湛江市2014年普通高考模拟测试(一)(文数)

湛江市2014年普通高考模拟测试（一）

数学（文科）

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟 注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用2B铅笔 将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上。在答题卡右上角“试室号”和“座位号”栏填写试室号、 座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考试结束后，将试题与答题卡一并交回。 参考公式：

锥体的体积公式：V=1Sh，其中S是底面面积，h是高。 32n个数据x1,x2,x3,,xn的平均数是x，这组数据的方差s由以下公式计算：

s21[(x1x)2(x2x)2(x3x)2(xnx)2]. n一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的． 1．复数1i的共轭复数是

A．1i B．1i C．1i D． 1i 2．设函数f(x)lg(1x)的定义域为A，值域为B，则AB=

A．(0,) B．(1,) C．(0,1) D．(,1)

3．“3”是“sin3”的 2 A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．通过某雷达测速点的机动车的时速频率分布直方图如图 所示，则通过该测速点的机动车的时速超过60的概率是

1

A．0.038 B．0.38 C．0.028 D．0.28

5．等差数列an中，a24,a3a720，则a8

A．8 B．12 C．16 D．24

6．运行如图的程序框图，若输出的结果是s1320，则判断框中可填入

A．k10? B．k10? C．k9? D．k8? 7．如下图所示的几何体，其俯视图正确的是

8．在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC= A．

25 B． C． D．

366349．若曲线yx的一条切线l与直线x4y30垂直，则l的方程为

A．4xy30 B． x4y50 C．4xy30 D． x4y30 10．将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点(2,0)与点(2,4)重合， 则与点(5,8)重合的点是 A．(6,7)

B．(7,6)

C．(5,4)

D．(4,5)

二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）

x2y21的焦点坐标是_____________ 。 11．双曲线412．不等式2x1的解集是 ． 2xy50y的不等式组13．若关于x、表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是 ya0x2

2

．

（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）

x22cos已知曲线C的参数方程是．（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半

y22sin轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos的点有_____________个。 15．（几何证明选讲选做题）

如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=3，CD是⊙O的切 线，BD⊥CD于D,则CD= ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知函数f(x)Asin(x),(0,A0,(0, 的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点。

(1) 求函数f(x)的解析式； (2) 已知(2，则在曲线C上到直线l的距离为22))．

2,)且sin5，求f()． 13217．（本小题满分12分）

汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税。检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）。

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为x乙120g/km。

(1) 从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率是多少？

3

(2) 求表中x的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性。 18．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥PABC中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，D、 E、F分别是PC、AC、BC的中点。． (1) 证明：平面DEF//平面PAB； (2) 证明：ABPC； (3) 若AB2PC19．（本小题满分14分）

在正项等比数列an中，公比q(0,1)，a3a55且a3和a5的等比中项是2． (1) 求数列an的通项公式； (2) 若bn2，求三棱锥PABC的体积．

1判断数列bn的前n项和Sn是否存在最大值，若存(log2a1log2a2log2an)，

n在，求出使Sn最大时n的值；若不存在，请说明理由。 20．（本小题满分14分）

x2y2已知顶点为原点O的抛物线C1的焦点F与椭圆C2:221(ab0)的右焦点重合

abC1与C2在第一和第四象限的交点分别为A、B．

(1) 若△AOB是边长为23的正三角形，求抛物线C1的方程； (2)若AFOF，求椭圆C2的离心率e；

(3) 点P为椭圆C2上的任一点，若直线AP、BP分别与x轴交于点M(m,0)和N(n,0)，证明：

mna2．

21．（本小题满分14分）

已知f(x)ln(x1),g(x)12axbx(a,bR)． 2(1) 若b2且h(x)f(x1)g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围； (2) 若a0,b1,求证：当x(1,)时，f(x)g(x)0恒成立； (3) 利用（2）的结论证明：若x0,y0，则xlnxylny(xy)ln

4

xy。 2参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.B 2.D 3.B 4.B 5.C 6.B 7.C 8.C 9.A 10.A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11.(5,0),(5,0) 12.{x|x1} 13.[5,7) 14.3 15.

37 4三、解答题（本大题共6小题，共80分）

16. （本小题满分12分）

解：(1)由函数最大值为2 ，得A=2 。……………………………………………………….1分 由图可得周期T4[由

()] ，……………………………………………………….2分 1262，得2 。 ……………………………………………………….3分

又122k,kZ，及(0,)，…………………………………………….4分 22得3 。 ……………………………………………………….5分

f(x)2sin(2x) 。 ……………………………………………………….6分 3512（2）由（，），且sin=，得cos=-1sin2，…………………….8分

21313f()2sin(2)2(sincoscossin)，………………………………….10分 223335123． ……………………………………………………….12分 1317. （本小题满分12分）

解：（1）从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆，共有10种不同的二氧化碳排放量结果： （80，110），（80，120），（80，140），（80，150），（110，120），（110，140），（110，150）， （120，140），（120，150），（140，150）。 …………………………………………………. 2分 设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果： （80，140），（80，150），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150） ∴ P(A)70.7。 10480x120， 5答：至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率为0.7。………………………………. 6分 （2）由题可知，x乙120， 解得 x120 。 ……………………………….7分

