函数的的单调性解不等式(高考数学)

2x4x,x0,2

【母题】已知函数f(x)若f(2a)f(a),则实数a的取值范围是2

4xx,x0,

（）

A.(,1)(2,)

B.(1,2)

C.(2,1)

D.(,2)(1,)

函数的单调性及性质是数学的重要内容之一，也是高考的必考点。掌握使用函数的单调性及性质解有关不等式问题的方法就显得非常重要，现对该方面的知识与方法总结如下：常用结论

（1）.若函数f(x)在定义域I的某个区间D上是增函数，则对于I内某个区间D上的任意两个值x1,x2有f(x1)f(x2)x1x2.

（2）.若函数f(x)在定义域I的某个区间D上是减函数，则对于I内某个区间D上的任意两个值x1,x2有f(x1)f(x2)x1x2.

解题思路：已知函数的解析式，求解与此函数有关的复合函数构成的不等式，需利用函数单调性的性质，将问题转化为解关于自变量的不等式.

【变式1】已知偶函数f(x)在[0,)上单调递减，f(2)0.若f(x1)0,则x的取值范围是

.【变式2】设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，

xf(x)f(x)0,，则使得f(x)0成立的x的取值范围是（

A．(,1)(0,1)

B．(1,0)(1,)C．(,1)(1,0)

）

D．(0,1)(1,)

【变式3】设函数f(x)

1

x1

(x0,x1).（1）求函数f(x)的单调区间；xlnx(2)已知2xa对任意x(0,1)成立，求实数a的取值范围.参考答案：【母题】答案：C

22x4xx24,x0,

解析：因f(x)利用二次函数的性质与图像可知，22

4xxx24,x0,

f(x)在(,)上是增函数，由f(2a2)f(a),得2a2a,即a2a20,解

得2a1.

【变式1】答案(1,3).

解析：因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y对称.因f(2)0,则f(2)0.又

f(x)在[0,)上单调递减，f(x1)0,所以2x12,解得1x3.

【变式2】答案A

解析：设函数g(x)

f(x)xf(x)f(x)

,则g(x),因为当x0时，xx2xf(x)f(x)0,故当x0时g(x)，所以g(x)在(0,)单调递减；又因为函数f(x)(xR)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(,0)单调递减，且g(1)g(1)0。当0x1时，g(x)0则f(x)0；当x1时，g(x)0则f(x)0，综上所述，使得f(x)0成立的x的取值范围是(,1)(0,1)，故选A.

【变式3】解析：（1）f(x)

lnx11

,若f(x)=0，则x.列表如下：

x2ln2xe1(,1)e(1,)

x

f(x)f(x)

1(0,)e+单调递增

1e0极大值f()

1e单调递减

单调递减

所以f(x)的单调递增区间是(0,)，单调递减区间为(,1)和(1,).

1e1e（2）在2xa两边取对数，得

1x1a1ln2alnx.因为x(0,1)，所以.①xln2xlnx1

e由（1）的结果知，当x(0,1)时，f(x)f()e.为使①式对任意x(0,1)成立，当且仅当

a

e.即aeln2.故实数a的取值范围是(eln2,).ln2