高一函数经典难题讲解

解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x), 所以，f(x)= -1+1/(a-x), 当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时 x∈[a-1,a-1/2] (a-x)∈[1/2,1] 1/(a-x)∈[1,2] f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1]

2.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间 (2)讨论函数y=f(x)的零点个数

解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2

当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1 当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1

∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增； (2).f(x)=x|x-a|-a=0, x|x-a|=a,①

a=0时x=0,零点个数为1；

a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2;

04时，②无实根，零点个数为1。

a<0时，x<0,由①，x>=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a土√(a^2+4a)]/2； x综上，a<-4,或a=0,或a>4时零点个数为1； a=土4时，零点个数为2；

-43.已知函数f(x)=log3为底 1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称 （1）求常数m的值

（2）当x∈（3,4）时，求f(x)的值域； （3）判断f(x)的单调性并证明。

解：1、函数f(x)=log3 [1-m(x+2)[/(x-3)图象关于原点对称，

- 1 -

则该函数是奇函数，满足f(-x)=-f(x)。

log3 [1-m(2-x)]/(-x-3)=-log3 [1-m(x+2)]/(x-3) log3 [1-m(2-x)]/(-x-3)=log3(x-3)/ [1-m(x+2)] [1-m(2-x)]/(-x-3)=(x-3)/[1-m(x+2)] 化简得 -x^2+9=-m^2(x^2)+(2m-1)^2 所以 -m^2=-1 （2m-1)^2=9 解得 m=-1

所以,函数解析式为f(x)=log3 [ (x+3)/(x-3)] 2、先求t(x)=(x+3)/(x-3)在（3,4)上的值域。 t(x）=（x+3)/(x-3)=[(x-3)+6]/(x-3)=1+[6/(x-3)] 当31, 6/(x-3)>6

所以 t(x)=1+[6/(x-3)]>7

那么,原函数在（3,4)上值域是（log3 (7)，正无穷） 3、先求函数定义域

(x+3)/(x-3)>0且x≠3 解得 x>3或x<-3 (1)当x>3时，

因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+[6/(x-3)]单调递减，所以 函数f(x)=log3 t(x)单调递减。

（2）当x<-3时，因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+[6/(x-3)]单调递减，所以函数f(x)=log3 t(x)单调递减。

4.已知函数f（x）=log4（4^x+1）+kx是偶函数. (1)求k的值

(2)设f（x）=log4(a2^x-4/3a)有且只有一个实数根,求实数的取值范围. 解:（1）f(x)=log4（4^x+1)+kx（K∈R）是偶函数， ∴f(-x)=f(x),

即log<4>[4^(-x)+1]+k(-x)=log<4>(4^x+1)+kx, ∴log<4>{[4^(-x)+1]/(4^x+1)}=2kx, -x=2kx, k=-1/2.

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(2)f(x)=log4(4^x+1)-x/2=log4(4^x+1)-log4(2^x)=log4[(4^x+1)/2^x] g(x)=log4(a · 2^x-4/3a)

联立 log4[(4^x+1)/2^x]=log4(a · 2^x-4/3a) ∴ (4^x+1)/2^x=a·2^x-4/3a 不妨设t=2^x t＞0 t^2+1/t=at-4/3a t^2+1=at^2-4/3at (a-1)t^2-4/3at-1=0 设u(t)=(a-1)t^2-4/3at-1

∵两函数图像只有1个公共点，在这里就变成了有且只有一个正根 1.当a=1时 t=- 3/4 不满足 (舍) 2.当△=0时 a=3/4 或a=-3

a=3/4时 t= -1/2＜0 （舍） a=-3时 t=1/2满足 3.当一正根一负根时

(a-1) × u(0)＜0 (根据根的分布) ∴a＞1

综上所述，得a=-3或a＞1 5.

这个是概念的问题:1.对于f(x)取值范围（0，无穷），f2(x)+bf(x)+c=0最多有两个不同的f(x)。

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2.对f(x)的图像进行分析，知道f(x)=1对应的x值有三个，即除x=2外另有两个关于x=2对称的x。f(x)不等于1时对应的x值有两个，即两个关于x=2对称的两个x。

3.题意说f2(x)+bf(x)+c=0对应的x根有5个，显然满足f2(x)+bf(x)+c=0的f(x)有两个，一个f(x)对应三个x值，设为x1,x2,x3;另一个f（x）对应两个x,设为x4,x5;

