一个开放问题的探究

a/入（沪 + c2） + 2/jJ）cc _ a + b + ca/A （ c2 + a2） + Ifjbca /2（入 + “）笔者将主要依据分类，换元，特殊化与一般化及 排除等思想方法解答这个问题.解：由不等式（1）成立，可知“ +入〉0,则入与

灿存在下列四种关系：（l）/i M 入〉0,（2）“>0工入，（3）入 >“m0, （4）A〉0 > 体当a = b = c〉0时，不等式（1）成立，只需“ +

A > 0,与”,入的大小无关.当a9b9c不全相等时,T不等式（1）两边循环 对称，不妨设0 < a < b W c,当\"=0时

a/A（a2 + 62） + 2/jcab = 丿入（a? +沪）必有入〉0

方可处于分母.同理，当入二0时，有灿> 0.设 e R+，入+ 2fimn + An2 > 0=>A^2 + 2財

+ 入 > 0（方二広n > 0）（2）.当入〉0时，不等式（2）显然成立，从而“+入

> 0,且与\"，入的大小无关.当入<0时，不等式（2）有解集当且仅当人二

4（“+入）（“-入）〉0=>R > 0 > 入.当入>0许<0时，不等式（2）有解集，则△二

4（“ + 入）（“-入）< On/z < 0 < A.当“ +入> 0,且入>0,或“>0工入时，

m,n e R+ ,贝H a/A（nx2 + n2） + 2/xjnn=丿入(m + e)2 + 2(“ - 入A (m + n)2 + \" £ 入(m + ^)2\"j\" (\"2 + \")2.依次对应取=b,c,a即得（这里引用了文［1］中例1的结论）.

当 /x + A >等式（1）可化为/2(入 +Q=by =，尤 + 2fix 4- Ay\\z_____________務 + 2fjcz + 三 1__________

+ % +a d +q注意至?]

2 ] 二+V 入%2 + 2/jlx + A2 2____________V Ax2^ + 2/jbxy + 入三 3 .3 /

T~2,,_____________________________________X yV \\/{Xx + 2fjux + A） （Ay2 + 2/juy + A）（A%2y2 + 2/jjxy + 入）（3）.（3）左边取得最小值（此最小值应不小于

!+f当然，这里无需求出具体的最小值），

丿2（入+“）2020年第4期当且仅当2 2中学数学研究• 31 •1Aa;2 + 2ftx + Ax0〉\"时，不等式（3）不成立.进而（1）不成立.

特别的，当入=2“〉0时，不等式（1）成立，这 是因为文[1]例4知：当a,b,c e R+时，有

\\/ Ay2 + 2^cy + A_______________{xy > ]) n —2------------------------Ax2y2 + 2ftxy + A 入光 + 纽％ + 入4 4a2 b2\\/3 (62 + be + c2)2 2 -<^A^6y4 + 2/z%5y4 + A^4y4 二入x2y1入久 y + 2/jbxy + Aa2 + ab + b2)

4- 2/z%y + A.当入 > jjb > 0 时，得 2xy( 1 - x4y3) = —[ (x6y4a + 6 + c(5),_ 3-x/3 ( c2 + ca + a2 )（5）两边同乘以■（入> 0)得一 1) +x2y2(x2y2 - 1) ] > (Jy4 - 1) + xy{xy 一

a2a/a （ a2 + ab + b2）1)(4).* 当光 > 1 ,y M 1 时，有(x6y4 - 1) + x2y2 (尤y*.2 2

-/

b2( 62 ++ be + c2 )-1) +2xy(x4y3 -1)〉0,从而(4)不成立.故入 >灿〉0时不等式(3)不成立._______（?________> a + b+ c a + b + c（c2 + ca + a2 ） a/3aT丿2(入+ “)综上可知：不等式（1）成立.① 当且仅当正实数a = b = c时，等号成立.此

若入>“ =0,由上可得入](dy\" - 1) +%2y2 (x2y2-1)] = 0同样矛盾.当入> 0< 0 时,-2xy( 1 - x y )=时，入与H满足条件灿+入>0；② 正实数a,b9c不全相等时，（i ）入与\"满足

_ A -

一[{xy - 1) + xy{xy - 1) ] > {x y - 1) +/条件h + a > 0,且“ m入〉o；或/x > o 入；（ii）入

x2y2 (x2y2 - 1),整理得(先 - 1) 2x4y4 < {xy - 1 )2<=>

=2“ > 0・笔者能力所限，只能求出本文所列“\"与入满足 条件”•期待有兴趣的读者给出更宽的条件.参考文献0 < (尤- 1) X2y2 < xy - 19 令 A; = xy > 1,则关于 A;

的不等式(x-l)k2 -k + 1 <0(% > 1)有解集当且

仅当 4 = 1 -4(a； -1) >0,即 1 <%< 壬.此时 1 1.可见入>“ N0,及入>[1]张丽玉.一个代数恒等式的妙用[J]-中学数学研究（江 西）.2018（7） ：25 -26.美国数学月刊数学问题12083的推广安徽师范大学数学与统计学院（241003）谭蓉刘朝阳孙驿函赫娟2019年第3期《美国数学月刊》刊登了摩洛哥

人 Alijadallah Belabesset 提供的问题.定理11---------------+ ...设> 0,则卄石+问题 12083[1] 设

> 0,证明：」一+x + y+ _J_三 n丘―⑺.光2 +尤3% + %] 2 J $ + %； + …+ %；丄+丄M—亚—（1）.定理2设省〉0(, = l,--,n)，则y + z z + x 2 “ + 犷 + /本文从变量的个数与系数出发，给出如上不等 式的三个推广.Xf = 11--------M — (3),其Xi + .… +先Z+E-l----k J说 +光：+ .… +兀j定理 3 设 xi > 0(i 二 1,…，e)，入'> 0(i 二 1,中若：三y(modn)，记他 =尊.