A.3.1 量块的校准
通过这个例子说明如何建立数学模型及进行不确定度的评定； 并 通过此例说明如何将相关的输入量经过适当处理后使输入量间不相 关，这样简化了合成标准不确定度的计算。最后说明对于非线性测量 函数考虑高阶项后测量不确定度的评定结果。
1） .校准方法
标称值为50mm的被校量块，通过与相同长度的标准量块比较， 由比较仪上读出两个量块的长度差 d,被校量块长度的校准值L为标 准量块长度Ls与长度差d之和。即：
L=Ls+d
_ _
实测时，d取5次读数的平均值d，d =0.000215mm标准量块长度
Ls由校准证书给出，其校准值 Ls=50.000623mm
2） 测量模型
长度差d在考虑到影响量后为：d=L（1+ ： v ）- /l + Ps） 所以被校量的测量模型为：
[Ls（1 ： s's） d]
此模型为非线性函数，可将此式按泰勒级数展开:
L =Ls d Ls（： s讥一 ）
忽略高次项后得到近似的线性函数式:
Ls d Ls（： Js 一 …）
（A.1）
式
中： Ls—标准量块在20 C时的长度，由标准量块的校准证书给出;
:
L被校量块长度；
—被校量块的热膨胀系数； —标准量块的热膨胀系数；
■■ s
二—被校量块的温度与20 C参考温度的差值；
為一标准量块的温度与20C参考温度的差值。
在上述测量模型中，由于被校量块与标准量块处于同一温度环境 中，所以二与為是相关的量；两个量块采用同样的材料，：与亠也是相 关的量。为避免相关，设被校量块与标准量块的温度差为-V，-=八屯； 他们的热膨胀系数差为- = - s ；将二s = 式（A.1），由此，数学模型可改写成：
和:=： s代入
+：
I 二 f （ls,d,o s』九池）
=
Is d - ls[ L : s』
（A.2）
测量模型中输入量「与〉s以及7与二不相关了。
特别要注意：在此式中的、和「誰近似为零的，但他们的不确定度不 为零，在不确定度评定中要考虑。由于 「和「淀近似为零，所以被测 量的估计值可以由下式得到：
L=Ls+ d
3）.测量不确定度分析 根据测量模型，
（A.3）
“ f（ls，d/ s＜，\"上）
即： I = Is d -ls[「 ： s7
由于各输入量间不相关，所以合成标准不确定度的计算公式为：
Uc（l） = c2u2（ls） ciu2（d） C；u2（： s） C』2©） c2：u2（、：.）C2屮
2
O （A.4） 式中灵敏系数为：
Cl =Cs 十=1 ： s（） =1，
C
2
二 d
C
s
C
1 :d —「0
C3 二
C4
c6
C
5
C6
-f
：
由此可见，灵敏系数C3和C4为零，也就是说明:s及二的不确定度对 测量结果的不确定度没有影响。合成标准不确定度公式可写成(A.5):
Uc(l)「\"(Is) u2(d) l〒u2( J f ：u2( J (A.5)
4) .标准不确定度分量的评定
① 标准量块的校准引入的标准不确定度 u( I s)
标准量块的校准证书给出：校准值为I s=50.000623mm U= 0.075」m( k =3),有效自由度为eff(ls)=18。 度为：
则标准量块校准引入的标准不确定
u( Ls)=0.075/3=25nm ,
ef
(Ls)=18
② 测得的长度差引入的不确定度 u( d) a.
用对两个量块的长度差进行 25次独立重复观测，用贝塞尔公 式
计算的实验标准偏差为s( d)=13nm;本次比较时仅测5次，取5次 测量的算术平均值为被校量块的长度，所以读数观测的重复性引入的 标准不确定度U( d)是平均值的实验标准偏差为s( d)
u(d)二 s(d)二 s(d)八 n =13/\\5 = 5.8 nm
由于s( d)是通过25次测量得到，所以u(d)的自由度1=25-1=24 b. 由比较仪示值不准引起长度差测量的不确定度 UB(d):
由比较仪的校准证书给出最大允许误差为士 0.015」m,有效期内的
检定证书证明该比较仪的示值误差合格.则由比较仪示值不准引起长 度差测量的标准不确定度用 B类评定，可能值区间的半宽度 a为 0.015 m 设在区间内呈均匀分布，取包含因子k = '-3。标准不确 定度 w(d)为：
u( d)=0.015 ^m / \\ 3 = 8,7 nm
按下式估计其自由度：力日晋¥
2u(x) - i
假设评定UB(d)的不可靠程度达25%,计算得到i :- 8 c.
