2021年中考数学专题复习：相似三角形

一、选择题（本大题共10道小题）

AE21. 如图，在ABC中，EF//BC,，四边形BCFE的面积为21，则ABCEB3的面积是（ ）

A.

91 B. 25 C. 35 D. 63 32. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则

△DEO与△BCD的面积的比等于（ ）

A．

B．

C．

D．

3. 如图，在△ABC

中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F,过点E作EG∥AB，交BC于点G,则下列式子一定正确的是（ ）

A．

AEEFEFEGAFBGCGAF B． C． D． ECCDCDABFDGCBCAD

4. 如图，在ABC中，D、E

分别是AB和AC的中点，S四边形BCED15，则SABC（ ）

A. 30 B. 25 C. 22．5 D. 20

ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，

6)和(7，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为( )

5. 如图，在△

311，2) B. (2，2) C. (，2) D. (4，2) 246. 如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，

A. (

F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）

A．15 B．20 C．25 D．30

7. 已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（

）

A．3 B．2 C．4 D．5

CD3CE8. 如图，在△ABC中，DE∥AB，且=，则的值为（ ）

BD2CAAE

BDC3243A． B． C． D．

53529. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有（ ）

A.4个 B.5个 C.6个 D.7个

ABC 10. 如图，在△ABC

中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交

AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为 ············································································ （ ）

A．25 B．5 C．45 D．10

二、填空题（本大题共8道小题）

AC111. 如图，AB//CD//EF．若，BD5，则DF______．

CE2

12. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶

C1的C2点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则值等于 ．

DEFACB

BC//DE,且BCDE,ADBC13. 如图，4,ABDE10，则

AE的值为_____． AC

214. 在平面直角坐标系中，将AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，

3得到A1OB1.已知A(2,3)，则点A1的坐标是 ．

15.

如图，在ABC中，D，E为边AB的三等分点，EF//DG//AC，H为AF与DG的交点.若AC6，则DH_________.

16. 如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在

对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE2，则DF______，BE______．

DCF

17. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为4,0、0,4，点C3,n在第一象限内，连接AC、BC.已知BCA2CAO，则n_________.

AEB

CO分别在x轴，y轴上，A18. 如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，6)，点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽点的坐标为(8，△CBO，当△APC是等腰三角形时，P点坐标为__________．

三、解答题（本大题共4道小题） 19. （2020·杭州）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设

ADCE0． EBGBECF

（1）若AB2，λ＝1，求线段CF的长． （2）连接EG，若EGAF，

①求证：点G为CD边的中点． ②求的值．

20. 已知

AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，

过D点的直线交AC于E点，交AB于F点，且△AEF为等边三角形． (1)求证：△DFB是等腰三角形； (2)若DA＝7AF，求证CF⊥AB.

21. 如图，在平面直角坐标系

xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C，与直线

45

AD交于点A(3，3)，点D的坐标为(0，1)．

(1)求直线AD的解析式； (2)直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．

22.

如图，在ABC中，C90，AC3，BC4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD//AB，交AC于点D，连接AP，设CPx，ADP的面积为S．

（1）用含x的代数式表示AD的长；

（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．

参考答案

一、选择题（本大题共10道小题） 1. B

【详解】解：∵EF//BC ∴AEFB，AFEC ∴AEF∽ABC ∵∴

AE2 EB3AE2 AB5AEBABCS∴S∴

42 5254 212SAEBS四边形BCFE∵S四边形BCFE21 ∴S∴SAEB=4 =25

ABC故选：B．

2. B．

【解析】利用平行四边形的性质可得出点O为线段BD的中点，结合点E是CD的中点可得出线段OE为△DBC的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE∥BC，OE＝BC，进而可得出△DOE∽△DBC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出△DEO与△BCD的面积的比为1：4．

3. C【解析】本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，∵EF∥BC，∴

AFAEBGAEAFBG，∵EF∥BC，∴，∴因此本题选C．

FDGCFDECGCEC4. D

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．

根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=

1BC，故2可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知

SADE：SABC=1：4，则S四边形BCED：SABC=3：4，题中已知S四边形BCED15，故可

得SADE=5，SABC=20，因此本题选D． 5. B

【解析】∵点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7， ∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，设正方形与x轴的两个交点分别为G、F，∵EF⊥x轴，EF=GF=DG=2，∴EF∥AC，D，E两点的纵坐标均为2， EFBF2BF∴，即，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D点的横坐ACBC69标为2，∴点D的坐标为 (2，2)．

