一、选择题（每小题2分，共20分）
1．如图的图案是由下列四个选项中的哪个图案平移得到的（ ）
A． B． C． D．
2．已知：如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠1=70°，则∠
A．130° B．110° C．80° D．70° 3．分式
有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x≠﹣1 C．x=1 D．x=﹣1 4．下列计算结果正确的是（ ）
A．a3
×a4
=a12
B．a5
÷a=a5
C．（ab2
）=ab6
D．（a3
）2
=a6
5．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A．a（x+y）=ax+ay B．x2
﹣4x+4=（x﹣2）2
C．2a﹣4b+2=2（a﹣2b）
D．x2
﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x
6．下列调查中，适合采用全面调查方式的是（ ） A．了解一批炮弹的杀伤半径 B．了解全国中学生的身高情况 C．对市场上某种饮料质量情况的调查 D．调查一架隐形战机的各零部件的质量情况
2的度数是（ ）
7．二元一次方程组A．
B．
C．
的解是（ ）
D．
8．甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程是（ ） A．
B．
2
C． D．
9．已知x﹣=2，则代数式5x+A．27 B．7
C．17 D．2
﹣3的值为（ ）
10．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存
的纸板用完，则m+n的值可能是（ ）
A．2013
B．2014 C．2015 D．2016
二、填空题（每小题3分，共30分） 11．用科学记数法表示：0.00000706= ． 12．当x= 时，分式
的值为0．
13．如图所示，在不添加辅助线及字母的前提下，请写出一个能判定AD∥BC的条件： （一个即可）．
14．某校九年级一班数学单元测试全班所有学生成绩的频数分布直方图如图所示（满分100分，学生成绩取整数），则成绩在90.5～95.5这一分数段的频率是 ．
15．计算：（6a﹣10ab+4a）÷（2a）= ．
16．若多项式x﹣kx+9是一个完全平方式，则常数k的值是 ． 17．计算：
22
2
﹣= ．
18．若多项式x﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣2，则2m﹣n的值为 ．
19．已知：如图放置的长方形ABCD和等腰直角三角形EFG中，∠F=90°，FE=FG=4cm，AB=2cm，AD=4cm，且点F、G、D、C在同一直线上，点G和点D重合，现将△EFG沿射线FC向右平移，当点F和点D重合时停止移动，若△EFG与长方形重叠部分的面积是4cm，则△EFG向右平移了 cm．
2
20．已知实数a，b，c满足a+b=ab=c，有下列结论： ①若c≠0，则②若a=3，则b+c=9；
③若c≠0，则（1﹣a）（1﹣b）=+； ④若c=5，则a+b=15．
其中正确的是 （把所有正确结论的序号都填上）．
三、解答题（共50分） 21．计算下列各题
2
2
=﹣；
（1）（﹣3）+（π+
2
2
0﹣2
）﹣（﹣）
（2）（2x﹣1）﹣（x﹣1）（4x+3） 22．解方程（组） （1）（2）
﹣
=2．
23．分解因式 （1）2x﹣8
（2）3xy﹣6xy+3y．
24．如图，已知∠A=∠C，AD⊥BE，BC⊥BE，点E，D，C在同一条直线上． （1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）若∠ABC=120°，求∠BEC的度数．
2
2
3
2
25．某学校为了解七年级男生体质健康情况，随机抽取若干名男生进行测试，测试结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，统计整理数据并绘制图1、图2两幅不完整的统计图，请
根据图中信息回答下列问题：
（1）本次接收随机抽样调查的男生人数为 人，扇形统计图中“良好”所对应的圆心角的度数为 ；
（2）补全条形统计图中“优秀”的空缺部分；
（3）若该校七年级共有男生480人，请估计全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数． 26．为了创建国家卫生城市，需要购买甲、乙（如图）两种类型的分类垃圾桶替换原来的垃圾
桶，A，B，C三个小区所购买的数量和总价如表所示．
甲型垃圾桶
乙型垃圾
桶
总价（元）
数量（套） 数量（套）
A B C
10 5 a
8 9 b
3320 2860 2580
（1）问甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的单价分别是每套多少元？ （2）求a，b的值．
四、附加题（每小题10分，共20分）
27．已知：直线a∥b，点A，B分别是a，b上的点，APB是a，b之间的一条折弦，且∠APN＜90°，Q是a，b之间且在折线APB左侧的一点，如图．
（1）若∠1=33°，∠APB=74°，则∠2= 度．
（2）若∠Q的一边与PA平行，另一边与PB平行，请探究∠Q，∠1，2间满足的数量关系并说明理由．
（3）若∠Q的一边与PA垂直，另一边与PB平行，请直接写出∠Q，∠1，2之间满足的数量关系．