到长度差引入的标准不确定度分量
u(d) = . u2(d) u2(d) = . 4.52 8.72 = 9.8 nm
由以上分析得
u( d)为：
自由度eff ( d)为:
' eff
(d)
u(d) u (d) . u^ . 4 —
4
4
(9.8)4 4 4 (4.5) . . (6.7) 24 8 8
4 = 12.6=12
③ 膨胀系数差值引入的标准不确定度 u(
估计两个量块的膨胀系数之差在 -1 X 10-6 C -1区间内，假设在区间 内为均匀分布，则标准不确定度为：
u( J=1 X 10-6 C-1/ 3=0.58 X 10-6 C-1
自由度：估计u(
的不可靠程度.1 u(［；)为10%计算得到
o
=50
1
(「)=2(10%)
⑷量块温度差引入的标准不确定度 u(
希望被校量块与标准量块处于同一温度，但实际存在温度差异, 温度差估计以等概率落在-0.05 C区间内，则标准不确定度为：
u( 7=0.05/ '3=0.029 C
估计u(9只有50%勺可靠性，计算得到自由度为：
1 o
..(、J =2(50%宀 2
⑤量块温度偏差引入的标准不确定度 u( 0 )
报告给出的测试台温度为(19.9_0.5)C ,在热作用下温度的近 似周期性变化的幅度为0.5 C .平均温度的偏差值为：
v - 19.9 - 20 =「0.1( C)
由于测试台的平均温度的不确定度引起的 亍的标准不确定度 为：
u( 0 )=0.2 °C
而温度随时间周期变化形成 U形的分布(即反正弦分布),则：
u( △ )= 0.5 C / .2 =0.35 C
0的标准不确定度可由下式得到：
U( 0 )=」2(：厂u2(：) = .0.22 0.352 =0.41 C 由于C4 = c 0 = —
Is、，-0,这个不确定度对
I的不确定度不
引入一阶的贡献，然而它具有二阶贡献.
⑤热膨胀系数引入的标准不确定度
u( a S)
标准量块的热膨胀系数给定为 a S=11.5 X 10-6 C -1,具有一个矩 形分布的不确定度，其界限为-2X 10-6 C-1,则标准不确定度为：
U( a S)= 2 X 10-6C -1/ . 3 = 1.2 X 10-6C -1
由于C3 = c a s= —L = Tsy - 0,这个不确定度对L的不确定度不
S
引入一阶的贡献，然而它具有二阶贡献.
5) 计算合成标准不确定度的 ⑤计算灵敏系数
由标准量块的校准证书得到 Ls=50.000623mm被校量块与参考 温度20C之差估计为-0. 1 C,标准量块的热膨胀系数
:s为
11.5 x 10-6 C-1，由这些信息计算得到：
c i=1, C2=1, C3 = 0, C4 = 0,
C5=-|“ = - 50.000623mnX( -0.1 C) =-5.0000623mm€, C6
1
6=-| sg=-50.000623mmX 11.5 x 10- C- =-5.75 x 4
1
10- mnC-
②计算合成标准不确定度
Uc(l) = JC2U2(IS)+ C2u2
(d)+ ＜『(％)+ du2
(%)
=「u2
(ls) U2
(d) I：2
U2
( ： ) f ：u2
(v)
=32 nm
③u(l )的自由度:
'、eff ( | )= _____ (32)^
(25)4 j981 . (294 .(16.6)4
= 17.3
18
12
50
2
取' eff(| )=17
确定扩展不确定度
要求包含概率P为0.99，由eff (| )=17，查表得： t 0.99(17) =2.90，取0.99
(17) =2.90,
扩展不确定度 U99= k 99Uc( l )= 2.90, x 32nm=93nm
校准结果：
l =l s+d =50.000623mm+ 0.000215mm =50.000838mm U 99= 93nm ( eff=17)
或 I =( 50.000838 -0.000093) mm
其中-号后的值是扩展不确定度U9o,由Uc=32nm乘包含因子
k99= t
6) 7) k=2.90得到，k是由自由度=17,包含概率p=0.99时查t分布值表 得到，由该扩
展不确定度所包含的区间具有包含概率为 量块校准时标准不确定度分量汇总见表 A.1
表A.1量块校准时标准不确定度分量汇总表
U(Xi)的值 灵敏系数Ci二戲 U (l )=[& u(xj 自由度 标准不确 不确定度 来/nm 源 Vi 定度分量 0.99。
