90°，∠DFE+∠DEF＝90°，∠DEF+∠MEN≠90°， ∴∠DFE≠∠NEM，
∴△MNE∽△DEF错误，故③错误； 设DE＝x， ∴BN＝AM＝∴CN＝14﹣BN＝
，
，
∵∠EFD+∠CFN＝∠EFD+∠DEF＝90°， ∴∠DEF＝∠CFN， ∵∠D＝∠C＝90°， ∴△DEF∽△CFN， ∴
＝
，
∵F是CD的在中点， ∴CF＝DF＝4， ∴
＝，
∴x＝2，x＝﹣16（不合题意舍去）， ∴DE＝2，CN＝8， ∴CD＝CN，
∴四边形MNCD是正方形；故④正确； ∵CN＝DM＝8， ∴AM＝6，故⑤错误， 故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，正方形的判定，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13．（3分）已知
，则
＝ ﹣ ．
【分析】根据比例的性质解答即可． 【解答】解：设
＝k，
可得：x＝2k，y＝5k， 把x＝2k，y＝5k代入故答案为：﹣．
【点评】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．
14．（3分）抛物线y＝x﹣6x+5向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式是 y＝（x﹣1）﹣1 ．
【分析】先把y＝x﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：y＝x﹣6x+5＝（x﹣3）﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）， 把点（3，﹣4）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点的坐标为（1，﹣1），
所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1）﹣1． 故答案是：y＝（x﹣1）﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
15．（3分）如图，在A时测得一棵大树的影长为4米，B时又测得该树的影长为6米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度是 2米 ．
2
2
2
2
2
2
2
，
【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得 DC＝ED•FD，代入数据可得答案． 【解答】解：根据题意，作△EFC；
2
＝，即
树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝4，FD＝6； ∵∠ECF＝90°， ∴∠ECD+∠DCF＝90°， ∵CD⊥EF，
∴∠CDE＝∠FDC＝90°， ∴∠DCF+∠F＝90°， ∴∠ECD＝∠F， ∴Rt△EDC∽Rt△FDC， ∴
＝
，即DC＝ED•FD，
22
代入数据可得DC＝24， 解得：DC＝2故答案为：2
（米）； 米．
【点评】本题考查相似三角形的应用，关键是通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与双曲线y＝（k≠0）交于点A，过点C（0，2）作AO的平行线交双曲线于点B，连接AB并延长与y轴交于点D（0，4），则k的值为
．
【分析】根据“直线y＝x与双曲线y＝（k≠0）交于点A，过点C（0，2）作AO的平行线交双曲线于点B”，得到BC的解析式，根据“OD＝4，OC＝2，BC∥AO”，得到△BCD～△AOD，结合点A和点B的坐标，根据点A和点B都在双曲线上，得到关于m
的方程，解之，得到点A的坐标，即可得到k的值． 【解答】解：∵OA的解析式为：y＝
，
又∵AO∥BC，点C的坐标为：（0，2）， ∴BC的解析式为：y＝
，
设点B的坐标为：（m，m+2）， ∵OD＝4，OC＝2，BC∥AO， ∴△BCD～△AOD，
∴点A的坐标为：（2m，m）， ∵点A和点B都在y＝上， ∴m（
）＝2m•m，
解得：m＝2，
即点A的坐标为：（4，）， k＝4×＝故答案为：
， ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握代入法和三角形相似的判定定理是解题的关键．
三、解答题：本题共7题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（5分）计算：﹣12+（
）+cos45°+|1﹣
2
|
【分析】先根据二次根式的性质和绝对值的性质以及特殊角的三角函数进行计算，然后合并同类项即可．
【解答】解：原式＝﹣12+7+
+
﹣1＝
﹣6．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，关键是根据绝对值的性质和特殊角的三角函数值计算．
18．（8分）有3张正面分别写有数字﹣2，0，1的卡片，它们的背面完全相同，现将这3张卡片背面朝上洗匀，小明先从中任意抽出一张卡片记下数字为x；小亮再从剩下的卡片中任意取出一张记下数字为y，记作P（x，y）．
（1）用列表或画树状图的方法列出所有可能的点P的坐标；
（2）若规定：点P（x，y）在第二象限小明获胜；点P（x，y）在第四象限小亮获胜，游戏规则公平吗？
【分析】（1）通过列表展示所有6种等可能情况；