28．教科书中这样写道：“我们把多项式a+2ab+b及a﹣2ab+b叫做完全平方式”，如果一个多
2
2
2
2
项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的
数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x+2x﹣3=（x+2x+1）﹣4=（x+1）﹣4=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x+4x﹣6的最小值.2x+4x﹣6=2（x+2x﹣3）=2（x+1）2﹣8．可知当x=﹣1时，2x+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m﹣4m﹣5= ．
2
2
2
2
2
2
2
2
（2）当a，b为何值时，多项式（3）当a，b为何值时，多项式
a2
+b2
﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值． a2
﹣2ab+2b2
﹣2a﹣4b+27有最小值，并求出这个最小值．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．如图的图案是由下列四个选项中的哪个图案平移得到的（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用平移设计图案．
【分析】根据平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等可得答案．
【解答】解：根据平移可得B是平移可得到图形中的图案， 故选：B．
2．已知：如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠1=70°，则∠2的度数是（ ）
A．130° B．110° C．80° D．70° 【考点】平行线的性质．
【分析】由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义即可求得∠2的度数． 【解答】解：∵a∥b， ∴∠3=∠1=70°， ∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=110°． 故选B．
3．分式
有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x≠﹣1 C．x=1 D．x=﹣1 【考点】分式有意义的条件．
【分析】分母不为零，分式有意义，依此求解． 【解答】解：由题意得x﹣1≠0， 解得x≠1． 故选A．
4．下列计算结果正确的是（ ）
A．a×a=a B．a÷a=a C．（ab）=ab D．（a）=a
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【分析】根据同底数幂的乘法、除法，积的乘方，幂的乘方，即可解答． 【解答】解：A、a×a=a，故本选项错误； B、a÷a=a，故本选项错误； C、（ab）=ab，故本选项错误； D、正确； 故选：D．
5．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A．a（x+y）=ax+ay B．x﹣4x+4=（x﹣2）
2
2
2
3
3
6
5
4
3
4
7
3
4
12
5
5
2
6
3
2
6
C．2a﹣4b+2=2（a﹣2b） 【考点】因式分解的意义．
D．x﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x
2
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断．
【解答】解：A、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误； B、是因式分解，选项正确；
C、2a﹣4b+2=2（a﹣2b+1），选项错误；
D、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误． 故选B．
6．下列调查中，适合采用全面调查方式的是（ ） A．了解一批炮弹的杀伤半径 B．了解全国中学生的身高情况 C．对市场上某种饮料质量情况的调查 D．调查一架隐形战机的各零部件的质量情况 【考点】全面调查与抽样调查．
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解一批炮弹的杀伤半径，适合抽查，选项错误； B、了解全国中学生的身高情况，适合抽查，选项错误； C、对市场上某种饮料质量情况的调查，适合抽查，选项错误；
D、调查一架隐形战机的各零部件的质量情况，适合全面调查，选项正确． 故选D．
7．二元一次方程组A．
B．
C．
的解是（ ）
D．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可． 【解答】解：
，
把②代入①得：x+4x=10，即x=2， 把x=2代入②得：y=4， 则方程组的解为故选A．
8．甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程是（ ） A．
B．
C．
D．
．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树（x﹣5）棵，根据甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，列方程即可．