u(Ls) u(d) 标准量块 的校准 25nm 9.8 nm 0.58 x 10-6C-1 0.029 C 1 1 5.0000623mrr€ -5.75 x 10 mrC u)(l )=32nm -4 o -1 25 9.8 2.9 16.6 18 12 50 2 量块长 度差 量块膨胀 系数差 u3d 量块温 度差 l =50.000838mm U)(l ) = 93nm (吋=17 ,) 9 或相对扩展不确定度 4/1 =1.9 x 106 可见，不确定度的主要分量显然是标准量块的不确定度 u(l s)= 25nm
注：用蒙特卡洛法(MCM验证，得到：传播输出量分布的标准偏差 u(l)=36nm,最小包含区间的半宽度 4=94nm,与本规范的结果基本 一致.说明本规范的方法评定不确定度基本可信的. 8) 考虑二阶项时不确定度的评定
前面所进行的不确定度的评定是不完全的，实际上在本案例中， 测量模型存在着明显的非线性，在泰勒级数展开中的高阶项不可忽略。 在合成标准不确定度评定中，有两项明显的不可忽略的二阶项对 有贡献：
ljuc： ：.)『(\" ls2u2(：s)u2Cv)
2
Uc(l)
l2u2CJu2(旳=(0.05m)x (0.58 x 10-6C-1) x (0.41 C )=11.7 nm l2u2(：s)u2(、»=
(0.05m)x (1.2 x 10-6 C-1) x (0.029 C )=1.7 nm
考虑二阶项后的合成标准不确定度：u c(l )= , 32 11.72 1.7 =34nm 扩展不确定度
2U9g (I ) = 99nm (k =2.92 , eff =16 , P =0.99) 或相对扩展不确定度U99/I =2.0
x 10-6
A.3.2温度计的校准
这个例子说明用最小二乘法获得线性校准曲线时， 如何用校准曲线 的截距、斜率和他们的估计方差与协方差，计算由校准曲线获得的预 期修正值及其标准不确定度。 A.3.2.1 测量问题
温度计是用与已知的参考温度相比较的方法校准的。 相应的已知参 考温度为tR,k，其温度范围为21C到27C。进行了 n=11次比较，温 度计的温度读数为tk,温度计读数的修正值为bk=tR,k-1k。根据测得的 修正值bk和测得的温度
tk,用最小二乘法拟合成直线得到温度计修正 值的线性校准曲线b(t)为：
b(t)二0+y2(t-t 0)
式中，y 1为校准曲线的截距，
(A.6)
y 2为校准曲线的斜率，
t 0是所选择的参考温度；
y和y2是两个待测定的输出量。一旦找到 屮和y2以及它们的方差和 协方差，
式(A.6)可用于预示温度计对任意一个温度值 t的修正值和 最小二乘法拟合引入的标准不确定度。
图A3.2.1最小二乘法拟合的示意图
A.3.2.2 最小二乘法拟合
根据最小二乘法和A.6的假设条件，输出量屮和y2及它们的估计方 差和协方差是在残差平方和Q最小时得到：
n
2
Q= s = \" [bk - i - 2(tk - to)]
k丄
y
y
这就导出了 yi和y2的以下各公式，它们的实验方差 以及它们的估计的相关系数
s2(yi)和s2(y2)，
r(yi, y2)=s(yi, y2)/ s (yi) s (y2)，其中
s( yi, y2)是估计的协方差
Q bk 辽 & H
瓦 bA ]瓦
(A.7a) (A.7b) (A.7c)
ft)
y2 l
s2(yi*
2
s (y2)= n r(y1y2)
2
s D (A.7d) (A.7e)
2
,= - 心
2
s :
' b -b(tk)] n —2
(A.7f)
D 二 n'
—；)2 = n、(tk -t)2
(A.7g)
式中，k=1,2,…，n；
^k
—t k-t 0 ；
v - (、A)/n ；
[bk-b(tk)]是在tk温度时测得或观测到的修正值
bk与拟合曲线
b(t)=yi+y2(t-t °)上在tk时预示的修正值b(tk)之间的差值；
估计方差s2是总的拟合的不确定度的度量；其中因子n-2反映 了由n次观
测确定二个参数 屮和y2时，s2的自由度为、二n-2。 A.3.2.3结果的计算
用最小二乘法得到温度计校准曲线时所用的数据见
A.2所示,
被拟合的数据在表A.2的第二列和第三列中给出，取t°=20C作为参 考温度，应用式(A.7a)到(A.7g)得到：
yi=-0.1712 °C y2=0.00218 r(yi, y2)=-0.930
s(yi)=0.0029 C s(y2)=0.00067 s=0.0035 C
斜率y2比其标准不确定度大三倍，表明要用校准曲线而不是用一个固 定的平均修正值进行修正。修正值的校准曲线可以写成
(A.8).
