一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．
（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；
（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形； （3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由． 【答案】（1）解：k=4，S△PAB=15．
提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO， 设AP与y轴交于点C，如图1，
把x=4代入y= x，得到点B的坐标为（4，1）， 把点B（4，1）代入y= ，得k=4．
解方程组 ∴OA=OB，
，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），
则点A与点B关于原点对称， ∴S△AOP=S△BOP ， ∴S△PAB=2S△AOP ．
设直线AP的解析式为y=mx+n，
把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n， 求得直线AP的解析式为y=x+3， 则点C的坐标（0，3），OC=3， ∴S△AOP=S△AOC+S△POC
= OC•AR+ OC•PS = ×3×4+ ×3×1= ， ∴S△PAB=2S△AOP=15；
（2）解：过点P作PH⊥x轴于H，如图2． B（4，1），则反比例函数解析式为y= ，
设P（m， ），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，
联立
，解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1，
联立
∴H（m，0），
，解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1，
∴M（m﹣4，0），N（m+4，0）， ∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4， ∴MH=NH， ∴PH垂直平分MN， ∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；
（3）解：∠PAQ=∠PBQ． 理由如下：
过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3． 可设点Q为（c， ），直线AQ的解析式为y=px+q，则有
，
解得：
，
∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1． 当y=0时， x+ ﹣1=0， 解得：x=c﹣4， ∴D（c﹣4，0）． 同理可得E（c+4，0），
∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4， ∴DT=ET， ∴QT垂直平分DE， ∴QD=QE， ∴∠QDE=∠QED． ∵∠MDA=∠QDE， ∴∠MDA=∠QED．
∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．
∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED， ∴∠PAQ=∠PBQ．
【解析】【分析】（1）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，可根据条件先求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k，然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标，从而得到OA=OB，由此可得S△PAB=2S△AOP ， 要求△PAB的面积，只需求△PAO的面积，只需用割补法就可解决问题；（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．可用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，即△PMN是等腰三角形；（3）过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c， ），运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D的坐标为（c﹣4，0），同理可得E（c+4，0），从而得到DT=ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有∠QDE=∠QED．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠PAQ=∠PBQ．
2．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B，D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）．
（1）点C的坐标________；
（2）若反比例函数y= （k≠0）的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，m），求m的值及反比例函数的解析式；
（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接EF，在直线AB上找一点P，使得S△PEF= S△CEF ， 求点P的坐标．
【答案】（1）（3，0） （2）解：∵AB=CD=3，OB=1， ∴A的坐标为（1，3），又C（3，0）， 设直线AC的解析式为y=ax+b，
则 ，解得：
，
∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ ． ∵点E（2，m）在直线AC上， ∴m=﹣ ×2+ = ， ∴点E（2， ）．
∵反比例函数y= 的图象经过点E， ∴k=2× =3，
∴反比例函数的解析式为y=
（3）解：延长FC至M，使CM= CF，连接EM，则S△EFM= S△EFC ，
在y= 中，当x=3时，y=1， ∴F（3，1）．
过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，则S△PEF=S△MEF ． 设直线EF的解析式为y=a'x+b'，
∴ ，解得
，
（3，﹣0.5）． M
∴y=﹣ x+ ．
设直线PM的解析式为y=﹣ x+c， 代入M（3，﹣0.5），得：c=1， ∴y=﹣ x+1． 当x=1时，y=0.5， ∴点P（1，0.5）． 同理可得点P（1，3.5）．
∴点P坐标为（1，0.5）或（1，3.5）． 【解析】【解答】解：（1）∵D（3，3）， ∴OC=3， ∴C（3，0）． 故答案为（3，0）；
【分析】（1）由D的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出C的坐标；（2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由D的纵坐标确定出CD的长，即为AB的长，再由B的坐标确定出OB的长，再由A为第一象限角，确定出A的坐标，由A与C的坐标确定出直线AC的解析式，将E坐标代入直线AC解析式中，求出m的值，确定出E的坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC至M，使CM=CF，连接EM，则S△EFM=S△EFC ， M（3，﹣0.5）．求出F（3，1），过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到S△PEF=S△MEF ． 此时直线EF与直线PM的斜率相同，由F的横坐标与C横坐标相同求出F的横坐标，代入反比例解析式中，确定出F坐标，由E与F坐标确定出直线EF斜率，即为直线PM的斜率，再由M坐标，确定出直线PM解析式，由P横坐标与B横坐标相同，将B横坐标代入直线PM解析式中求出y的值，即为P的纵坐标，进而确定出此时P的坐标．