【解答】解：设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树（x﹣5）棵， 由题意得，故选D．
9．已知x﹣=2，则代数式5x+A．27 B．7
C．17 D．2
2
=．
﹣3的值为（ ）
【考点】完全平方公式．
【分析】原式前两项提取5，利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵x﹣=2， ∴原式=5（x+故选A
2
）﹣3=5[（x﹣）+2]﹣3=30﹣3=27，
2
10．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存
的纸板用完，则m+n的值可能是（ ）
A．2013 B．2014 C．2015 D．2016
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可．
【解答】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，根据题意得
，
两式相加得，m+n=5（x+y）， ∵x、y都是正整数， ∴m+n是5的倍数，
∵2013、2014、2015、2016四个数中只有2015是5的倍数， ∴m+n的值可能是2015． 故选C．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．用科学记数法表示：0.00000706= 7.06×10 ． 【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000706=7.06×10， 故答案为：7.06×10．
﹣6
﹣6
﹣n
﹣6
12．当x=
时，分式
的值为0．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零进行判断． 【解答】解：∵分式∴3x﹣1=0，且x+2≠0， 解得x=，x≠﹣2， 即x=． 故答案为：
13．如图所示，在不添加辅助线及字母的前提下，请写出一个能判定AD∥BC的条件： ∠EAD=∠B （一个即可）．
的值为0，
【考点】平行线的判定．
【分析】根据平行线的判定进行分析，可以从同位角相等或同旁内角互补的方面写出结论． 【解答】解：∵AD和BC被BE所截， ∴当∠EAD=∠B时，AD∥BC． 故答案为：∠EAD=∠B．
14．某校九年级一班数学单元测试全班所有学生成绩的频数分布直方图如图所示（满分100分，学生成绩取整数），则成绩在90.5～95.5这一分数段的频率是 0.4 ．
【考点】频数（率）分布直方图．
【分析】由每一组内的频数总和等于总数据个数得到学生总数，再由频率=频数÷数据总和计算出成绩在90.5～95.5这一分数段的频率．
【解答】解：读图可知：共有（1+4+10+15+20）=50人，其中在90.5～95.5这一分数段有20人，
则成绩在90.5～95.5这一分数段的频率是故本题答案为：0.4．
15．计算：（6a﹣10ab+4a）÷（2a）= 3a﹣5b+2 ． 【考点】整式的除法．
【分析】根据多项式除以单项式的运算方法求解即可． 【解答】解：（6a﹣10ab+4a）÷（2a）
=（6a）÷（2a）﹣（10ab）÷（2a）+（4a）÷（2a） =3a﹣5b+2
故答案为：3a﹣5b+2．
16．若多项式x﹣kx+9是一个完全平方式，则常数k的值是 ±6 ． 【考点】完全平方式．
【分析】先根据两平方项项确定出这两个数是x和3，再根据完全平方公式求解即可． 【解答】解：∵x﹣kx+9=x﹣kx+3， ∴﹣kx=±2×x×3， 解得k=±6．
2
2
2
2
2
22
=0.4．
故答案为：±6．
17．计算：
﹣
=
．
【考点】分式的加减法．
【分析】根据同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，求解即可．
【解答】解：原式===
．
．
故答案为：
18．若多项式x﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣2，则2m﹣n的值为 4 ．
【考点】因式分解的意义．
【分析】设另一个因式为x﹣a，因为整式乘法是因式分解的逆运算，所以将两个因式相乘后结果得x﹣mx+n，根据各项系数相等列式，计算可得2m﹣n=4． 【解答】解：设另一个因式为x﹣a，
则x﹣mx+n=（x﹣2）（x﹣a）=x﹣ax﹣2x+2a=x﹣（a+2）x+2a， 得
，
2
2
2
2
2
由①得：a=m﹣2③，
把③代入②得：n=2（m﹣2）， 2m﹣n=4， 故答案为：4．
19．已知：如图放置的长方形ABCD和等腰直角三角形EFG中，∠F=90°，FE=FG=4cm，AB=2cm，AD=4cm，且点F、G、D、C在同一直线上，点G和点D重合，现将△EFG沿射线FC向右平移，
当点F和点D重合时停止移动，若△EFG与长方形重叠部分的面积是4cm，则△EFG向右平移了 3 cm．
2
【考点】平移的性质；等腰直角三角形．
【分析】首先判断出平移△EFG经过长方形ABCD对角线的交点时，重叠面积是长方形的面积的一半即面积为4cm，然后求出平移的距离． 【解答】解：∵长方形AB=2cm，AD=4cm， ∴长方形的面积为8cm，
∵△EFG与长方形重叠部分的面积是4cm， ∴△EFG边DE经过长方形ABCD对角线的交点， ∵FG=4，CD=2， ∴（FG+CD）=3， ∴△EFG向右平移了3cm， 故答案为3．
20．已知实数a，b，c满足a+b=ab=c，有下列结论： ①若c≠0，则②若a=3，则b+c=9；