b(t)=-0.1712(29) C +0.00218(67)( t-20C)
(A.8)
其中括号内的数字是标准不确定度的数值， 与所说明的截距和斜率值 的最后位数字相对齐。
式(A.8)给出了在任意温度t时修正值b(t)的预示值，在t =t k时的修 正值为b(tk)。
这些值在表A.2的第四列中给出，而最后一行给出了 测得值和预示值之间的差 bk -
b(tk)。对这些差值的分析可以用于核 查线性模型的有效性。
表A.2 用最小二乘法得到温度计线性校准曲线时所用的数据
读数的次号 温度计的读 观测的修正 预示的修正 观测的与预 数 tk / C 值 示的修正值 值 k bk=t R,k - t k / C b(tk) / C 之差 bk - b(t k) / C 1 2 3
21.521 22.012 22.512 -0.171 -0.169 -0.166 -0.1679 -0.1668 -0.1657 -0.0031 -0.0022 -0.0003 4 5 6 7 8 9 10 11 23.003 23.507 23.999 24.513 25.002 25.503 26.010 26.511 -0.159 -0.164 -0.165 -0.156 -0.157 -0.159 -0.161 -0.160 -0.1646 -0.1635 -0.1626 -0.1614 -0.1603 -0.1592 -0.1581 -0.1570 +0.0056 -0.0005 -0.0025 +0.0054 +0.0033 +0.0002 -0.0029 -0.0030 A.3.2.4预示值的不确定度
要求获得在t=30C时的温度计修正值和它的不确定度。 1 ) t=30C时的温度计修正值
温度计的校准范围为21C到27C，所以30C这个温度是在温度 计实际校准温度的范围外。将t=30C代入式(A.8)中，得到修正值的 预示值：
b(30 °C )= -0.1494 °C
2)修正值的预示值的合成标准不确定度
由于数学模型为：b(t )=yi+y2(t-t o)，根据不确定度的传播律通用 公式： N N 二 N
u；(y)八 Ci2u2(xJ 2、 、 qCjUd )u(Xj )r(x,Xj)
i 二 im j *
uc(y)即 u[b(t)],x i 即 yi,将b(t)二y,b(t)=f (yiy) ,u(yi)=s(yi), u(y2)=s(y2)代入，并求得灵敏系数后， 2
2 2 2
得到：
比[时 u (yj (t t0) u 位)2^t t0)u(y1)i(y2)r(y1,y2)
(A.9)
将数据代入(A.9)得到t=30C时的温度计修正值的合成方差：
u2c[ b(30 C )]=(0.0029 C )2+ (30 °C -20 C) 2(0.00067) 2
+2(30 C -20 C) (0.0029 C )(0.00067)(-0.930) =17.1 X 10-6
C2
则合成标准不确定度：uc[ b(30 C )]=0.0041 C 自由度' =n-2=11-2=9。
3)因此，在 30C时的修正值是-0.1494 C,其合成标准不确定度 Uc=0.0041 C，自由度=9。 A.3.3硬度计量：
硬度是一个必须以一种测量方法为参考才能被量化的物理量； 它没有独立
于某个方法的计量单位。”硬度”这个量与经典的可测的 量不同，它不能用可测的其他量的函数关系式去定义，
虽然有时用经
验公式来说明硬度与一类材料的其他特性的关系。硬度量的大小通常 用测量某样块的压痕的线性尺寸来确定， 这种测量是根据标准文本进 行的，文本包括了对压头的描述，加压头用的机械设备的结构和规定 的操作设备的方法，标准文本不止一个，所以硬度的测量方法也不止 一个。
硬度被报告为测得的线性尺寸的函数(取决于测量方法)。在本案 例中，硬度是5次重复的压痕深度的算术平均值的线性函数。 但在有 些其他测量方法中可能是非线性函数。
复现量值的标准装置作为国家计量标准保存； 某个测量装置与国家 计量标准装置之间的比对是通过传递标准块进行的。 A.3.3.1 测量问题
在本例中，材料样块的硬度是用洛氏即“ Rockwell C ”法确定的， 所用的测量装置是由国家计量标准装置校准过的。 洛氏硬度的测量单 位是0.002mm 由100X (0.002mm)减去5次观测的以 mm为单位的测 得的压痕深度的平均值为洛氏硬度，简称“硬度”。这个量值除以洛 氏测量单位0.002mm所得值被称为“ HRC硬度指数”。在本例中，硬 度量用符号hRockwell C表示；用洛氏单位长度表
