定积分练习题

1. 设连续函数f(x)>0，则当aC．当0b

b

解析： 由af(x)dx的几何意义及f(x)>0，可知af(x)dx表示x＝a，x＝b，y＝0与y＝f(x)围成的曲边梯形

b

的面积．∴f(x)dx>0.

a

b

答案：A 2. 若a20xdx,bxdx,csinxdx，则a，b，c的大小关系是( )

002232A．a181422解析：a＝x3 |20＝，b＝x |0＝4，c＝－cosx |0＝1－cos2，∴c答案：D

3. 求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是( )

A．S＝1(x2－x)dx

B．S＝1(x－x2)dx

00

C．S＝1(y2－y)dy

0

D．S＝1(y－y)dy

0

[答案] B

[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝1(x－x2)dx.

0

4.

11(sinx1)dx的值为( )

A. 2 B.0 C.22cos1 D. 22cos1

【答案】A 【解析】

11(sinx1)dxcosxx1(cos11)cos(1)12

215. 由曲线yx2x与直线

A．

yx所围成的封闭图形的面积为 （ ）

1 3C．

1 6B．

5 6D．

2 3【答案】 A

【解析】在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示， 由x2xx,解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0）， 利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为: 二、填空题

26. 已知f(x)＝0(2t－4)dt，则当x∈[－1,3]时，f(x)的最小值为________．

x

x解析： f(x)＝(2t－4)dt＝(t2－4t)|0 ＝x2－4x＝(x－2)2－4(－1≤x≤3)，

0

x

∴当x＝2时，f(x)min＝－4.

答案： －4

7. 一物体以v(t)＝t2－3t＋8(m/s)的速度运动，在前30 s内的平均速度为________． 解析：由定积分的物理意义有：s＝

300(t23t8)dt＝(3t3－2t2＋8t)|300

13

s7890

＝7890(m)．∴v＝＝＝263(m/s)．

t30答案：263 m/s 三、解答题

8.求下列定积分：

2

1x－x2＋dx；(2) (1)1x

(cosx＋e)dx；0xx

(3)9x(1＋x)dx；(4)πcos2dx.

2

4

0

11x2x237522|x－x2＋dx＝解析： (1)xdx－xdx＋dx＝11 －|1 ＋ln x|1＝－＋ln 2＝ln 2－. 111xx23236(2)

222223

4

0x0

－π＋e|－π＝1－π. (cosx＋ex)dx＝cosxdxexdx＝sin x|0

e

001

1

(3)9x(1＋x)dx＝9(x＋x)dx＝2

4

2x3＋1x249＝2×93－2×43＋1×92－1×42＝451.

3223232226

(4)cosdx＝2

0

π

2x

π0

1＋cosx11π

dx＝x|0π＋sinx|0π＝. 2222

9. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图：

直线y＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为解：由f(0)＝0得c＝0， f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 由f′(0)＝0得b＝0， ∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，

a

由∫－0[－f(x)]dx＝27

，求f(x)． 4

27

得a＝－3. 4

∴f(x)＝x3－3x2.

10.已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，0f(x)dx＝－2. (1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值． 解析： (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b.

1

a－b＋c＝2c＝2－a

由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得，即.

b＝0b＝0

∴f(x)＝ax2＋(2－a)．

又0f(x)dx＝0[ax2＋(2－a)]dx

1321

ax＋2－ax|0 ＝2－a＝－2， ＝33∴a＝6，∴c＝－4. 从而f(x)＝6x2－4.

(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]， 所以当x＝0时，f(x)min＝－4； 当x＝±1时，f(x)max＝2.

B卷：5+2+2

一、选择题

1. 已知f(x)为偶函数且

A．2 C．1

61f(x)dx,则f(x)dx等于( )

621

1

60B．4 D．-1

解析：∵f(x)为偶函数，∴答案：C

606601f(x)dxf(x)dx,∴f(x)dx2f(x)dx1.