③若c≠0，则（1﹣a）（1﹣b）=+； ④若c=5，则a+b=15．
其中正确的是 ①③④ （把所有正确结论的序号都填上）． 【考点】分式的混合运算；实数的运算．
【分析】①由题意可知：a+b=ab=c≠0，将原式变形后将a+b整体代入即可求出答案． ②由题意可知：a+b=ab=3，联立方程后，可得出一个一元二次方程，由于△＜0，所以a、b无解，
2
2
2
22
=﹣；
③分别计算（1﹣a）（1﹣b）和+．
④由于a+b=ab=5，联立方程可知△＞0，所以由完全平方公式即可求出a+b的值． 【解答】解：①∵c≠0， ∴ab≠0 ∵a+b=ab， ∴原式=故①正确； ②∵c=3， ∴ab=3， ∴a+b=3， ∴联立
2
2
2
===﹣
化简可得：b﹣3b+3=0， ∵△＜0， ∴该方程无解，
c=3时，a、b无解，故②错误； ③∵c≠0， ∴ab≠0， ∵a+b=ab
∴（1﹣a）（1﹣b）=1﹣b﹣a+ab=1，
=
=1，
∴（1﹣a）（1﹣b）=+，故③正确； ④∵c=5， ∴a+b=ab=5， 联立
，
2
化简可得：b﹣5b+5=0， ∵△＞0，
∴a+b=（a+b）﹣2ab=15，故④正确 故答案为：①③④
三、解答题（共50分） 21．计算下列各题 （1）（﹣3）+（π+
2
2
0﹣2
）﹣（﹣）
222
（2）（2x﹣1）﹣（x﹣1）（4x+3）
【考点】多项式乘多项式；实数的运算；完全平方公式；零指数幂；负整数指数幂． 【分析】（1）原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果； （2）原式利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：（1）原式=9+1﹣4=6；
（2）原式=4x﹣4x+1﹣4x﹣3x+4x+3=﹣3x+4．
22．解方程（组） （1）（2）
﹣
2
2
=2．
【考点】解分式方程；解二元一次方程组． 【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）
，
②×7﹣①得：19x=﹣19，即x=﹣1， 把x=﹣1代入①得：y=1， 则方程组的解为
；
（2）去分母得：x+2=4x﹣2， 解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
23．分解因式 （1）2x﹣8
（2）3xy﹣6xy+3y．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】（1）首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出答案； （2）首先提取公因式3y，进而利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：（1）2x﹣8=2（x﹣4） =2（x+2）（x﹣2）；
2
2
2
2
3
2
（2）3xy﹣6xy+3y =3y（x﹣2xy+y） =3y（x﹣y）．
24．如图，已知∠A=∠C，AD⊥BE，BC⊥BE，点E，D，C在同一条直线上． （1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）若∠ABC=120°，求∠BEC的度数．
2
2
2
223
【考点】平行线的判定与性质；垂线．
【分析】（1）先根据AD⊥BE，BC⊥BE得出AD∥BC，故可得出∠ADE=∠C，再由∠A=∠C得出∠ADE=∠A，故可得出结论；
（2）由AB∥CD得出∠C的度数，再由直角三角形的性质可得出结论． 【解答】解：（1）AB∥CD． 理由：∵AD⊥BE，BC⊥BE， ∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠C． ∵∠A=∠C， ∴∠ADE=∠A， ∴AB∥CD；
（2）∵AB∥CD，∠ABC=120°， ∴∠C=180°﹣120°=60°， ∴∠BEC=90°﹣60°=30°．
25．某学校为了解七年级男生体质健康情况，随机抽取若干名男生进行测试，测试结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，统计整理数据并绘制图1、图2两幅不完整的统计图，请
根据图中信息回答下列问题：
（1）本次接收随机抽样调查的男生人数为 40 人，扇形统计图中“良好”所对应的圆心角的度数为 162° ；
（2）补全条形统计图中“优秀”的空缺部分；
（3）若该校七年级共有男生480人，请估计全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数． 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）合格人数除以所占的百分比即可得出所调查的男生总人数，用良好的人数除以总人数再乘以360°即可得出“良好”所对应的圆心角的度数； （2）用40﹣2﹣8﹣18即可；
（3）用480乘以良好所占的百分比即可． 【解答】解：（1）8÷20%=40（人）， 18÷40×360°=162°；
（2）“优秀”的人数=40﹣2﹣8﹣18=12， 如图，
（3）“良好”的男生人数：
×480=216（人），
答：全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数为216人．
26．为了创建国家卫生城市，需要购买甲、乙（如图）两种类型的分类垃圾桶替换原来的垃圾桶，A，B，C三个小区所购买的数量和总价如表所示．