6. B

【解析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x， ∵四边EFGH是正方形，

∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AD是△ABC的高， ∴∠HDN＝90°， ∴四边形EHDN是矩形， ∴DN＝EH＝x， ∵△AEF∽△ABC， ∴

（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），

∵BC＝120，AD＝60， ∴AN＝60﹣x， ∴

，

解得：x＝40，

∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．因此本题选B．

7. A【解析】相似三角形的周长之比等于相似比，所以△FHB和△EAD的相似比为30∶15=2∶1，所以FH∶EA=2∶1，即6∶EA=2∶1，解得EA=3.因此本题选A．

8. A

【解析】利用平行截割定理求∵CE+AE=AC，∴

CECD3CE==，的值．∵DE∥AB，∴

AEBD2CACE3=． CA59. A

【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：

ABC因此本题选A． 10. A

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．如答图，过点E作EG⊥BC于G，过点A作AH⊥BC于H．

又因为DF⊥BC，所以DF∥AH∥EG，四边形DEGF是矩形．所以△BDF∽△BAH，DF＝EG，所以

12DFBDBD1DF＝，因为D为AB中点，所以＝，所以AHBABA2AH＝．设DF＝EG＝x，则AH＝2x．因为∠BAC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°，因为EG⊥BC，所以∠C＋∠CEG＝90°，所以∠B＝∠CEG，又因为∠BHA＝

∠CGE＝90°，AB＝CE，所以△ABH≌△CEG，所以CG＝AH＝2x．同理可证

BFBD111＝，因为BD＝AB＝CE，所以BF＝EG＝EGEC222115x．在Rt△BDF中，由勾股定理得BD＝DF2BF2＝x2(x)2＝x，所以222AEAD15AD＝x，所以CE＝AB＝2AD＝5x．因为DE∥BC，所以＝＝，

AC2AB21所以AE＝AC＝CE＝5x．

255在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝AD2AE2＝(x)2(5x)2＝x．因△

221152DEF的面积为1，所以DE·DF＝1，即×x·x＝1，解得x＝5，所以

222552DE＝×5＝5，因为AD＝BD，AE＝CE，所以BC＝2DE＝25，因此本25△BDF∽△ECG，所以

题选D．

二、填空题（本大题共8道小题） 11. 10

【解析】∵AB//CD//EF，∴又∵12.

ACBD， CEDF51AC1，BD5，∴，∴DF10，故答案为：10． CE2DF22 2【解析】由图形易证△ABC与△DEF相似，且相似比为1:2，所以周长比为21:2．故答案为：．

2 13.

2

AEADDEACABBC ，设DE＝x,则AB【解析】∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴

AE4xAE82AC10x4AC4＝10－x∵AD＝BC＝4，∴，∴x1＝8 ,x2＝2(舍去)， ，

此本题答案为2 ．14. （，2）

【解析】∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）．

115. 1【解析】 ∵D、E为边AB的三等分点， ∴BE=ED=AD=AB.

311∵EF//DG//AC，∴EFAC2∴DHEF1.

3216. 2 5－1

【解析】设BE＝x，则AB＝AE＋BE＝2＋x．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2＋x，AB∥CD，∴∠DCE＝∠BEC．由折叠得∠BEC＝∠DEC，EF＝BE＝x，∴∠DCE＝∠DEC．∴DE＝CD＝2＋x．∵点D，F，E在同一条直线上，∴DF＝

DCDFx2DE－EF＝2＋x－x＝2．∵AB∥CD，∴△DCF∽△EAF，∴EA＝EF．∴22＝x，解得x1＝5－1，x2＝－5－1．经检验，x1＝5－1，x2＝－5－1都

是分式方程的根．∵x＞0，∴x＝5－1，即BE＝5－1．

1417. 5或2.8

【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C作CD⊥y轴于点D，设AC交y轴于点E，∴CD∥x轴，∴∠CAO=∠ACD, △DEC∽△OEA，∵BCA2CAO，∴∠BCD=∠ACD, ∴

DCDE3xBD=DE,设BD=DE=x，则OE=4-2x,∴AO=EO,即4=4-2x,解得x=1.2．∴OE=4-2x=1.6，∴n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.