3．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”．
例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”．
（1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长； （2）如图2，若某函数是反比例函数
（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，
点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式； （3）如图3，若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，C，D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式． 【答案】（1）解：（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时： 正方形ABCD的边长为
．
，
．
（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时： 设正方形边长为a，易得3a= 解得a=
，此时正方形的边长为
或
∴所求“伴侣正方形”的边长为
（2）解：如图，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点E、F，
易证△ADE≌△BAO≌△CBF． ∵点D的坐标为（2，m），m＜2， ∴DE=OA=BF=m， ∴OB=AE=CF=2﹣m． ∴OF=BF+OB=2，
∴点C的坐标为（2﹣m，2）． ∴2m=2（2﹣m），解得m=1． ∴反比例函数的解析式为y=
（3）解：实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开
口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合
a、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+
；
b、当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在， c、当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在 d、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y= x2+
；
e、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣ x2+
；
f、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y= x2+ ； 故二次函数的解析式分别为：y= x2+ 算正方形的边长.
（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标，可求出m的值 ，即可得到反比例函数的解析式．
（3）由抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论，即可得到所求的结论．
或y=﹣ x2+
或y=﹣ x2+ 或y= x2+
【解析】【分析】（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计
4．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（﹣1，0），点A的横坐标是1，tan∠CDO=2．过点B作BH⊥y轴交y轴于H，连接AH．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△ABH面积．
【答案】（1）解：∵点D的坐标为（﹣1，0），tan∠CDO=2， ∴CO=2，即C（0，2），
把C（0，2），D（﹣1，0）代入y=ax+b可得，
，解得
∵点A的横坐标是1，
∴当x=1时，y=4，即A（1，4），
把A（1，4）代入反比例函数y= ，可得k=4， ∴反比例函数解析式为y=
，
∴一次函数解析式为y=2x+2，
（2）解：解方程组 ∴B（﹣2，﹣2）， 又∵A（1，4），BH⊥y轴，
，可得 或
，
∴△ABH面积= ×2×（4+2）=6．
【解析】【分析】（1）先由tan∠CDO=2可求出C坐标，再把D点坐标代入直线解析式，可求出一次函数解析式，再由直线解析式求出A坐标，代入双曲线解析式，可求出双曲线解析式；（2）△ABH面积可以BH为底，高=yA-yB=4-(-2)=6.
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数
的图象交于二四象限内的A、B 两点，与x轴交于C点，点B的坐标为
（6，n），线段
OA=5，E
为
x
轴负半轴上一点，且
sin∠AOE=
．
（2）求△AOC的面积；
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．
【答案】（1）解：作AD⊥x轴于D，如图，
，
在Rt△OAD中，∵sin∠AOD= ∴AD= ∴OD=
∴A（﹣3，4）， 把A（﹣3，4）代入y=
OA=4，
=3，
=
得m=﹣4×3=﹣12，
；
所以反比例函数解析式为y=﹣
把B（6，n）代入y=﹣
得6n=﹣12，解得n=﹣2，
把A（﹣3，4）、B（6，﹣2）分别代入y=kx+b得
x+2
，解得
，
所以一次函数解析式为y=﹣
（2）解：当y=0时，﹣
x+2=0，解得x=3，则C（3，0）， 所以S△AOC=
×4×3=6
（3）解：当x＜﹣3或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值
【解析】【分析】（1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（﹣3，4），再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（6，n）代入反比例函数解析式求出n，然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；（2）先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
6．如图，直线y=2x+6与反比例函数y= （k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+6﹣ ＜0的解集；
（3）直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？ 【答案】（1）解：∵直线y=2x+6经过点A（1，m）， ∴m=2×1+6=8， ∴A（1，8），
∵反比例函数经过点A（1，8）， ∴k=8，
∴反比例函数的解析式为y= ．
（2）解：不等式2x+6﹣ ＜0的解集为0＜x＜1． （3）解：由题意，点M，N的坐标为M（ ，n），N（ ∵0＜n＜6， ∴ ∴ ﹣
＜0，
＞0
）×n=﹣ （n﹣3）2+ ，
，n），
∴S△BMN= |MN|×|yM|= ×（ ﹣
∴n=3时，△BMN的面积最大，最大值为 ．
【解析】【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）由图象直接求得；
（3）构建二次函数，利用二次函数的最值即可解决问题.
