高一期末复习

1.集合的特性：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性；

2.列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内表示集合的方法；

3.描述法：将集合中元素的通性描述出来写在大括号内表示集合的方法；通式：{x|P}； 4.空集(记为)是指不含任何元素的集合；它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

”表示元素与集合间的从属关系； “Ü， (，)”表示集合与集合间的包含关系。 5.“，6.给出下列条件：①集合A中任何一个元素都是集合B中的元素；②集合B至少存在一个元素不在集合A中；③集合B中任何一个元素都是集合A中的元素.

B满足①，则A是B的子集；如果集合A、 B满足①、②，则A是B的真子集；如果如果集合A、 B满足①、③，则A与B是相等的集合； 集合A、注意：AB(或ABA、讨论时别忘A的情况；考察集合的关系借助韦恩图。 ABB)，

7.集合的含义：(1)A{x|yf(x)}表示函数的定义域； (2)B{y|yf(x)}表示函数的值域；

(3)C{(x， y)|yf(x)}表示方程f(x,y)0的解的集合，或表示曲线上的点的集合；„„ 8.集合的运算：AB{x|xA 且 xB}；AB{x|xA 或 xB}； ðUA{x|xU，且 xA }； 且BCAC；ABBAA(或B)ABBA；9.运算性质：AB，BðUAUAB；痧AUUB U(AB)；痧(UUUAA)A；痧UUBCU(AB)；

ABAABBAB痧BUAAðUB；痧U； UU； U*10. 正整数（整数）分类：被2整除与否可分为2k1， 2k(kN(或Z))； *被3整除与否可分为3k2， 3k1， 3k(kN(或Z))；

*被4整除与否可分为4k3， 4k2， 4k1， 4k(kN(或Z))；其余依此类推；

11. n个元素的子集有2n个；真子集有2n1个；非空子集有2n1个；非空真子集有2n2个。

····

12. 可以判断真假的语句叫命题.命题与逆否命题同真同假，否命题与逆命题同真同假； 13. 反证法：当证明“若p，则q”感到困难时，(相当于)改证它的等价命题“若q则p”成立. 证题步骤：①假设结论反面成立；②从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；③由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。

矛盾的来源：①与原命题的条件；②与假设；③恒假命题。

适用于待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等否定词。 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个 否定 不等于 小于或等于 大于或等于 不是 不都是 至少两个 正面词语 至少一个 任意的 所有的 至多有n个 任意两个 否定 一个都没有 存在一个 命题的四种形式及其相互关系

存在一个 至少n1个 互逆 原命题 互否 否命题 互为逆否 互逆 存在两个 逆命题 互否 逆否命题 二、不等式

abab0； abab0； 1.不等式的依据：实数的有序性，即abab0；2.不等式的主要性质：

cdacbd； ab， cdacbd)； ①abacbc(ab， c0acbc； ab， c0acbc ②ab， cd0acbd；ab， 且ab0 (ab0，1a1b； a0bn1a1b)；

nn nN， n1 nN， n1ab；⑤ab0，③ab0，anb；

1

3.基本不等式：①a2b22ab(当且仅当ab时，等号成立)(a2b22|ab|)；

b0，则ab2ab(当且仅当ab时，等号成立)； ②若a0， b同号，则③（推）a，baab2(当且仅当ab时，等号成立)；

224.重要结论：设x， y为正数，

④

ab22(ab2)ab(当且仅当ab时，等号成立)

①如果积xy为定值P，那么当xy时，和xy有最小值2P； ②如果和xy为定值S，那么当xy时，积xy有最大值

14S.

25.不等式的解法：高次不等式低次化；分式不等式整式化；绝对值不等式常规化；无理不等式有理化；超越不等式代数化是解不等式的基本原则，含参数的不等式分类讨论，数形结合用图像法、换元法、根据函数的单调性等是转化的重要途径。 6.不等式的证明方法

(1)比较法：作差变形(配方或分解因式) 判断符号．两边均正时也可比商，判断与1的大小. (2)综合法：从已知出发，依据性质和基本不等式，直接推出所需的不等式(连接词：∵„，∴„)． (3)分析法：从欲证的不等式出发，寻找不等式成立的充分条件(连接词：要证„，只要证„)． (4)还有放缩法、反证法、数学归纳法等

···· 7.ax2bxc0恒成立c0；

0a0， b0或，有等号时0改为0；c0改为ac008.(可转化为)“af(x)恒成立”a[f(x)]max. 若f(x)无最大值，但f(x)M，则aM； 9.(可转化为)“af(x)恒成立”a[f(x)]max. 若f(x)无最大值，但f(x)M，则aM； 10. (可转化为)“af(x)恒成立”a[f(x)]min. 若f(x)无最小值，但f(x)m，则am； 11. (可转化为)“af(x)恒成立”a[f(x)]min. 若f(x)无最小值，但f(x)m，则am； 12. (可转化为)“af(x)有解”a[f(x)]min. 若f(x)无最小值，但f(x)m，则am； 13. (可转化为)“af(x)有解”a[f(x)]max.若f(x)无最大值，但f(x)M，则aM； 14. 注意区别“恒成立”和“有解”：“恒成立”中的x具有任意性，“有解”中的x只要存在性；

15. 认清变量和参数，恰当分离参数，灵活转化问题是解决好不等式问题的重要保证.