示的硬度指数用符号 HRockwell C 示。 A.3.3.2测量模型
用测定硬度的设备(以下称校准装置)在样块上造成的压痕深度的 平均值必须加修正值，修正到由国家计量标准装置在同一样块上造成 的压痕深度的平均值，因此硬度和硬度指数分别可由下式表示：
hRC=f (d, d b，s) = 100(0.002mm) - d - c - ：b - MA.10) HRC = hRC /(0.002mm)
(A.11)
式中d是由校准装置在样块上5次压痕深度的平均值；
厶c是用一个传递标准对校准装置和国家计准装置进行比较得 到的修正值，等于用国家计量标准装置在此样块上的 平均值减去由校准装置在同一样块上的 的差值。
厶b是用两台硬度装置分别测量传递标准的两部分所得的硬度 差(表示为压痕平均深度的差)，假设为零。
s
5次压痕深度的
5次压痕深度的平均值获得
包括由于国家计量标准装置以及硬度量定义不完全引起的 误差，虽然耳必
uc s)。
定假设为零，但它具有标准不确定度 A.3.3.3硬度测量的合成方差
由于式(A3.3-1)的函数的偏导数， rf/r c，:：f/\"b,：讦/「s 均等于-1 , 由校准装置测得的样块的硬度的合成方差 u c2 ( h)为：
s2(h)二 u2(d) u2(札)u2( %) u2(()
(A.12)
注：式中h简略了下标 , h = hRockwell Co A.3.3.4标准不确定度分量的评定 A.3.3.4.1 样块压痕深度平均值d的标准不确定度，u(d)
1) 样块压痕深度测量重复性引入的标准不确定度：每次测量所得
的值不可能严格重复，因为新的压痕不可能在前一个压痕的位置上的。 由于每个压痕必须在不同的位置上，结果的任何变化包括了不同位置 间硬度变化的影响。因此，用校准装置在同一样块上的5次压痕深度 的平均值的标准不确定度u(d)是取
sp(dk)/ 5，其中sp(dk)是对已知 具有非常均匀硬度的样块“重复”测量确定的压痕深
度的合并实验标 准偏差。
2) 显示器分辨力引入的标准不确定度：由于校准装置显示器的分 辨力引起深度指示的不确定度，显示器的分辨力「•引入的估计方差
2 2
为：u( )= :. /12。 因此，d的估计方差：
u( d)= sP(dk) /
2 _
5+
2
/12
A.3.3.4.2修正值的标准不确定度，uC c)
c
是将校准装置与国家计量标准装置进行比较得到的修正值， 这个
修正值可以表示成 “ zs- z，其中z，=('m2s,i)/m是国家计量标准装置 对传递标准块m次压痕的平均深度；z'=C' Zi)/n是用校准装置对同一
i 4
样块进行n次压痕的平均深度；因此，为了便于比较，假设每个装置 由于显示分辨力引起的不确定度可以忽略，则 / c的估计方差为
2sSavSav(宥二 (Z) . (z) u
m
2
—
m 2 —
/m
n
式中
Sav(z)
、. s
=V yS(Zs,i)]是由国家计量标准装置进行的每个
5m
列压痕Zs,ik的平均值的实验方差的平均值；
n
sfv(z)
yS2(zi)]/n是由校准装置进行的每个5n列压痕Zik的
平均值的实验方差的平均值。
注：方差S^v(zs)和S[v⑵都是合并方差的估计值。
A.3.3.4.3 对传递标准块硬度变化进行修正的不确定度，
u(，b)
OIML（国际法制计量组织）的国际建议书 R12: “Rochwell C硬度 标准块的校准和验证”要求由传递标准块5次测量得到的最大和最小 压痕深度之差不大于平均压痕的百分之 X,其中x是硬度等级的函数。 所以，设在整个样块内压痕深度的最大差为 Xz，（其中z已在上节中 定义），其n=5。设在此士沁为边界的区间内的概率分布为三角分布 （可假设在接近中心值附近的值的概率远大于两端的概率
）。则区间半
宽度a= x z /2 , k —..6，由校准装置和国家计量标准装置分别测得的 硬度差获得的平均压痕深度的修正值的估计方差按
B类评定为：
u2（ 4^ （xz ）2/（2「6）2 = （xz ）2/24
可以假设修正值的最佳估计值本身为零。
A.3.3.4.4国家计量标准装置和硬度定义引起的标准不确定度，u（厶s） 国家计量标准装置的不确定度和由于硬度量定义不完全引起的不 确定度一起用估计标准偏差uC s）报告。
u（ s）=0.5 HRC
A.3.3.5 合成标准不确定度 将各项不确定度分量代入式（A2-6）中，得到硬度测量的估计方差
u2(h“ 沁 兰 sfvlzs)
5 12 m