甲型垃圾桶
乙型垃圾
桶
总价（元）
数量（套） 数量（套）
A B C
10 5 a
8 9 b
3320 2860 2580
（1）问甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的单价分别是每套多少元？ （2）求a，b的值．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设甲型垃圾桶的单价是x元/套，乙型垃圾桶的单价是y元/套．根据图表中的甲型、乙型垃圾桶的数量和它们的总价列出方程组并解答．
（2）根据图表中的数据列出关于a、b的二元一次方程，结合a、b的取值范围来求它们的值即可．
【解答】解：（1）设甲型垃圾桶的单价是x元/套，乙型垃圾桶的单价是y元/套． 依题意得：解得
．
，
答：甲型垃圾桶的单价是140元/套，乙型垃圾桶的单价是240元/套．
（2）由题意得：140a+240b=2580， 整理，得 7a+12b=129，
因为a、b都是正整数， 所以
四、附加题（每小题10分，共20分）
27．已知：直线a∥b，点A，B分别是a，b上的点，APB是a，b之间的一条折弦，且∠APN＜90°，Q是a，b之间且在折线APB左侧的一点，如图．
或
．
（1）若∠1=33°，∠APB=74°，则∠2= 41 度．
（2）若∠Q的一边与PA平行，另一边与PB平行，请探究∠Q，∠1，2间满足的数量关系并说明理由．
（3）若∠Q的一边与PA垂直，另一边与PB平行，请直接写出∠Q，∠1，2之间满足的数量关系．
【考点】平行线的性质．
【分析】（1）图1，过P作PC∥直线a，根据平行线的性质得到∠1=∠APC，∠2=∠BPC，于是得到结论；
（2）如图2，由已知条件得到四边形MQNP是平行四边形，根据平行四边形的性质得到∠MQN=
∠P=∠1+∠2，根据平角的定义即可得到结论；
（3）由垂直的定义得到∠QEP=90°，由平行线的性质得到∠QFE=∠P，根据平角的定义得到结论．
【解答】解：（1）图1，过P作PC∥直线a， ∴PC∥b，
∴∠1=∠APC，∠2=∠BPC， ∴∠2=∠APB﹣∠1=41°； 故答案为：41；
（2）如图2，∵QM∥PB，QN∥PA， ∴四边形MQNP是平行四边形， ∴∠MQN=∠P=∠1+∠2，
∴∠EQN=180°﹣∠MQM=180°﹣∠1﹣∠2； 即∠Q=∠1+∠2=180°﹣∠1﹣∠2；
（3）∵QE⊥AP， ∴∠QEP=90°， ∵QF∥PB， ∴∠QFE=∠P，
∴∠EQF=90°﹣∠QFE=90°﹣∠1﹣∠2， ∴∠EQG=180°﹣∠EQF=90°+∠1+∠2．
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28．教科书中这样写道：“我们把多项式a+2ab+b及a﹣2ab+b叫做完全平方式”，如果一个多
项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x+2x﹣3=（x+2x+1）﹣4=（x+1）﹣4=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x+4x﹣6的最小值.2x+4x﹣6=2（x+2x﹣3）=2（x+1）2﹣8．可知当x=﹣1时，2x+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m﹣4m﹣5= （m+1）（m﹣5） ．
（2）当a，b为何值时，多项式a+b﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值． （3）当a，b为何值时，多项式a﹣2ab+2b﹣2a﹣4b+27有最小值，并求出这个最小值． 【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方．
【分析】（1）根据阅读材料，先将m﹣4m﹣5变形为m﹣4m+4﹣9，再根据完全平方公式写成（m﹣2）﹣9，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将多项式a+b﹣4a+6b+18转化为（a﹣2）+（b+3）+5，然后利用非负数的性质进行解答；
（3）利用配方法将多项式a﹣2ab+2b﹣2a﹣4b+27转化为（a﹣b﹣1）+（b﹣3）+17，然后利用非负数的性质进行解答． 【解答】解：（1）m﹣4m﹣5 =m﹣4m+4﹣9
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=（m﹣2）﹣9
=（m﹣2+3）（m﹣2﹣3） =（m+1）（m﹣5）． 故答案为（m+1）（m﹣5）；
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（2）∵a+b﹣4a+6b+18=（a﹣2）+（b+3）+5，
∴当a=2，b=﹣3时，多项式a+b﹣4a+6b+18有最小值5；
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（3）∵a﹣2ab+2b﹣2a﹣4b+27 =a﹣2a（b+1）+（b+1）+（b﹣3）+17 =（a﹣b﹣1）+（b﹣3）+17，
∴当a=4，b=3时，多项式a﹣2ab+2b﹣2a﹣4b+27有最小值17．
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2017年4月18日
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