三、函数及其性质 1.函数的三要素：定义域，值域，对应法则；注意定义域优先的原则；

2.函数定义域的求法：①分式分母不为零；②偶次方根被开方数非负；③零次方底数非零；④对数的底数为正且不等于1，真数大于零；⑤正切和正割函数的角的终边不能落在y轴上；⑤余切和余割函数的角的终边不能落在x轴上；⑥反正(余)弦函数的自变量的范围是[1， 1]；⑦实际问题的定义域要根据实际意义来确定；⑧复合函数定义域，若已知f(x)的定义域是[a，则fg b]，[x(])的定义域由a剟g(x)b的解集确定，若已知f[g(x)]的定义域是[a， b]，则f(x)的定义域由

ug(x)(a剎x b)的值域确定。

3.函数的单调性(函数定义域内的局部性质，单调性相同但间断的区间一般不能并在一起书写)： ①证明步骤：设x1,x2AD且x1x2，则f(x1)f(x2)；∵x1,x2AD且x1x2，∴„„，∴f(x1)f(x2)(或f(x1)f(x2))，∴f(x)在A上是减(增函数)。(证明过程中斜体

字必需有，“„„”则要根据具体题目具体添加)；

②求单调区间的方法：定义法、图像法(注意：极限思想的应用、单调区间一定是定义域的子集) ③复合函数yf[g(x)]的单调性：yf[g(x)]由yf(u)和ug(x)复合而成，若

xa， b时，uc， d， b上的单调性与yf(u)在uc， d当ug(x)在xa， b上单调递增(减)； 上的单调性相同(反)时yf[g(x)]在xa，

2

④函数单调性的简要运算性质：在公共定义域内，增＋增是增函数；减＋减是减函数；增－减是增函数；减－增是减函数。

（x1x2）(x1x2)2222⑤作差后的运算技巧：f(x1)f(x2)x1bx2b；

2222x1bx1bf(x1)f(x2)ax13(ax1x2b)bb11（x1x2）ax2a(x1x2)b() x1x2x1x2x1x2322f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(x1x1x2x2)(x1x2)[(x1x2232)x2]等等. 244.常见函数的单调区间： 参数范围 a1 xya 0a1 ylogax a1 0a1 a0， b0 单调递增区间 R 无 (0， ) 无 (， bb， ) ]和[aa(， 0)和(0， ) b， 0)和(0， ab] a[单调递减区间 无 R 无 (0， ) yax b0 ba0， xa0， b0 a0， b0 bb， 0)和(0， ] aa无 [(， 无 5.函数的奇偶性(函数定义域内的整体性质、定义域关于原点对称是必要条件)： ①若f(x)是偶函数，那么f(x)f(x)f(|x|)(图像关于y轴对称)； ②若f(x)是奇函数，那么f(x)f(x)(图像关于原点中心对称)； ③判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)f(x)0或

bb]和[， ) aa(， 0)和(0， ) f(x)1 (f(x)0)； f(x)④判断函数奇偶性的实质是判断两个互为相反数的自变量的函数值相等或互为相反数； ⑤确定一个函数既不是奇函数也不是偶函数，通过举反例：如f(1)f(1)且f(1)f(1)等； ⑥分段函数的奇偶性分段求值和判断；复杂形式先化简后判断；

⑦原点处有意义的奇函数必过原点(可用于求参数，但要给予一般性证明)；注意f(0)0是一个函数为奇函数的既不充分也不必要条件，因为有定义域的限制；

⑧奇(偶)函数在关于原点对称的区间内单调性相同(反)；符号相反(同).

6.函数图像(或方程曲线)的对称性(中心对称关键：中点坐标公式；轴对称关键：垂直、平分)： ①f(x)满足f(ax)f(ax)(或f(x)f(2ax))，则f(x)图像关于xa对称； ②f(x)满足f(ax)f(ax)(或f(x)f(2ax))，则f(x)图像关于(a， 0)对称； ③f(x)满足f(ax)2bf(ax)(或f(x)2bf(2ax))，则f(x)图像关于(a， b)对称；④f(x， y)0关于yxa(yxa)对称的曲线方程