sav(z) .(xz)2 .u2c...：s)
n 24
(A.13)
Uc（ h）就是硬度的合成标准不确定度
A.3.3.6数字举例
1）用洛氏C测量法测定样块硬度的数据见表 A.3
表A.3用洛氏C测量法测定样块硬度的数据一览表
不确定度来源 用校准装置在样块上进行 5次压痕的 36.0 HRC 平均深度 d : 0.072mm 由5次压痕所指示的样块的硬度指数:~~ 64.0 HRC HRockwell C = hRockwell C /(0.002mm)= [100(0.002mm)-0.072mm]/ (0.002mm) 由校准装置在具有均匀硬度的样块上 压痕深度的合并实验标准偏差SP(dk) 校准装置显示的分辨力§ 传递标准块上由国家计量标准装置进 行m列压痕的平均值的实验方差的平 均值的平方根Sav(zs) 传递标准块上由校准装置进行 n列压 痕的平均值的实验方差的平均值的平 方根Sav(Z) 在传递标准块上压透深度的允许变化 量x 国家计量标准装置和硬度的定义引入 的标准不确定度U(也s) 2)合成标准不确定度的计算
0.1 HRC 0.10 HRC , 0.45 HRC 值 m=6 0.11 HRC , n=6 1.5 X10-2 0.5 HRC 这种测量方法是Rockwell C法。硬度指数的单位符号用HRC表 示。这里“HRC是0.002mm，因此在表A.3和下文中，例如“ 36.0 HRC意味着36.0 x (0.002mm)=0.072mm “ HRC是表示数据和结果 的简便方法。
将表A.3中给出的有关量的值代入式(A.13)中，就可得到硬度的 合成方差：
u；(h) J
0.452 5
0.102 0.112 6
6
(0.015 36.0)2
24
0.52](HRC)2
=0.307(HRC)
12
2
所以硬度测量的合成标准不确定度为：
u c( h)=0.55 HRC = 0.0011mm
3) 测量结果
样块的硬度：由于z丄d=36.0 HRC。假设二c=0,b=0, = s=0,则:
h =64.0 HRC = 0.1280mm
其合成标准不确定度 uc=0.55 HRC = 0.0011mm 样块的硬度指数为： h/(0.002mm)=(0.128mm)/ (0.002mm) 或
HR ockwell C =64.0HRC
uc=0.55 HRC
其合成标准不确定度为 4) 分析:
由表A.3可见，对测量结果的测量不确定度起主要作用的分量，除 了由于国家计量标准装置和硬度定义引起的标准不确定度分量 uC s)=0.5 HRC夕卜，其他较明显的标准不确定度分量是测量重复性引 起的标准不确定度：sP (dk) / 5=0.20 HRC和传递标准块的硬度变化 引入的标准不确定度(XZ)2/24=0.11 HRC。
A3.4样品中所含氢氧化钾的质量分数测定
本例是测量不确定度在化学测量中的应用， 在数学模型中各输入量 间是相乘的关系，可以采用相对标准不确定度计算合成标准不确定度。 A3.4.1测量方法
用盐酸(HCl)作为标准滴定溶液在滴定管中测定某样品中所含氢 氧化钾(KOH的质量分数。 A3.4.2有关信息
1 )在滴定中达到中和，滴定终点(化学计量点前或后)消耗标准 溶液50ml。
2) 标准滴定溶液的物质的量浓度及其扩展不确定度为 c(HCl)=0.2(1 士
1X 10-3)mol/L ,( k=2)
3 )所用滴定管为B级，其最大允许误差为士 0.6%。
4 )氢氧化钾的相对分子质量M(KOH)与三种元素的相对原子质量A 有关，由下式计算：
M(KOH)二 Ar (K)+ Ar (O)+ Ar (H)
( A.14)
查1993年国际上公布的元素相对原子质量表，得到：
A (K)=39. 098 3(1), A (O)=15. 9994(3),
94⑺
A (H)=1. 007
括号中的数是原子质量的标准不确定度，其数字与原子质量的末位 一致，
例如A (K)=39. 098 3(1), 都取一位有效数字。
将数据代入(A3.4-1 )式，得到氢氧化钾的相对分子质量 M(KOH):
即u[A (K)]=0.0001,表中的不确定度
M(KOH)二 39. 098 3+15. 9994+1.007 94=56. 105 64(g/mol)
5 )样品的质量用由砝码和天平组成的称重设备测量得到，测量结 果为10g。称重设备的不确定度为U=3X 10-4(k=3)。 A3.4.3测量模型
被测量是样品中所含氢氧化钾的质量分数，用符号 其测量模型为：
3(KOH)表示，
