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2019中考数学证明三角形全等的一般思路

2022-01-30 来源:好走旅游网
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2019中考数学证明三角形全等的一般思路

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一、当已知两个三角形中有两边对应相等时,找夹角相等SAS)或第三边相等SSS)。

例1. 如图1,已知:AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,且B、C、D在同一条直线上。

求证:AD=BE

分析:要证AD=BE

注意到AD是△ABD或△ACD的边,BE是△DEB或△BCE的边,只需证明△ABD≌△DEB或△ACD≌△BCE,显然△ABD和△DEB不全等,而在△ACD和△BCE中,AC=BC,CD=CE,故只需证它们的夹角∠ACD=∠BCE即可。

而∠ACD=∠ACE+60°,∠BCE=∠ACE+60°

故△ACD≌△BCESAS)

二、当已知两个三角形中有两角对应相等时,找夹边对应相等ASA)或找任一等角的对边对应相等AAS)

例2. 如图2,已知点A、B、C、D在同一直线上,AC=BD,AM∥CN,BM∥DN。

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求证:AM=CN

分析:要证AM=CN

只要证△ABM≌△CDN,在这两个三角形中,由于AM∥CN,BM∥DN,可得

∠A=∠NCD,∠ABM=∠D

可见有两角对应相等,故只需证其夹边相等即可。

又由于AC=BD,而

故AB=CD

故△ABM≌△CDNASA)

三、当已知两个三角形中,有一边和一角对应相等时,可找另一角对应相等AAS,ASA)或找夹等角的另一边对应相等SAS)

例3. 如图3,已知:∠CAB=∠DBA,AC=BD,AC交BD于点O。

求证:△CAB≌DBA

分析:要证△CAB≌△DBA

在这两个三角形中,有一角对应相等∠CAB=∠DBA)

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一边对应相等AC=BD)

故可找夹等角的边AB、BA)对应相等即可利用SAS)。

四、已知两直角三角形中,当有一边对应相等时,可找另一边对应相等或一锐角对应相等

例4. 如图4,已知AB=AC,AD=AG,AE⊥BG交BG的延长线于E,AF⊥CD交CD的延长线于F。

求证:AE=AF

分析:要证AE=AF

只需证Rt△AEB≌Rt△AFC,在这两个直角三角形中,已有AB=AC

故只需证∠B=∠C即可

而要证∠B=∠C

需证△ABG≌△ACD,这显然易证SAS)。#p#分页标题#e#

五、当已知图形中无现存的全等三角形时,可通过添作辅助线构成证题所需的三角形

例5. 如图5,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD是中线,AE⊥BD于F,交BC于E。

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求证:∠ADB=∠CDE

分析:由于结论中的两个角分属的两个三角形不全等,故需作辅助线。注意到AE⊥BD,∠BAC=90°,有∠1=∠2,又AB=AC。故可以∠2为一内角,以AC为一直角边构造一个与△ABD全等的直角三角形,为此,过C作CG⊥AC交AE的延长线于G,则△ABD≌△CAG,故∠ADB=∠CGA。

对照结论需证∠CGA=∠CDE

又要证△CGE≌△CDE,这可由

CG=AD=CD,∠ECG=∠EBA=∠ECD,CE=CE而获证。

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