7．如图，在矩形OABC中，OA=6，OC=4，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数
的图象与BC边交于点E.
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）解：∵在矩形OABC中，OA=6，OC=4，∴B（6，4）， ∵F为AB的中点，∴F（6，2）， 又∵点F在反比例函数
（k＞0）的图象上，∴k=12，
∴该函数的解析式为y= （x＞0）
（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（ ，4），F（6， ）， ∴ = = = =
，
，
∴当k=12时，S有最大值．S最大=3
【解析】【分析】）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．
8．如图，一次函数
的图象与反比例函数
的图象交于第一象限C，D两
点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）.
（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； （2）求△DOC的面积.
（3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：将C(1，4)代入反比例函数解析式可得：k=4，则反比例函数解析式为：
，
将D(4，m)代入反比例函数解析式可得：m=1
（2）解：根据点C和点D的坐标得出一次函数的解析式为：y=－x+5 则点A的坐标为(0，5)，点B的坐标为(5，0) ∴S△DOC=5×5÷2－5×1÷2－5×1÷2=7.5
（3）解：双曲线上存在点P(2,2),使得S△POC=S△POD，理由如下： ∵C点坐标为：(1,4),D点坐标为：(4,1)， ∴OD=OC=
，
∴当点P在∠COD的平分线上时，∠COP=∠POD，又OP=OP， ∴△POC≌△POD， ∴S△POC=S△POD.
∵C点坐标为：(1,4),D点坐标为：(4,1)， 可得∠COB=∠DOA，
又∵这个点是∠COD的平分线与双曲线的y=交点， ∴∠BOP=∠POA， ∴P点横纵坐标坐标相等， 即xy=4，x2=4， ∴x=±2， ∵x>0， ∴x=2，y=2，
故P点坐标为(2,2)，使得△POC和△POD的面积相等
利用点CD关于直线y=x对称,P(2,2)或P(−2,−2). 答：存在，P(2，2)或P(-2，-2)
【解析】【分析】（1）观察图像，根据点C的坐标可求出函数解析式及m的值。 （2）利用待定系数法，由点D、C的坐标求出直线CD的函数解析式，再求出直线CD与两坐标轴的交点A、B的坐标，然后利用S△DOC=S△AOB-S△BOC-S△AOD ， 利用三角形的面积公式计算可解答。
（3）双曲线上存在点P，使得S△POC=S△POD ， 这个点就是∠COD的平分线与双曲线的y=交点，易证△POC≌△POD，则S△POC=S△POD ， 可得出点P点横纵坐标坐标相等，利用反比例函数解析式，建立关于x的方程，就可得出点P的坐标，利用对称性，可得出点P的另一个坐标，即可得出答案。
9．如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数y= （k≠0，且k为常数）的图象过点E，
且S△AOE=3S△OBE ． （1）求k的值；
（2）反比例函数图象与线段BC交于点D，直线y= x+b过点D与线段AB交于点F，延长OF交反比例函数y= （x＜0）的图象于点N，求N点坐标． 【答案】（1）解：∵S△AOE=3S△OBE ， ∴AE=3BE， ∴AE=3， ∴E（﹣3，4） 反比例函数y= ∴4=
（k≠0，且k为常数）的图象过点E，
，即k=﹣12
（2）解：∵正方形AOCB的边长为4， ∴点D的横坐标为﹣4，点F的纵坐标为4． ∵点D在反比例函数的图象上， ∴点D的纵坐标为3，即D（﹣4，3）．