3 (KOH)=f[ V(HCl), c(HCl), Mr(KOH),m
=
(A.15)
A3.4.4合成标准不确定度的计算公式
由于被测量的数学模型中各输入量是相乘的关系，函数关系符合 以下
V(HCl)xc(HClpMr(KOH) m
形式：
Y X X； xN
合成标准不确定度可以表示为：
%(y) 一厂严以冲 y i J Xi
(A.16)
用相对标准不确定度表示：
Ur(y) =「[RUr(Xj]2
(A.17)
3 (KOH)的相对合成标准不确定度为：
Ucr[ (KOH )]「u2[V(HCI)] u；[c(HCI)] u2[Mr(KOH )] u：[m]
(A.18)
由此可见，不确定度的主要来源为：
消耗标准溶液的体积测不准,
标准盐酸溶液浓度及氢氧化钾的相对分子质量不准和样品的质量测 量不准。
A3.4.5评定标准不确定度分量
1) 消耗标准溶液的体积测量引入的标准不确定度 Ur[ V(HCl)]:
消耗标准溶液的体积是用滴定管测量的，滴定管的最大允许误 差为士 0.6%,假设为等概率分布，取k=.、3 ；贝心
ur[V(HCl )p a/k = 0.6%/「3 二 0.35% = 3.5 10“
2) 标准盐酸溶液浓度的标准不确定度Ur[c(HCl)]: 从所给的信息知道，标准滴定溶液的物质的量浓度为：
3
c(HCl)=0.2(1 士 1 x 10- )mol/L
(k=2)
即盐酸溶液浓度c(HCl)= 0.2 mol/L ，其相对扩展不确定度
Ul=1x 10-3 (k=2)
则盐酸溶液浓度的相对标准不确定度为:
ur[c(HCI)=1 x 10-3/2=0.5 X 10-3
3) 氢氧化钾的相对分子质量的标准不确定度 ur[ MKOH)]:
由于 M(KOH)二 39. 098 3+15. 9994+1. 007 94= 56. 105 64 g/mol
u[Mr(KOH)]二, u2[Ar(K)] u2[Ar(O)] u2[Ar(H)]
查1993年国际公布的元素相对质量表得到： A r (K)=39. 098 3(1), A (O)=15. 9994(3), 94⑺
A (H)=1. 007
u[A (K)]=0.0001 u[ A (O)]=0.0003 u[ A (H)]=0.000 07
u[Mr(KOH)]二.0.00012 0.00032 0.000072 = 0.0008
ur[M(KOH)]二 0.0008/56.10564=1.4 x 10-5
4)
的标准不确定度
样品的质量测量不准引入ur(n):
样品的质量用由砝码和天平组成的称重设备测量得到，测量结 果为10g。
称重设备的不确定度为U=3x 10-4 (k=3)。所以由质量测不准引 入的标准不确定度分量为：
ur(n)= 3x 10-4/3=1 x 10-4
A3.4.6计算合成标准不确定度
Ucr[ 4KOH )]=」2[V(HCI)]—u2[c(HCI)]—u；[Mr(KOH )厂u；[m]
7(3.5 10 冷
2
(0.5 10冷
2
(5.3 10 冷2 (0.1 10冷2 =3.5 10，
由不确定度分析和评定看出，测定氢氧化钾质量分数的最主要的不确 定度来源在于消耗盐酸溶液的体积的测定误差。
在实际工作中，可以
采用提高滴定管的准确度等级来减小测量不确定度。 A347确定扩展不确定度
为了测量结果间可以相互比较，按惯例在确定扩展不确定度时取 包含因子为2,
U二kuc=2x 3.5 x 10-3=7X 10-3 (k=2)
A3.4.8报告测量结果
样品中所含氢氧化钾的质量分数：
3 (KOH)二V(Hd) c(HCI) M/KOH) m
50ml 0.2mol/L 56.10g/mol = 10g
3
=56.1
x 10- =0.0561
U=7x 10-3 ； U=0.0561 x7x 10-3=0.0004 ( k=2) 所以测量结果可
以报告为：3 (KOH)= 0.0561 (4), (k=2) 括号内的数是扩展不确定度，与测量获得的最佳估计值的末位一致， 包含因子为2。 A.3.5 工作用玻璃液体温度计的校准
本例是校准工作中经遇到的关于校准值、修正值、示值误差的测 量不确定度的举例。 A.3.5.1
校准用设备和校准方法
使用分度值为0.05 C、测量范围为(-30~300)C的二等标准水 银温度计校准0.1C分度的工作用玻璃液体温度计，并使用了温度范 围为(-30
~100) C、温度稳定性为士 0.02 C /10min,工作区最大温差为 0.02 C
的恒温槽.
