弧、弦、圆心角练习题及答案

一.教学内容：

弧、弦、圆心角

二. 教学目标：

1. 使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；

2. 使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题；

3. 使学生理解并掌握1°的弧的概念

4. 培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律.

三. 教学重点、难点：

圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点；从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点。

四. 教学过程设计： 1. 圆的旋转不变性

圆是轴对称图形。也是中心对称图形。不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合。

圆所特有的性质——圆的旋转不变性

圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角，弦心距的概念.

顶点在圆心的角叫做圆心角。

弧AB是∠AOB所对的弧，弦AB既是圆心角∠AOB也是弧AB所对的弦. 圆心到弦的距离叫做弦心距。

3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

同样还有：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都也相等。

4. 1°的弧的概念. (投影出示图7－59)

圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。

这里指的是角与弧的度数相等，而不是角与弧相等。即不能写成圆∠AOB=

，这是错误的。

【典型例题】

例1. 判断题，下列说法正确吗？为什么？

（1）如图所示：因为∠AOB=∠A′OB′，所以

=

.

（2）在⊙O和⊙O′中，如果弦AB=A′B′，那么=。

分析：（1）、（2）都是不对的。在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理。对于（2）也缺少了等圆的条件. 可让学生举反例说明。

例2. 已知：如图所示，AD=BC。 求证：AB=CD。

证：∵AD=BC

ADBC

ACACACADACBC

DCABABDC

变式练习。已知：如图所示，

=

，求证：AB=CD。



证：∵ADBCDAACBCAC

ACAC

DCAB ABCD

ACB60 例3. 在圆O中，ABAC 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC

 AOBC

证：ABAC  ABACACB60ABACBC

AOBBOCAOC  例4. D、E是圆O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA、CE⊥OB，CD=CE，则CA与CB的关系是？ CBAD12OE

证：连CO ∵DC⊥AD，CE⊥OB CD=EC ∠1=∠2 ACBC  例5. 已知AB为圆O直径，M、N分别为OA、OB中点，CM⊥AB，DN⊥AB。求证：ACBD。 CDAMONB

法一：连结OC、OD，则OC=OD 1OMOA2∵OA=OB，且 1ONOB，OMON2 在Rt△CMO与Rt△DNO中 COMDONAOCBOD

OMONOCOD

ACBD CDAMONB 法二：连AC、DB、CO、DO OMMC，DNOB 且AM=MO，ON=NB ∴AC=OC，OD=DB OCOD，ACDB，ACDB 法三：由法二 ∴AC=CO=AO OD=OB=DB

∴∠AOC=∠BOD=60° ACDB 例6. CD为圆O直径，以D为圆心，DO为半径画弧，交圆O于A、B。 证：△ABC为等边三角形 CO12ADB

证：连AC、BC、AO、BO、AD、BD ∵AO=OD=AD ∴∠1=60° 同理∠2=60° ∴∠AOB=120° ∵CD为直径

∴∠AOC=∠COB=120° ∴∠AOC=∠COB=∠AOB ∴AB=AC=BC

∴△ABC为等边三角形

例7. AB、CD为圆O两直径，弦CE//AB，CE40，求∠BOD。

 DAOEB解：CE40，∴∠COE=40° ∵OC=OE C 180402∴∠C=∠E=70° ∵CE//AB ∴∠BOC=∠C=70° ∵∠BOD+∠BOC=180°

∴∠BOD=180°－70°=110° 例8. 证明：在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距相等。 已知：在圆O中，AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD 求证：OE=OF DFCOBEA 证：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OF、OE过圆心 FC11DC，BEAB22 ABCD，FCBE ∵OC=OB RtFCORtOBE(HL) ∴OE=OF 例9. 点O在∠EPF的平分线上，圆O与∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D，求证AB=CD。 MONDF BEAPC 法一：作OM⊥PE，ON⊥PF 连接OC、OA ∵OP为∠EPF的平分线 OM⊥PE，ON⊥PF