根据以上分析，应有x1+x3=2*2,x2=2;x4+x5=2*2=4 则f（x1+x2+x3+x4+x5）=f(10)=1/8,选B

1x6.已知函数f(x)x,x0,,f(x)的值域是｛0｝∪【1，+∞）.求关于x的方程0,x0f^2(x)+bf(x)+c=0有五个根的充要条件 函数图像是一个“W”字样两个V字的连接点落到坐标原点的形状，也就是两个“V”字加原点

7.定义域为R的偶函数f(x),当x>0时，f(x)=lnx-ax(a属于R)，方程f(x)=0在R上恰有5个不同的

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实数解

8.（1）求x<0时，函数f(x)的解析式 9.(2)求实数a的取值范围

(1)f(x)为偶函数，有一个大于零的解，则一定会有一个小于零的解和他对应，f(x)=0在R上有5个不同的实数解，则f(0)=0，f(x)在x >0时有两个解当x<0时，-x>0，f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax2)当a＜0时，y=lnx , y=-ax在x >0时都单调增，则f(x)=lnx-ax 在x >0时单调增，只有一个解，不满足题意当a=0时，f(x)=lnx 在x >0时单调增，只有一个解，不满足题意当a＞0时，f '(x)=1/x-a 当x=1/a时，f '(x)=0，f(x)在(0,1/a)单调增,在(1/a,+∞)单调减,在x=1/a取到最大值 要f(x)在x >0时有两个解,只要f(1/a)＞0，即ln(1/a)＞1,1/a＞e,得a＜1/e综上,a∈(0,1/e)

8.定义域为R的偶函数f（x），当x＞0时，f（x）=lnx-ax（a∈R），方程f（x）=0在R上恰有5个不同的实数解．

（1）求x＜0时，函数f（x）的解析式； （2）求实数a的取值范围． 解答：解：（1）设x＜0，则-x＞0．

∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（-x）=ln（-x）+ax． （2）∵f（x）为偶函数，∴f（x）=0的根关于原点对称．

由f（x）=0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根．

且两个正根和二个负根互为相反数．∴原命题?当x＞0时f（x）图象与x轴恰有两个不同的交点． 下面研究x＞0时的情况：f（x）=0的零点个数?y=lnx与直线y=ax交点的个数． ∴当a≤0时，y=lnx递增与直线y=ax下降或与x轴重合， 故交点的个数为1，不合题意，∴a＞0．

由几何意义知y=lnx与直线y=ax交点的个数为2时，直线y=ax的变化应是从x轴到与y=lnx相切

之间的情形．

设切点(t，lnt)?k＝(lnx)′|x＝t＝，

1t∴切线方程为：y?lnt＝(x?t)．

1t- 5 -

由切线与y=ax重合知a＝11，lnt＝1?t＝e，a＝， te1)． e故实数a的取值范围为(0，

9.函数y=loga(2x-3)+

2的图像恒过定点P，P在幂函数f(x)的图像上，则f(9)=___ 2 解:由于 loga(1) 恒等于0， 所以 P坐标为（2，

2），而P在幂函数的图像上，所以设这个函数为 f(x)=x^a， 2则

2=2^a，解得 a=-1/2，所以 f(9)=9^(-1/2)=1/√9=1/3。 210.函数y=loga(-x)+2的图像恒过定点P，P在幂函数f(x)的图像上，则f(2)=___ 解:P点坐标为（-1，2），与a无关

而幂函数f(x)=b^x要经过P点，则2=b^-1，所以b=1/2 所以f(2)=(1/2)^2=1/4

11.若偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1）且在x属于【0，1】时 f（x）=x的平方，则关于x的方程f（x）=(1/10)的x的平方在[0,10/3]上的实数根有几个

f(x－1)=f(x＋1)，则函数f(x)的周期为2，可以作出函数f(x)的图像。另外设g(x)=(1/10)x²，利用图像，得出方程f(x)=g(x)的根有2个。

12.已知偶函数f（x）满足f（x＋1）=f（x-1），且x∈[0,1]，f（x）=（x-1）2，则f

（7/2）=

解:由f(x+1)=f(x-1) 则f(x+2)=f(x) 所以 T=2 所以偶函数f(7/2)=f(7/2-4)=f(-1/2) =f(1/2)=(1/2-1)2=1/4

13.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=2^x+1

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（1）求函数f(x)的解析式，作出函数的图象。 （2）写出单调区间，并求出函数f(x)的值域