校准方法参照JJG130-2011《工作用玻璃液体温度计》进行。将
标准水银温度计和被校工作用玻璃液体温度计同时以全浸方式放入 恒定温度的恒温槽中，待示值稳定后，分别读取标准温度计和被校温 度计的示值，由标准温度计的示值加其修正值得到被校温度计示值的 校准值。 A.3.5.2
测量模型
y = t + At 式中：y —被校温度计示值的
s
s
校准值.
t —标准温度计示值.
s
△ t S—标准温度计的修正值.
A.3.5.3
不确定度来源和不确定度分量评定.
1. 标准水银温度计示值t s的标准不确定度u( t s)
(1) 二等标准水银温度计读数分辨力引入的标准不确定度 Ul( t s)
采用B类方法评定，二等标准水银温度计读数分度值为0.05 C , 其读数分辨力为其分度值的1/10,则不确定度区间半宽为0.0025 C , 设为均匀分布，取k= \\ 3 ,则：
u 1( t s)= 0.0025 C 八 3 =0.0014 C
(2) 由恒温槽温场不均匀引入的标准不确定度 U2( t s)
采用B类方法评定，(-30 ~ 100) C恒温槽温场最大温差为0.02 C , 则
_
区间半宽为0.01 C ,按均匀分布处理，取k= \\3,则：
u
2
( t s)= 0.01 C / 3 =0.006 C
标准温度计示值t s的标准不确定度u( t s)由以上两个分量合成 得到,该两项不确定度分量间不相关，则：
u(ts) = ...U12(ts) u|(tsH X 0.001 42 0.0062 = 0.006 C
2. 由标准水银温度计修正值At s修正当完善引入的标准不确 定度
u( At s).
修正当完善引入的标准不确定度，
B类评定.
用由所用二等标准水银温度计检定证书查得，其修正值At s的扩 展不确定度U99 = 0.025 C ,包含因子kp=2.58,则:
u( At s)= U 99/k P= 0.025 C/2.58 =0.01 C 3. 示值重复性引入的标准不确定度 UA
各种随机影响因素如恒稳槽温度起伏、被校温度计示值重复性等 导致的不确定度，用A类方法评定.将二等标准水银温度计和一支被 校温度计同时以全浸方式放入恒定温度的恒温槽中，待示值稳定后， 重复测量n(n=10)次，用贝塞尔公式计算得到单次测量值的实验标准
差s(y)=0.018 C,被校温度计的校准值同m(m=4次读数的算术平均 值得到,故重复性引入的标准不确定度分量用下式计算得到：
U3』
y)
.m
0.018° C = 0.009 C
计算合成标准不确定度Uc(y)
uc(y) = ..
u2(ts)
u2( ：ts)
u2
= .0.0062 0.012 0.0092 =0.015
C
确定扩展不确定度：
取包含因子k=2,则0.1 C分度的工作用玻璃液体温度计校准 值的扩展不确定度为：U = k u
c
(y)=2 x 0.015 C = 0.03 C
所以被校温度计的校准值的扩展不确定度为：
U = 0.03
C (k=2)
由被校温度计的校准值与被校温度计的示值之差计算得到被校 温度计的修正值.
被校温度计的示值t的修正值C=y-t= t s+At s-t.
被校温度
计的示值误差 △ =-C.示值重复性引入的不确定度已经考虑，所以被 校温度计的示值误差和被校温度计的修正值也具有与校准值同样的 扩展不确定度.
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