∴OM=ON ∵OA=OC

RtMAORtNCOAMCN

∵OM、ON过圆心 OM⊥AB，ON⊥CD ∴AB=2AM

CD=2CN ∴AB=CD 法二：由法一，OM=ON ∴AB=CD

例10. 圆O中弦AB、CD相交于E，且AB=CD 求证：DE=BE A1D3EC24BO

法一：连结AD、BC、AC ∵AB=CD，ABCD ABACCDAC

ADBC 即ADBC，在△ACD和△CAB中



ACAC

ADBCDCAB

ACDCAB

在△AED和△CEB中

DB

DB12ADBC

AEDCEB

法二：连DB、AD、BC 证ADBCBD ∴∠3=∠4 ∴ED=BE

DEBE 例11. 在圆O中，AC=DB，求证：AEBF

 OCE 例12. 圆O的直径AB=10cm，CD长是圆O的六分之一，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F。 （1）求证：EC=FD （2）求AE+BF 证：连接OA、OB ∵OA=OB，∴∠A=∠B AOCOBD(SAS) ADFB ∴∠AOC=∠BOD AEBF OAECMBDF 证：（1）作OM⊥EF ∵AE⊥CD，BF⊥CD ∴AE//BF ∵O为AB中点，∴EM=MF ∵OM⊥CD ∴CM=MD，∴EC=DF （2）AE+BF=2OM ∵CD长是圆O的六分之一 ∴∠COD=60° ∵OC=5

OM532

AEBF53

【模拟试题】（答题时间：）

1. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 或 中有一组是相等的，那么，所对应的其余各组量都分别相等。 2. 在⊙O中的两条弦AB和CD，AB>CD，AB和CD的弦心距分别为OM和ON，则OM__________ON。

5. 若两弦相等，则它们所对的弧相等。（ ）

6. 若弦长等于半径，则弦所对的劣弧的度数为60°。（ ） 7. 若两弧不等，则大弧所对的圆心角较大。（ ） 8. 若两条弧的度数相等，那么这两条弧是等弧。（ ）

11. 已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD，E、F分别为AB、CD的中点。 求证：∠AEF=∠CFE。

12. 已知：如图，EF为⊙O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且∠APF=∠CPF。 求证：PA=PC。

13. 如图，在⊙O中，弦EF∥直径AB，若弧AE的度数为50°，则弧EF的度数为 ，弧BF的度数为 ，∠EOF= °，∠EFO= °。

14. AB为⊙O的直径，C、D为半圆AB上两点，且弧AC、弧CD、弧DB的度数的比为3∶2∶5，则∠AOC= °，∠COD= °，∠DOB= °。

15. 已知⊙O的半径为12cm,弦AB将圆分成的两段弧的度数之比为1∶5，求∠AOB的度数及弦AB的长。

16. 已知：如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B 和C、D。求证：∠OBA=∠OCD。

17. 已知：如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。求证：AE=BF=CD。

18. 长度相等的两条弧是等弧。（ ）

19. 如果圆周角相等，那么它们所对的弧也相等。（ ）

20. ⊙O中，如果弧AB=2弧BC，那么下列说法中正确的是（ ） A. AB=BC B. AB=2BC C. AB＞2BC D. AB<2BC

【试题答案】

1. 两条弦，两条弦心距

2. <

3. 证明：∵D为弧AB中点，OD是⊙O半径 ∴OD⊥AB于E 同理，OG⊥AC于F 又AB=AC ∴OE=OF

∴O D－OE=OG－OF 即DE=FG。

4. 证明：过O点作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连结OP，(如图) ∴AB=CD ∴OE=OF

∵OP公用 ∴△POE≌△POF ∴PE=PF

∵OE⊥CD，O F⊥AB，AB=CD ∴CE=BF

∴CE-PE=BF-PF 即PC=PB。 5. × 6. √ 7. × 8. ×

9. 5 10. 60°

11. 连结OE、OF。∵E、F为AB、CD中点，∴∠AEO=∠CFO=90°，又∵AB=CD，∴OE=OF，∴∠EFO= ∠FEO，∴∠AEF=∠CFE。

12. 作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N。∵∠APF=∠CPF，∴OM=ON，∴AB=DC。又∵AM1AB，2CN1CD，∴AM=CN，证△ POM≌△PON，∴PM=PN，∴AP=CP 213. 80°，50°，80，50 14. 54，36，90 15. 60°，12cm 16. 作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N。由PO平分∠EPF，得OM=ON,又BO=CO，得Rt△BOM≌ Rt△CON，∴∠OBA=∠OCD。

17. 通过角度的计算及弧等弦等，可以证得AE=AC=CD=DB=BF。 18. × 19. × 20. D