（2）利用第二、四象限的点的坐标特点得到对应的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）根据题意，列表如下： ﹣2 1 0 ﹣2 （﹣2，1） （﹣2，0） 1 0 （1，﹣2） （0，﹣2） （1，0） （0，1） 一共有6种等可能情况；
（2）由表知，点P在第二象限有1种结果，在第四象限的有1种结果， ∴小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为， 因此此游戏规则公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
19．（5分）如图，一次函数y1＝﹣x+2的图象与反比例函数y2＝（k≠0）的图象分别交于第二、四象限的A，B两点，点A的横坐标为﹣1． （1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答：当x取何值时，y1＜y2．请直接写出答案： ﹣1＜x＜0或x＞3 ．
【分析】（1）把x＝﹣1代入一次函数y1＝﹣x+2，解之，即可得到点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数y2＝，求k，即可得到答案，
（2）一次函数y＝﹣x+2与反比例函数y＝﹣联立，解之，即可得到点A和点B的坐标，根据图象，即可得到答案．
【解答】解：（1）把x＝﹣1代入一次函数y1＝﹣x+2得： y1＝﹣1+2＝3，
即点A的坐标为：（﹣1，3），
把点A（﹣1，3）代入反比例函数y2＝得： 3＝
，
解得：k＝﹣3，
即反比例函数为y2＝﹣，
（2）一次函数y＝﹣x+2与反比例函数y＝﹣联立得：
，
解得：或，
即点A的坐标为：（﹣1，3），点B的坐标为：（3，﹣1）， 由图象可知：当﹣1＜x＜0或x＞3时，y1＜y2， 故答案为：﹣1＜x＜0或x＞3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键：（1）正确掌握代入法和待定系数法，（2）正确掌握数形结合思想．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，延长DA于点E，使得DA＝AE，连接BE．
（1）求证：四边形AEBC是矩形；
（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若AB＝6，∠CAB＝30°，求△OGC的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，推出四边形AEBC是平行四边形，求得∠CAE＝90°，于是得到四边形AEBC是矩形；
（2）根据三角形的内角和得到∠AGF＝60°，∠EAF＝60°，推出△AOE是等边三角形，得到AE＝EO，求得∠GOF＝∠GAF＝30°，根据直角三角形的性质得到OG＝2据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵DA＝AE，
∴AE＝BC，AE∥BC， ∴四边形AEBC是平行四边形， ∵AC⊥AD， ∴∠DAC＝90°， ∴∠CAE＝90°， ∴四边形AEBC是矩形； （2）∵EG⊥AB， ∴∠AFG＝90°， ∵∠CAB＝30°，
∴∠AGF＝60°，∠EAF＝60°， ∵四边形AEBC是矩形， ∴OA＝OC＝OB＝OD， ∴△AOE是等边三角形， ∴AE＝EO， ∴AF＝OF， ∴AG＝OG，
，根
∴∠GOF＝∠GAF＝30°， ∴∠CGO＝60°， ∴∠COG＝90°， ∵OC＝OA＝AB＝3， ∴OG＝
，
＝
．
∴△OGC的面积＝×3×
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
21．（7分）天猫商城某网店销售某款蓝牙耳机，进价为100元．在元旦即将来临之际，开展了市场调查，当蓝牙耳机销售单价是180元时，平均每月的销售量是200件，若销售单价每降低2元，平均每月就可以多售出10件．
（1）设每件商品降价x元，该网店平均每月获得的利润为y元，请写出y与x元之间的函数关系；
（2）该网店应该如何定价才能使得平均每月获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【分析】（1）由题意得：y＝（180﹣100﹣x）（200+（2）a＝﹣5＜0，故函数有最大值，当x＝﹣
）＝﹣5x+200x+16000；
2
＝﹣20时，y＝36000，即可求解．
）＝﹣5x+200x+16000；
2
【解答】解：（1）由题意得：y＝（180﹣100﹣x）（200+（2）∵a＝﹣5＜0，故函数有最大值， 当x＝﹣
＝﹣20时，y＝36000，
答：网店降价为20元时，即：定价为180﹣20＝160元时，获得的利润最大，最大利润是36000元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函
数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
22．（9分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E是边BC的中点．动点P从点A出发，沿着AB运动到点B停止，速度为每秒钟1个单位长度，连接PE，过点E作PE的垂线交射线AD与点Q，连接PQ，设点P的运动时间为t秒． （1）当t＝1时，sin∠PEB＝