∵点D在直线y= ∴3=
x+b上，
×（﹣4）+b，解得b=5．
x+5， x+5，得4=
x+5，解得x=﹣2．
∴直线DF为y= 将y=4代入y=
∴点F的坐标为（﹣2，4）， 设直线OF的解析式为y=mx， 代入F的坐标得，4=﹣2m， 解得m=﹣2，
∴直线OF的解析式为y=﹣2x，
解 ∴N（﹣
，得 ，2
）
．
【解析】【分析】（1）根据题意求得E的坐标，把点E（﹣3，4）代入利用待定系数法即可求出k的值；（2）由正方形AOCB的边长为4，故可知点D的横坐标为﹣4，点F的纵坐标为4．由于点D在反比例函数的图象上，所以点D的纵坐标为3，即D（﹣4，3），由点D在直线y= x+b上可得出b的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标，然后根据待定系数法求得直线OF的解析式，然后联立方程解方程组即可求得．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y= （m≠0）交于点A
（2，﹣3）和点B（n，2）． （1）求直线与双曲线的表达式；
（2）对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点．动点P是双曲线y= （m≠0）上的整
点，过点P作垂直于x轴的直线，交直线AB于点Q，当点P位于点Q下方时，请直接写出整点P的坐标．
（m≠0）经过点A（2，﹣3）， ∴m=﹣6．
【答案】（1）解：∵双曲线y= ∴双曲线的表达式为y=﹣
．
∵点B（n，2）在双曲线y=﹣ ∴点B的坐标为（﹣3，2）．
上，
∵直线y=kx+b经过点A（2，﹣3）和点B（﹣3，2），
∴
解得
，
P
的坐标是（1，﹣6）或（6，﹣
∴直线的表达式为y=﹣x﹣1 （2）解：符合条件的点
1）．
【解析】【分析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；（2）根据图象和函数解析式得出即可．
11．在平面直角坐标系中，我们定义点P（a，b）的“变换点”为Q．且规定：当a≥b时，Q为（b，﹣a）；当a＜b时，Q为（a，﹣b）．
（1）点（2，1）的变换点坐标为________；
（2）若点A（a，﹣2）的变换点在函数y= 的图象上，求a的值；
（3）已知直线l与坐标轴交于（6，0），（0，3）两点．将直线l上所有点的变换点组成一个新的图形记作M． 判断抛物线y=x2+c与图形M的交点个数，以及相应的c的取值范围，请直接写出结论．
【答案】 （1）（1，﹣2）
（2）解：当a≥﹣2时，则A（a，﹣2）的变换点坐标为（﹣2，﹣a），
代入y= 可得﹣a=
，解得a= ；
当a＜﹣2时，则A（a，﹣2）的变换点坐标为（a，2）， 代入y= 可得2= ，解得a= ，不符合题意； 综上可知a的值为 ；
（3）解：设直线l的解析式为y=kx+b （k≠0 ），将点（6，0）、（0，3）代入y=kx+b
得： ，解得
，
∴直线l的解析式为y=﹣ x+3． 当x=y时，x=﹣ x+3，解得x=2．
点C的坐标为（2，﹣2），点C的变换点的坐标为C′（ 2，﹣2 ），
点（6，0）的变换点的坐标为（0，﹣6），点（0，3）的变换点的坐标为（0，﹣3）， 当x≥2时，所有变换点组成的图形是以C′（ 2，﹣2）为端点，过（0，﹣6 ）的一条射线；即：y=2x﹣6，其中x≥2，
当x＜2时，所有变换点组成的图形是以C′（2，﹣2）为端点，过（0，﹣3）的一条射线，即y= x﹣3，其中，x＜2．
所以新的图形M是以C′（2，﹣2）为端点的两条射线组成的图形． 如图所示：
由 和
得：x2﹣ x+c+3=0①和x2﹣2x+c+6=0②
讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C′的位置关系可得：
①当方程①无实数根时，即：当c＞﹣ 时，抛物线y=x2+c与图形M没有交点； ②当方程①有两个相等实数根时，即：当c=﹣ 时，抛物线y=x2+c与图形M有一个交点；
