相似三角形模型分析大全(精)

 第一部分 相似三角形知识要点大全有顺序性．（2）在比例式ac（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，bdab或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。bcd是第四比例项．（3）如果比例内项是相同的线段，即例3．已知线段a=2cm, b=6mm, 求分析：求t a tim分析：由a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c．知识点3．相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系．（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性．例5．若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？e anda即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比．b3例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=dm，求c的长度．2 All thin(4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等．gsa．b in theirac（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．bdac解读：（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段bd being知识点1.．相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变．解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同．例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________(填序号)．解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似．答案：②⑤⑥．知识点2．比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 are goo分析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为g ad for1，再根据相31n somethin 1A1B1C1∽△ABC，则相似比为。②若两个三角形的相似比为1，则这两个三角形全kooDB似多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长．知识点4．相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（4）相似用“∽”表示，读作“相似于”；（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．注意：①相似比是有顺序的，比如△ABC∽△A1B1C1，相似比为k,若△d fAEC解：因为△ADE∽△ABC，所以所以g at a知识点6．相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边的比相等；（2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．例8．如图，已知△ADE∽△ABC，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7（1）求DE、AE的长；（2）你还能发现哪些线段成比例． time and条件一：ADACACAB A 分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可．解：当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC∠1=∠B；条件二：∠2=∠ACB；条件三：，即AC2=AD·AB．ll thin知识点5．相似三角的判定方法（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相似．（3）如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．（4）如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．（5）如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．例7．如图，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举．gs in theirADAE1，所以D，E分别是AB，AC的中点．ABAC2 beDEADAEDE21，，因为BCABACBC42ing 注意：解决此类问题应注意两方面：（1）相似比的顺序性，（2）图形的识别． ar等，全等三角形是相似三角形的特殊情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等．例6．如图，已知△ADE∽△ABC，DE=2，BC=4，则和的相似比是多少？点D，E分别是AB，AC的中点吗？e gor2n somethin AEDBCsomethin 分析：此题重点考查由两个三角形相似，可得到对应边成例，DEADAEBCABACro即．例9．已知△ABC∽△A1B1C1，，=AB2f A3，△ABC的周长为20cm，面积为40cm1B1d2．o求（1）△A1B1C1的周长；（2）△A1B1C1的面积．o分析：根据相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方求解．g易求出△A1B1C1的周长为30cm; △A1B1C1的面积90cm2 第二部分 相似三角形模型分析大全era g1、相似三角形判定的基本模型认识ni（一）A字型、反A字型（斜A字型）eb ArAieDEhDt Eni BC（平行） sBC（不平行）gn（二）8字型、反8字型iht lAlAA BdnBaOJ CemDCDi（蝴蝶型） t （平行） （不平行）3g at anin （三）母子型ADDBC g er（四）一线三等角型：a g三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景nieb rieht （五）一线三直角型：ni sgniht llA dna emit hteAmos rofdC o4g at ano （6）双垂型：AsomethinD rof d oCog era 2、相似三角形判定的变化模型gnieb rie旋转型：由A字型旋转得到。 ht8字型拓展 ni sgAnAihEFt GllDBCAE 共享性BCdna em it 一线三等角的变形5g at an 一线三直角的变形母子型相似三角形 求证：OCOAOE．2 例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, DEBABC．求证：（1）DBDEDA； （2）DCEDAC． 2ll things in their being ar例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．e gooBEADC6第三部分 相似三角形典型例题讲解ng at a time and Ad for somethin 例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BEEFEG．2 1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FDFBFC．2 in求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND=NC·NBg at a3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。7n time and All thin2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。2gs their being相关练习： are good for somethin 求证：EB·DF=AE·DB5． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边ACeir于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设 being are gooB（1）求证：AE=2PE； thA、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； ings（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．Ad fPDEC（第25题图）t a time and All thin双垂型8ng aor somethin 1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2EDEd forB3，DE=62，求：点B到直线AC的距离。EB2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和nd At a time all thinDCg agsA in共享型相似三角形9n their being are goo somethinADC 1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.A somethinrof DBCE doog era gni2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．e求证：（1）△ABE∽△ACD； （2）BC22b BECD．riAeht ni BDECsgniht llA dna emit 10g at an 一线三等角型相似三角形A例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°（1）求证：△BDE∽△CFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE Eord fDADCooC备用图11B例2：（1）在ABC中，ABAC5，BC8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点QBPCll thingsA in②若BPx，CQy，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；A th①若点P在线段CB上（如图），且BP6，求线段CQ的长；eir，且保持APQABC.C、点B重合） beingB备用图CB重合），且保持APQ90.当CQ1时，求出线段BP的长.t a tim（2）正方形ABCD的边长为5（如下图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点e and AADADng aBCBC are gBAB somethinFC ①求证；△ABP∽△DPC②求AP的长．APDBC①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；ABnd At aB timAe all thin②当CE＝1时，写出AP的长．Dg agsCD in于点E，同时交直线DC于点Q，那么C th（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BCeir being are g12nood f（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．or例3：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2． somethin f例4：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCDBC6，AD3．点M为边BC的中点，以M为顶点作EMFB，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF．（1）求证：△MEF∽△BEM；（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；or somethin（3）若EFCD，求BE的长．ht ni sgniht llA dna emit doog era gnieb ri13g at aen 相关练习：ADEC．(1) 求证：△ABD∽△DCE；(2) 如果BDx，AEy，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域；(3) 当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．e gBooEDC14（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长． timBe aDEndng at a AAFll thin（1）求证：△DBE∽△ECF； CgsDE，并作DEFB，射线EF交线段AC于F．（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长； in 2、如图，已知在△ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结 their being ard fAor1、如图，在△ABC中，ABAC8，BC10，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且 somethin ②当SDMFAEDEADBP（第25题图）CB ar being（备用图）e gC备用图15EF为边向右侧作等边EFG，直线EG,FG交直线AC于点M,N，（1）写出图中与BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BEx,MNy，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若AE1，试求GMN的面积．t a time and Ang a例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作ll things一线三直角型相似三角形 in th4、如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，CF1，点E是射线BA上一动点，以线段eiroo9SBEP时，求BP的长．4d f3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点． （1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD； （2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么 ①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；or somethin PECP，交边AB于点E,设PDx,AEy，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。 Aing例2、在ABC中，C90,AC4,BC3,O是AB上的一点，且o动点，PQOP交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），设APx,CQy，试求y关于x的函数关系，并写出定义域。eir be ar the gAO2，点P是AC上的一个AB5gs inQooCPOA16EBd forCng at a【练习2】 time and All thinB somethinPD o在直角三角形ABC中，C90,ABBC,D是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），DFDE,DF与射线BC相交于点F.(1)、当点D是边AB的中点时，求证：DEDF(2)、当ADDEm，求的值DBDFAD1，设AEx,BFy,求y关于x的函数关系式，并写出定义域（3）、当ACBC6, for somethinDB2CFEADBeb rieht ni sgniht llA dna emit doogC eraF EgniADB17g at an