解：（1）根据题意，

当x＞0时，-x＜0， ∴f(x)=-f(-x)=-[2^(-x) +1]=-1-(1/2)^x ∴x＜0时,f(x)=1+2^x x＞0时，f(x)=-1-(1/2)^x (2)递增区间是(-∞，0)和(0,+∞)

x＜0时，f(x)∈(0,2) x＞0时，f(x)(-2,0) ∴f(x)的值域是(-2,0）∪(0,2） 图像

14.题目：设f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，并且f(x)-g(x)=x2-3x+1,求f(x)和g(x)的解析式

f(x)-g(x)=x2-3x+1

f(-x)-g(-x)=（-x）2-3（-x）+1=-f(x)-g(x)【根据两个函数性质可得】 解上述两个方程

得f(x)=-3x g(x)=-x2-1

15.已知f（x)是定义在R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)=f(x-1),则f(2011)+f(2013)的值为

解：g(x)=f(x-1)=>g(-x)=f(-x-1)=f(x+1) f(2011)=g(2012) f(2013)=g(-2012) f（2011）+f（2013）=0

16.若函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=1/x-1,则f(x)=___” 解:f(x)+g(x)=1/（x－1） （1） f(-x)+g(-x)=-1/（x+1） （2） 由f(x)=f(-x)，g(-x)=-g(x)可知

f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=-1/（x+1） （3） （1）和（3）相加则有

2f(x)=-1/（x－1）-1/（x+1） 则f(x)=1/(x^2-1)

17.函数f(x)对任意实数x1,x2,总有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-3,并且当x>0时,f(x)>3 (1).求证:f(x)在R上是增函数

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(2).若f(3)=6,解不等式f(a^2-3a-9)<4 (1).证明：任取x1,x2,且x10, ∴f(x2-x1)>3,

∴f(x2)= f[(x2-x1)+x1]= f(x2-x1)+f(x1)-3= f(x1)+[f(x2-x1)-3]>f(x1), ∴对任意x1(2)由f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-3=f(1+1)+f(1)-3=[f(1)+f(1)-3]+f(1)-3=3f(1)-6=6, 得f(1)=4,

∴f(a^2-3a-9)f(x)在R上为增函数，a^2-3a-9<1,即(a-5)(a+2)<0, 解得-218.若定义在R上的函数f（x）对任意的x1，x2属于R，都有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）－1成立，且当x>0时，f（x）>1.

(1)求证：[f（x）－1]＋[f（-x）－1]＝0； (2)证：f(x)是R上的增函数

(1)证明：令x1=x，x2=0 ∴f(x)=f(0)+f(x)-1 即f(0)=1 又令x1=x，x2=-x 则f(0)=f(x)+f(-x)-1

又∵f(0)=1 ∴f(x)+f(-x)=2 ∴ [f（x）－1]＋[f（-x）－1]＝0 (2)证明：设 x10 f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1

∵当x>0时，f（x）>1 ∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1>1（注：已知条件） 即是f(x2)+f(-x1)>2

又∵f(x)+f(-x)=2（注：已证明） ∴f(x2)+2-f(x1)>2 整理得：f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)＜f(x2) 在实数R上，存在有任意x119.设f(x)是定义在R上的函数，对任意x,y属于R有f(x+y)=f(x)+f(y)-1，当x>0时有f(x)>1,且f(3)=4

1.求f(1),f(4)的值 2.判断并证明f(X)的单调性

3.若关于x的不等式f(ax-1)解：（1）令x=y=1可得f（1+1）=f（1）+ f（1）—1 ① 令x=1 y=2可得f（1+2）= f（1）+f（2）—1② 已知f(3)=4③ 联立上式得f（1）=2

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令x=1 y=3得f（1+3）= f（1）+ f(3)—1=5

（2）令y=1 带入已知的抽象函数f（x+1）=f（x）+f（1）—1 移项得f（x+1）—f（x）=1 所以函数f（x）为增函数

（3）由（2）知函数f（x）为增函数，所以有ax-1﹤f（4）x 由题意知不等式（a-5）x-1﹤0的解集为x﹤3（因为不等式解集的最大整数为2所以它的解集就是x﹤3，这里你要想明白） 所以问题可以转化为对任意的x﹤3都有（a-5）x-1﹤0 成立 令函数

f（x）=（a-5）x-1 要满足任意的x﹤3都有 f（x）﹤0 ①当a≠0时，只要函数为增函数且f（3）﹤0就行 有a-5 ﹥0 且 f（3）﹤0推出 5﹤ a﹤

16 3②当a=5时，f（x）=－1，显然f（x）﹤0的解集不是x﹤3，不合题意。 综上a的取值范围为5﹤ a﹤

16. 3- 9 -