③当方程②无实数根，且方程①有两个不相等的实数根时，即：当﹣5＜c＜﹣ 物线y=x2+c与图形M有两个交点；
④当方程②有两个相等实数根或y=x2+c恰好经过经过点C′时，即：当c=﹣5或c=﹣6时，抛物线y=x2+c与图形M有三个交点；
⑤当方程②方程①均有两个不相等的实数根时，且两根均小于2，即：当﹣6＜c＜﹣5时，抛物线y=x2+c与图形M有四个交点；
⑥当c＜﹣6时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点． 【解析】【解答】解：（1）∵2≥﹣1，
时，抛
∴点（2，1）的变换点坐标为（1，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）；
【分析】（1）由变换点的定义可求得答案；（2）由变换点的定义可求得A的变换点，代入函数解析式可求得a的值；（3）先求得直线y=x与直线l的交点坐标，然后分为当x≥2和x＜2两种情况，求得M的关系式，然后在画出M的大致图象，然后将抛物线y=x2+c与M的函数关系式组成方程组，然后依据一元二次方程根的判别式进行判断即可．
12．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B、C在第一象限，且四边形OABC是平行四边形，OC=2
，sin∠AOC=
，反比例函数y= 的图象经
过点C以及边AB的中点D．
（1）求这个反比例函数的解析式； （2）四边形OABC的面积．
【答案】（1）解：过C作CM⊥x轴于M，则∠CMO=90°，
∵OC=2 ∴MC=4，
由勾股定理得：OM= ∴C的坐标为（2，4），
得：k=8，
=2，
，sin∠AOC=
=
，
代入y=
所以这个反比例函数的解析式是y=
（2）解：
∵D为AB的中点， ∴DN=
=2，AN=
得：x=4，
过B作BE⊥x轴于E，则BE=CM=4，AE=OM=2，过D作DN⊥x轴于N，
=1，
把y=2代入y=
即ON=4， ∴OA=4﹣1=3，
∴四边形OABC的面积为OA×CM=3×4=12
【解析】【分析】（1）过C作CM⊥x轴于M，则∠CMO=90°，解直角三角形求出CM，根据勾股定理求出OM，求出C的坐标，即可求出答案；（2）根据D为中点求出DN的值，代入反比例函数解析式求出ON，求出OA，根据平行四边形的面积公式求出即可．
13．已知一次函数y=− x−12的图象分别交x轴，y轴于A，C两点。
（1）求出A，C两点的坐标；
（2）在x轴上找出点B,使△ACB∽△AOC，若抛物线过A，B，C三点，求出此抛物线的解析式；
（3）在(2)的条件下，设动点P、Q分别从A，B两点同时出发，以相同速度沿AC、BA向C，A运动，连接PQ，设AP=m，是否存在m值，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出所有m值；若不存在，请说明理由。 【答案】 （1）解：
在一次函数y=− x−12中，当x=0时，y=−12； 当y=0时,x=−16,即A(−16,0),C(0,−12)
（2）解：过C作CB⊥AC，交x轴于点B，显然，点B为所求。 则OC2=OA⋅OB,此时OB=9,可求得B(9,0)； 此时经过A. B. C三点的抛物线的解析式为y= x2+
x−12
（3）解：当PQ∥BC时,如图(1),△APQ∽△ACB；则有： = ,即 = 解得m=
.
，
当PQ⊥AB时,△APQ∽△ACB；有： = ,即 解得m=
.
= ，
【解析】【分析】（1）令直线的解析式y=0，可得A的坐标，令x=0，可得C的坐标（2）要使△ACB∽△AOC，则B点必为过C点且垂直于AC的直线与x轴的交点.那么根据射影定理不难得出B点的坐标，然后用待定系数法即可求得抛物线的解析式.（3）本题可分两种情况进行求解：①当PQ∥BC时，△APQ∽△ACB；②当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB.可根据各自得出的不同的对应成比例线段求出m的值.