5

又x甲120， …………………………………………………. 8分

151222222∴ s乙（100-120）（120-120）（120-120）（100-120）（160-120）480， 5222222∴ s甲（80-120）（110-120）（120-120）（140-120）（150-120）600，

…………………………………………………11分 ∵ x甲x乙120，s甲s乙，

∴ 乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好。 ………………………………………12分 18.（本小题满分14分）

（1）证明：∵ E、F分别是AC、BC的中点，

∴ EF//AB. …………………………………………………1分 ∵ AB平面PAB,EF平面PAB,

∴ EF//平面PAB,同理DF//平面PAB.……………………………………………2分 ∵ EFDFF且EF平面DEF,22DF平面DEF, ………………………3分

∴ 平面DEF//平面PAB. ……………………………………………4分 （2）证明：取AB的中点G，连结PG、CG，

∵ △PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，

∴ PGAB,CGAB,

∵ PGCGG,且PG平面PCG,CG平面PCG, ∴ AB平面PCG.……………………………………6分 ∵ PC平面PCG,

∴ ABPC. …………………………8分 （3）解：在等腰直角三角形PAB中，AB ∴ PG2，G是斜边AB的中点，

12AB, 222。 ………………………………………10分 26

同理CG

∵ PC2, 2 ∴ △PCG是等边三角形， ∴ SPCG112233PGCGsin60. …………12分 222228 ∵ AB平面PCG,

∴ VPABC1136ABSPCG2. …………………………14分 3382419. (本小题满分14分)

解：（1）依题意：a3a54， ………………………………………1分 又a3a55 ，且公比q(0,1)， 解得 a34,a51。 ∴ q2a511,即q， …………………………………………3分 a342∴ a1a316 ………………………………………4分 q2n1∴ ana1q116()n125n 。 ………………………………………6分

2（2）∵ log2an5n，

(45n)n19n2 ∴ bn(43(5n)) ………………………………………8分 nn2∵当n9时，bn0，当n9时，bn0，当n9时，bn0 …………………………………10分 ∴ S1S2S8S9S10S11. ……………………………………………12分

∴ Sn有最大值，此时n8或n9。 ………………………………………14分 20.（本小题满分14分）

解：（1）设椭圆的右焦点为F(c,0)，依题意得抛物线的方程为y4cx …………………1分

2 7

∵△AOB是边长为23的正三角形，

∴点A的坐标是(3,3)， …………………………3分 代入抛物线的方程y4cx解得c221， 4故所求抛物线C1的方程为yx ……………………4分 （2）∵AFOF, ∴ 点A的横坐标是c

b2b2代入椭圆方程解得ya，即点A的坐标是(c,a) ∵ 点A在抛物线y24cx上，

∴b42a4c,即b222ac， 将b2a2c2代入上式整理得：(c)22caa10， 即e22e10，解得e12 ∵ 0e1，故所求椭圆C2的离心率e21。 （3）证明：设P(x1,y1),A(x2,y2),B(x2,y2)，代入椭圆方程得

x2y22211x2a2y2b21,a2b21 而直线PA的方程为(x2x1)(yy1)(xx1)(y1y2)0 令y0得mx2y1x1y2yy。 12在mx2y1x1y2中，以yyxy1x1y2y2代换2得n2 1y2y1y2x2222∴ mn2y1x1y2x2y1x1y2x2y1x1yyy222 12y1y2y1y22y22a(1222y12 b2)y1a(1b2)y2y22a2 1y221. （本小题满分14分）

8

…………………………5分

…………………………6分 …………………………7分 …………………………8分

…………………………9分 …………………………10分 …………………………11分

…………………………12分

…………………………14分 解：(1)当b2时，hxlnx∴h(x)12ax2x 21ax2. …………………………1分 x21ax2x∵ h(x)有单调减区间，∴h(x)0有解，即0

x∵ x0，∴ ax22x10有解。 …………………………2分 （ⅰ）当a0时符合题意；

（ⅱ）当a0时，△44a0，即a1。

∴a的取值范围是(1,)。 …………………………4分 （2）当a0,b1时，设(x)f(x)g(x)ln(x1)x， ∴ (x)∵x1，

讨论(x)的正负得下表：

1x1。 …………………………5分 x1x1 …………………………6分

∴当x0时(x)有最大值0. 即(x)0恒成立。

∴当x(1,)时，f(x)g(x)0恒成立。 …………………………8分 （3）∵x0,y0， ∴xlnxylny(xy)ln x(lnxln xlnxy 2xyxy)y(lnyln) …………………………10分 222x2yxyxyylnxlnyln xyxy2x2yyxxy)yln(1) …………………………12分 2x2y9

xln(1

由（2）有xln(1yxxyyxxy)yln(1)xy0 2x2y2x2yxlnxylny(xy)ln ∴

xy2 …………………………14分

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