60622. (改编题)已知f(x)2x，则f(x)dx( )

12A． 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5

【答案】C 【解析】

2022x,x0x20x22f(x)2x,f(x)dx(2x)dx(2x)dx(2x)|1(2x)|01102x,x022323.5.29

3. 已知函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面积为，则k等于( )

2

A．2 C．3 答案：C

B．1 D．4

y＝x2

解析：由消去y得x2－kx＝0，

y＝kx

所以x＝0或x＝k，则阴影部分的面积为 1213k92∫k0(kx－x)dx＝(kx－x) |0＝. 232

119

即k3－k3＝，解得k＝3. 232

10 0≤x≤2

4. 一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x

3x＋4 x>2

＝4(单位：m)处，则力F(x)作的功为( )

A．44 C．48

B．46 D．50

424

324

解析： W＝0F(x)dx＝010dx＋2(3x＋4)dx＝10x|20 ＋x＋4x|2＝46. 2答案：B 5. 函数

fx满足f00，其导函数fx的图象如下图，则fx的图象与x轴所围成的封闭图形的

面积为A．

148 B． C．2 D． 333【答案】B 【解析】由导函数

fx的图像可知，函数fx为二次函数，且对称轴为x1,开口方向向上，设函数

f(0)0,c0.f(x)2axb,因过点（-1,0）与（0,2），则有

f(x)ax2bxc(a0), 2a(1)b0,2a0b2,a1,b2.f(x)x22x，则

0fx的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为

11432S(x22x)dx(x3x2)|0=（-2)(2). -23332二、填空题

lgx,x06.（改编题）设f(x),若f(f(1))1,则a为 。 a2x3tdt,x00【答案】1 【解析】

af(1)lg10,f(f(1))f(0)03t2dtt3|0a31,a1.

0a7. 已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为

[答案] －1

1

，则a的值为________． 12

[解析] f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f ′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．

S阴影＝－0(－x3＋ax2)dx＝

a

141

a＝，∴a＝－1. 1212

三．解答题

8.（改编题）画出曲线

y

2

与直线yx1及x4所围成的封闭图形，并且其面积. x

解析:如图所示，封闭图形的区域为ABC.

2

与yx1联立可得C(2,1), x21由y与x=4联立可得B(4,),

x2由y



由yx1与x=4联立可得A(4,3). 所求封闭图形ABC的面积：

84222ln42ln242ln2.

9. 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为(1)求切点A的坐标． (2)求过切点A的切线方程．

解析：设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，过点A的切线方程为

y－y0＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x－x02.

x0x0令y＝0，得x＝.即C(，0)．

22

设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形面积为S， S曲边△AOB＝

1

. 12

x001x013

x2dxx3|03x0，

311x0213

S△ABC＝|BC|·|AB|＝(x0－)·x＝x.

222040111

∴S＝x03－x03＝.∴x0＝1，

3412

从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.

C卷：2+2+1

一、选择题

1.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线yx和曲线y2x围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投

一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是 A．

1111 B. C. D. 26431【答案】D

S阴2313111【解析】S阴(xx)dx(x2x)|0,S正方形OBCA=1，P.

0333S正方形OBCA322. 设函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)x

＝－，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n，则ng(x)dx的值是( )

3

m

5A．－

25C．－

4[答案] A

4B．－

37D．－

6

[解析] 由题意可得，当0＝x－1，所以当x∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所xx5

－dx＝－14＝－. 以m＝1，n＝4，则g(x)dx＝62m13

n

4

2

二．填空题 3.

20(4x2x)dx_______________．

【答案】2 【解析】

220(4x2)dx等于圆x2y24在第一象限的面积，则

2220(4xx)dx(4x)dx0201xdxx22.

2024．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1＝S2，则点P的坐标为________． 解析：设直线OP的方程为y＝kx，P点的坐标为(x，y)，

x2

1213x131222则0(kx－x)dx＝x(x2－kx)dx，即2kx－3x|0 ＝3x－2kx|x ，

1312118

解得kx2－x3＝－2k－3x－2kx， 233

44

解得k＝，即直线OP的方程为y＝x，

33

416所以点P的坐标为3，9.

416

答案： 3，9 三．解答题

5.如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S1＋S2最小．

221

[解析] 由题意得S1＝t·t2－tx2dx＝t3，S2＝1x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋，

333

0

t

41

所以S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．

331

t－， 又S′(t)＝4t2－2t＝4t21

令S′(t)＝0，得t＝或t＝0.

2

11

因为当00.

22

11

0，上单调递减，在区间，1上单调递增． 所以S(t)在区间2211

所以，当t＝时，Smin＝.

24