3263) 18. (，)或(4，55【解析】∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形， ∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上； ①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示，

∵PEBO，COBO， ∴PE∥CO， ∴△PBE∽△CBO，

6)， ∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为(8，∴点P横坐标为﹣4，OC6，BO8，BE4， ∵△PBE∽△CBO，

PEBEPE4， ∴，即COBO68解得：PE3，

3)． ∴点P(4，②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P， 过点P作PEBO于E，如图2所示，

∵COBO，∴PE∥CO， ∴△PBE∽△CBO，

6)， ∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为(8，∴ACBO8，CP8，ABOC6， ∴BCBO2OC2826210，∴BP2， ∵△PBE∽△CBO， ∴

PEBEBPPEBE2， ，即：COBOBC681068，BE， 55解得：PE832∴OE8，

55∴点P(326，)， 553263)， ，)或(4，55综上所述：点P的坐标为：(故答案为：(3263)． ，)或(4，55三、解答题（本大题共4道小题） 19. 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB＝BC＝2，∴∠DAF＝∠F．∵AG平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠F，∴EA＝EF．∵λ＝1，∴BE＝EC＝1．在Rt△ABE中，由勾股定理得EA＝5，∴CF＝EF－EC＝5－1． （2）①∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝GF．又∵∠AGD＝∠FGC，∠DAG＝∠F，所以△DAG≌△CFG，∴DG＝CG，∴点G为CD边的中点． ②不妨设CD＝2，则CG＝1．由①知CF＝AD＝2．∵EG⊥AF，∴∠EGF＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠FCG，∠EGC＋∠CGF

EC＝90°，∠EGC＋∠GEC＝90°，∴∠CGF＝∠GEC，∴△EGC∽△GFC，∴CG＝CG1131CF＝2，∴EC＝2，∴BE＝2，∴λ＝3．

20.

(1)证明：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°，

∵△AEF是等边三角形， ∴∠EAF＝∠EFA＝60°， ∴∠ABC＝30°，

∴∠FDB＝∠EFA－∠B＝60°－30°＝30°，(2分)

∴∠ABC＝∠FDB， ∴FB＝FD，

∴△BDF是等腰三角形．(3分) (2)解：设AF＝a，则AD＝7a，

解图

如解图，连接OC，则△AOC是等边三角形， 由(1)得，BF＝2－a＝DF，

∴DE＝DF－EF＝2－a－a＝2－2a，CE＝AC－AE＝1－a， 在Rt△ADC中，DC＝（7a）2－1＝7a2－1， 1－aCE3

在Rt△DCE中，tan30°＝DC＝＝， 237a－11

解得a＝－2(舍去)或a＝2，(5分) 1

∴AF＝2，

在△CAF和△BAC中， CABA

，

AF＝AC＝2，且∠CAF＝∠BAC＝60°∴△CAF∽△BAC， ∴∠CFA＝∠ACB＝90°， 即CF⊥AB.(6分) 21.

解：(1)设直线AD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，

45

将D(0，1)、A(3，3)代入解析式得 b＝145， k＋b＝33

b＝1

解得1，

k＝2

解图

1

∴直线AD的解析式为y＝2x＋1.(3分)

(2)直线AD的解析式为 1

y＝2x＋1，令y＝0，得x＝－2， ∴B(－2，0)，即OB＝2.

∵直线AC的解析式为y＝－x＋3，令y＝0，得x＝3， ∴C(3，0)，即BC＝5，

1

设E(x，2x＋1)，

①当E1C⊥BC时，∠BOD＝∠BCE1＝90°，∠DBO＝∠E1BC， ∴△BOD∽△BCE1，

此时点C和点E1的横坐标相同，

1

将x＝3代入y＝2x＋1，

5

解得：y＝2，

5

∴E1(3，2)．(6分)

②当CE2⊥AD时，∠BOD＝∠BE2C＝90°，∠DBO＝∠CBE2， ∴△BOD∽△BE2C，

如解图，过点E2作E2F⊥x轴于点F，则∠E2FC＝∠BFE2＝90°. ∵∠E2BF＋∠BE2F＝90°， ∠CE2F＋∠BE2F＝90°， ∴∠E2BF＝∠CE2F，

E2FCF

∴△E2BF∽△CE2F，则BF＝EF，

2

即E2F2＝CF·BF， 1

(x＋1)2＝(3－x)(x＋2)， 2

解得：x1＝2，x2＝－2(舍去)， ∴E2(2，2)；(9分) ③当∠EBC＝90°时，此情况不存在．

5

综上所述，点E的坐标为E1(3，2)或E2(2，2)．(10分) 22.

解： （1）∵DP∥AB ∴△DCP∽△ACB

∴

CDCP ACCBCDx 343∴CDx

4

3∴AD＝3－x

4（2）∵△DCP∽△ACB,且相似比为x：4． ∴S△DCP：S△ACB＝x2：16

1∴S△ABC＝346

2

3∴S△DCP＝x2

813∴S△APB＝PBAC(4x)

22∴S＝S△ABC－S△ABP－S△CDP

∴

33x)x228

33x2x82当x2 时，S随x增大而减少．

6(6