；
（2）是否存在这样的t值，使△APQ为等腰直角三角形？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△PEQ的面积等于10？
【分析】（1）由题意得出AP＝1，BP＝3，BE＝CE＝1，利用勾股定理求得PE＝根据正弦函数的定义可得答案； （2）证△BPE∽△CEF得△QDF得
＝
＝
，据此求得CF＝
，DF＝
，再证△ECF∽
，
，据此求得DQ＝15﹣4t，AQ＝17﹣4t，根据△APQ为等腰直角三角
形列方程求解可得答案；
（3）根据S△PEQ＝S直角梯形ABEQ﹣S△APQ﹣S△BPE＝2t﹣16t+34及△PEQ的面积等于10列方程求解可得．
【解答】解：（1）根据题意知，当t＝1时，AP＝1， 则PB＝3，
∵BC＝2，点E是边BC的中点， ∴BE＝CE＝1， 则PE＝
＝
＝＝
， ＝
，
2
∴在Rt△PBE中，sin∠PEB＝
故答案为：
（2）存在，t＝
；
．
如图，记QE与CD的交点为F，
由题意知AP＝t，BP＝4﹣t，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝2， ∴∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，DC＝4，AD＝2， ∴∠PEB+∠BPE＝90°， ∵∠PEQ＝90°， ∴∠PEB+∠CEF＝90°， ∴∠BPE＝∠CEF， ∴△BPE∽△CEF， ∴
＝
，即，
＝
，
＝
，
∴CF＝
∴DF＝CD﹣CF＝4﹣
∵∠C＝∠FDQ＝90°，∠CFE＝∠DFQ， ∴△ECF∽△QDF，
∴＝，即＝，
∴DQ＝15﹣4t，
则AQ＝AD+DQ＝2+15﹣4t＝17﹣4t， ∵△APQ为等腰直角三角形，
∴AP＝AQ，即t＝17﹣4t， 解得t＝故当t＝
（3）S△PEQ＝S直角梯形ABEQ﹣S△APQ﹣S△BPE
＝×（1+17﹣4t）×4﹣×（t+17﹣4t）×t﹣×（4﹣t）×1 ＝2t﹣16t+34，
由题意知2t﹣16t+34＝10， 解得t＝2或t＝6， ∵0≤t≤4， ∴t＝2．
【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的应用及割补法求三角形的面积等知识点．
23．（10分）如图，抛物线y＝x+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴所在的直线是x＝，点B的坐标为（4，0）．
2
2
2
，
时，△APQ为等腰直角三角形．
（1）抛物线的解析式是 y＝x﹣x+2 ；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上一动点，当∠ABP＝2∠ABC时，求出点P的坐标； （3）若M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点N，使得点B，C，M，N构成的四边形是菱形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用抛物线对称性得到点A（，0），然后利用交点式写出抛物线解析式；
2
（2）如图，∠ABP＝2∠ABC，直线BP交y轴于E，作C点关于x轴的对称轴点D，DH⊥BE于H，则∠ABC＝∠ABD，∠ABD＝∠PBD，则OD＝DH＝2，设DE＝t，利用相似比表示出EH＝1+t，根据勾股定理得到2+（1+t）＝t，解得t1＝﹣2，t2＝而得到E（0，﹣
），利用待定系数法得直线BE的解析式为y＝x﹣
2
2
2
，从
，然后解方程
组得P点坐标；
（3）若BC为对角线，易得点B，C，M，N构成的四边形不是菱形；若BC为边，则CN∥BM，则CN＝，而BC＝2不可能为菱形．
【解答】解：（1）∵点A与点B（4，0）关于直线是x＝， ∴点A（，0），
∴抛物线解析式为y＝（x﹣）（x﹣4）， 即y＝x﹣x+2； 故答案为y＝x﹣x+2； （2）如图，∠ABP＝2∠ABC，
直线BP交y轴于E，作C点关于x轴的对称轴点D，DH⊥BE于H， 则∠ABC＝∠ABD， ∴∠ABD＝∠PBD， ∴DO＝DH，
当x＝0时，y＝x﹣x+2＝2，则C（0，2）， ∴OD＝DH＝2， 设DE＝t，
∵∠DEH＝∠BEO， ∴△EDH∽△EBO， ∴
＝
，即
＝，则EH＝1+t，
22
2
，利用BC≠CN可判断点B，C，M，N构成的四边形
在Rt△DEH中，2+（1+t）＝t，解得t1＝﹣2，t2＝∴OE＝OD+DE＝2+∴E（0，﹣
），
＝
，
222
，
设直线BE的解析式为y＝mx+n， 把B（4，0），E（0，﹣
）代入得
，
∴直线BE的解析式为y＝x﹣，
解方程组得或，
∴P点坐标为（，﹣）；
（3）在抛物线上不存在点N，使得点B，C，M，N构成的四边形是菱形． 理由如下：
若BC为对角线，易得点B，C，M，N构成的四边形不是菱形； 若BC为边，则CN∥BM，则CN＝，而BC＝构成的四边形不可能为菱形．
＝2
，所以点B，C，M，N
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的判定；会利用待定系数法求函数解析式，会通过解方程组求两函数的交点坐标．
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