14．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的 速度匀速移动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒． （1）当t=________时，PQ∥AB
（2）当t为何值时，△PCQ的面积等于5cm2？
（3）在P、Q运动过程中，在某一时刻，若将△PQC翻折，得到△EPQ，如图2，PE与AB能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由． 能垂直，理由如下： 延长QE交AC于点D，
∵将△PQC翻折，得到△EPQ， ∴△QCP≌△QEP， ∴∠C=∠QEP=90°， 若PE⊥AB，则QD∥AB， ∴△CQD∽△CBA， ∴ ∴
， ，
∴QD=2.5t， ∵QC=QE=2t ∴DE=0.5t
∵∠A=∠EDP，∠C=∠DEP=90°， ∴△ABC∽△DPE， ∴ ∴ 解得：
，
，
综上可知：当t= 时，PE⊥AB
【答案】 （1）2.4
（2）解：∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，
∴PC=AC-AP=6-t，CQ=2t， ∴S△CPQ= CP•CQ= ∴t2-6t+5=0
解得t1=1，t2=5（不合题意，舍去） ∴当t=1秒时，△PCQ的面积等于5cm2
＝5，
（3）解：
【解析】【解答】解：(1) ∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动， ∴PC=AC-AP=6-t，CQ=2t， 当PQ∥AB时，∴△PQC∽△ABC， ∴PC：AC=CQ：BC， ∴(6-t)：6=2t：8 ∴t=2.4
∴当t=2.4时，PQ∥AB
【分析】（1）根据题意可得PC=AC-AP=6-t，CQ=2t，根据平行线可得△PQC∽△ABC，利用相似三角形对应边成比例可得PC：AC=CQ：BC，即得(6-t)：6=2t：8，求出t值即可； （2） 由S△CPQ= CP•CQ =5，据此建立方程，求出t值即可；
（3） 延长QE交AC于点D， 根据折叠可得 △QCP≌△QEP，若PE⊥AB，则QD∥AB，可得 △CQD∽△CBA， 利用相似三角形的对应边成比例，求出DE=0.5t，根据两角分别相等可证 △ABC∽△DPE，利用相似三角形对应边成比例 值即可.
， 据此求出t
15．如图，在平面直角坐标系中抛物线
C， A、B两点横坐标为-1和3，C点纵坐标为-4.
交x轴于点A、B，交y轴于点
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点D在第四象限且在抛物线上，当△BCD面积最大时，求D点坐标，并求△BCD面积的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠QBC=45°，如果存在，求出点Q的坐标，不存在说明理由.
【答案】 （1）解：由图像可知：A，B，C，三点的坐标分别是（-1，0），（3，0），（0，-4），
将A，B，C三点坐标代入抛物线
得： ，解之得：
；
∴抛物线的解析式为：
（2）解：如图，作DH垂直AB于H，
设D点坐标为（x，y），
则有：OC=4，OB=3，OH=x，HD=-y，HB=3-x， ∴梯形CDHO为直角梯形， ∴ 即：
又∵D点在抛物线 ∴
∴当 ∴
所以D点坐标为：（ ，-5）
时，△BCD面积有最大值，是 ，
上，
（3）解：由函数关系式： ∴对称轴为：
，
，交x轴于F点，连接CB，交对称轴于E点，
化简得：
，
如图示：作出对称轴
∴由B，C，的坐标分别是（3，0），（0，-4），设BC的函数解析式为：
则： ，解之得：
，当
时，
，
∴BC的函数解析式为： ∴E点坐标为：（1， ∴BF=2，FE= ，
），
∴ 即：
，
∴存在一点Q，使得∠QBC=45°，并且点Q在FE之间， 设Q点坐标为：（1， ） ∴
，
，
，
∵直线BQ和BC的交角为 ∴
即： 化简得：
，
）
，即可求出；
∴Q点坐标为：（1，
【解析】【分析】（1）将A，B，C三点坐标代入抛物线
（2）作DH垂直AB于H，设D点坐标为（x，y），则有OC=4，OB=3，OH=x，HD=-y，由
，
关系式：
化简得对称轴为
，化简即可出；（3）由函数
，作出对称轴
，交x轴于F点，
连接CB，交对称轴于E点，求出BC的函数解析式，则可以知道E点坐标为：（1，
），所以存在一点Q，使得∠QBC=45°，并且点Q在FE之间，设Q点坐标为：（1， ），求出线段
的斜率
，线段
的斜率
，利用两直线相交交角为
，得到
，化简即可。
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