专题13 三角形的基本知识
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三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.
解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.
应熟悉以下基本图形：
AOBAAADBD图3CDCB图4
C图1DB图2C
例题与求解
【例1】 在△ABC中，∠A=50°，高BE，CF交于O，则∠BOC=________.
（“东方航空杯”——上海市竞赛试题）
解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性.
【例2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（ ）
A.17cm B.5cm C.5cm或17cm D.无法确定
（北京市竞赛试题）
解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.
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【例3】 如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：运用凹四边形的性质计算.
AFGBDEC
【例4】 在△ABC中，三个内角的度数均为正数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠B的度数.
（北京市竞赛试题）
解题思路：把∠A，∠C用∠B的代数式表示，建立关于∠B的不等式组，这是解本题的突破口.
【例5】 （1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？
（2）现有长为150cm的铁丝，要截成n(n2)小段，每段的长不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段.
（江苏省竞赛试题）
解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为a，b，c，且abc，由条件及三角形三边关系定理可确定c的取值范围，从而可以确定整数c的值. 对于（2），因n段之和为定值150cm，故欲使n尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.
【例6】 在三角形纸片内有2 008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2 011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2 011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？
（天津市竞赛试题）
解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.
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能力训练
A级
1.设a，b，c是△ABC的三边，化简abcabc=____________.
2.三角形的三边分别为3，12a，8，则a的取值范围是__________.
3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_______（按角分类)三角形. 4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为____________. （“缙云杯“试题）
DAAABGMHBBCE （第4题） （第5题） （第6题）
5.如图，已知AB∥CD，GM，HM分别是∠AGH，∠CHG的角平分线，那么∠GMH=_________.
CCEDFATGDEA2EB1DBC
（第7题） （第9题） 6.如图，△ABC中，两外角平分线交于点E，则∠BEC等于（ ）
HC11(90A) B.90A 2211C.(180A) D.180A 22A.
7.如图，在△ABC中，BD，BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H.下列结论：
①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=
1（∠BAC-∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C. 2其中正确的是（ ）
A.①②③ B.①③④ C.①②③ D.①②③④
8.已知三角形的每条边长的数值都是2 001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（ ） A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 9.如图，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则（ ） A.∠A=∠1+∠2 B.∠A=
1（∠1+∠2） 2素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
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C.∠A=
11（∠1+∠2） D.∠A=（∠1+∠2） 34
（北京市竞赛试题）
10.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1 997，则满足上述条件的三角形的个数是（ ） A.1个 B.3个 C.5个 D.7个
（北京市竞赛试题）
11.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°.
（河南省竞赛试题）
AE13GF2D
12.平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°. （1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小.
（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC.
BCCAECANB
DM BD
图1 图2
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13.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上.
（1）证明：AB+AE＞DB+DE； （2）证明：AB+AC＞DB+DC；
（3）AB+BC+CA与2（DA+DB+DC）哪一个更大？证明你的结论； （4）AB+BC+CA与DA+DB+DC哪一个更大？证明你的结论.
（加拿大埃蒙德顿市竞赛试题）
ADB
EC
B级
1.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但不是最短边，这样的三角形的 个数有_______个.
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成______个没有公共部分的小三角形. 3.△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且有2∠B=5∠A，若∠B的最大值是m，最小值是n，则mn___________.
（上海市竞赛试题）
4.如图，若∠CGE=，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______.
（山东省竞赛试题）
AEαGBD
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CAA1A2DFBC
（第4题） （第5题）
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5.如图，在△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1点，A1BC与
A1CD的平分线相交于A2点，依此类推，A4BC与A4CD的平分线相交于A5点，则A5的大小
是（ ）
A.3° B.5° C.8° D.19.2°
6.四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的平分线交于点P.∠A=64°，∠BCD=136°，则下列结论中正确的是（ ）
①∠EPF=100°； ②∠ADC+∠ABC=160°； ③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°； ④∠PEB+∠PFC=136°.
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
EDCAPBF
7.三角形的三角内角分别为，，，且，2，则的取值范围是（ ） A.3645 B.4560 C.6090 D. 4532
（重庆市竞赛试题）
8.已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有（ ） A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
（山东省竞赛试题）
9.不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.
（第三十二届美国邀请赛试题）
10.设m，n，p均为自然数，满足mnp且mnp15，试问以m，n，p为三边长的三角形有多少个？
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11.锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的此条件的所有锐角三角形的度数.
1，求满足4（汉城国际数学邀请赛试题）
12.如图1，A为x轴负半轴上一点，B为x轴正半轴上一点，C（0，-2），D（-2，-2）. （1）求△BCD的面积；
（2）如图2，若∠BCO=∠BAC，作AQ平分∠BAC交y轴于P，交BC于Q.
求证：∠CPQ=∠CQP；
（3）如图3，若∠ADC=∠DAC，点B在x轴正半轴上运动，∠ACB的平分线交直线AD于E，DF∥AC
交y轴于F，FM平分∠DFC交DE于M，BCF2DMF的值是否发生变化？证明你的结论.
EyyAOBxCAOPQCBxDD 图1 图2
yEAMDOBxC 素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
F图3
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13.如图1，A(0,m)，B(n,0).且m，n满足m3(2n4)20.
yyCFPAAOBxOEBx
图1 图2
（1）求A，B的坐标；
（2）C为y轴正半轴上一动点，D为△BCO中∠BCO的外角平分线与∠COB的平分线的交点，问是否
存在点C，使∠D=
1∠COB.若存在，求C点坐标； 4ABOECO的值是否发生变化？若不
F（3）如图2，C为y轴正半轴上A的上方一动点，P为线段AB上一动点，连CP延长交x轴于E，
∠CAB和∠CEB平分线交于F，点C在运动过程中变求其值；若变化，求其范围.
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