f(ya， xa)0(f(ay， ax)0)；

⑤曲线f(x， y)0关于点(a、 b)对称的曲线方程为：f(2ax， 2by)0； ⑥函数yf(xa)与yf(bx)的图像关于直线xab对称；

2(1)证明函数图像的对称性，即证图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上；

C2的对称性，即证C1上任意点关于中心(轴)的对称点仍在C2上，反之亦然； (2)证明图像C1、7.函数的周期性(函数定义域内的整体性质)：

①yf(x)(xD)对任意xD存在T0，使f(xT)f(x)恒成立，则T为f(x)的一个周期；

②若偶函数f(x)的图像还关于直线xa(a0)对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数；

3

若函数f(x)的图像关于直线xa和xb(ab)对称，则f(x)是周期为2|ab|的周期函数；

③若奇函数f(x)的图像还关于直线xa(a0)对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数； **若函数f(x)的图像关于(a， 0)和xb(ab)对称，则f(x)是周期为4|ab|的周期函数； ④若奇函数f(x)的图像还关于点(b， 0)(b0)对称，则f(x)是周期为2|b|的周期函数； **若函数f(x)的图像关于(a， 0)和(b， 0)(ab)对称，则f(x)是周期为2|ab|的周期函数； ⑤f(xa)f(x)f(xa)f(xa)f(xa)8.yf(x)和yff[f11**

1，则2|a|是f(x)的一个周期； f(x)(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为C，则

1(x)]x(xC)，f[f(x)]x(xA)；f1(a)bf(b)a.

19.求反函数：①将yf(x)看成关于x的方程，解出xf1(y)；②互换x， y，得yf(x)；③求原函数yf(x)(xA)的值域并据此写出反函数的定义域； 10. 遇到复杂的函数如分段函数求反函数时，注意将函数图像分段关于yx对称，分段求解；

11. 求解x的过程中若出现两个根以上的取舍问题，要注意审清题意，根据定义域，找到正确的根； 12. 解反函数方程即已知原函数的自变量求原函数值； 13. 求反函数值即已知原函数值求原函数的自变量； 14. 解反函数不等式即已知原函数的定义域求原函数的值域； 15. 定义域上的单调函数必有反函数；有反函数的函数未必是单调函数； 16. 奇函数的反函数也是奇函数； 17. 定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；周期函数不存在反函数； 18. 互为反函数的两个函数具有相同的单调性； 19. 关于x的方程f(x，则可转化为函数g(x)的值域问题； k)0有解若能分离参数变为kg(x)，

n b0， a1， b1时，logb20. 当a、amlogbNnlogNNlogab、logaN、Naalogaa； mlogba21. 处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值；求解最值问题用“两看”：

一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系； 22. 二次方程根的分布问题看：开口、对称轴、端点的函数值与零的关系，特别提醒：端点特别考虑. 23. 函数图像平移变换(不改变形状、只改变位置)：

①将yf(x)图像沿x轴向左(a0)(或右(a0))平移|a|个单位得到函数yf(xa)的图像； ②将yf(x)图像沿y轴向上(b0)(或下(b0))平移|b|个单位得到函数yf(x)b的图像； 24. 几种特殊的对称变换： y f(-x) ①函数yf(x)与函数yf(x)的图像关于y轴(x0)对称； f(x) ②函数yf(x)与函数yf(x)的图像关于x轴(y0)对称；

-1f -1(x) ③函数yf(x)与函数yf(x)的图像关于坐标原点对称； f (-x) 25. 伸缩变换：①将yf(x)图像上各点的纵标伸长(a1)或缩

短(0a1)到原来的a倍(横坐标不变)，可得yaf(x)(a0) -f -1(-x) 图像；②将yf(x)的图像上各点的横坐标伸长(0a1)或 缩短(a1)到原来的

1a0 x -f -1(x) -f(x) -f(-x) 倍（纵坐标不变），可得yf(ax)(a0)的图像。

持x轴上方的图像不变， 并将下方的图像翻折到x轴上方26. 翻折变换：①yf(x)保y|f(x)| 持y轴右侧的图像不变， 并将右侧的图像翻折到y轴左侧(偶函数)yf(|x|) ②yf(x)保

27. 对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是x

ab；24

两个函数yf(xa)与yf(bx)的图像关于直线xba对称.

228. 函数值域(和最值)的求法：

①配方法：适用于二次函数(或可转化为二次函数)及区间上的二次函数问题； ②不等式法：适用于“耐克函数”；注意“一正二定三取等”； ③换元法：通常用于对函数式进行变形以获得更为熟悉的函数；

④反函数法：适用于形如yaxb的函数(或可转化这种形式的函数)；

cxd2y2x2⑤有界性法：利用已知函数的有界性，借助解不等式求解；如yx2x0；

y121⑥单调性法：当所产生的函数单调性较明显或其它方法不太凑效时考察函数的单调性有时很有效；

⑦三角函数的特殊方法：辅助角公式；

⑧数列的特殊性和特殊方法：最常用的是单调性；

特别提醒：数形结合是解决区间上的函数的最值和值域问题的重要手段，是你求解这类问题时避免发生错误的根本保证、切记切记！ 29. 幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的定义、图像分布和性质必须了如指掌！！

5

幂函数：yx,a为常数,a为有理数令amn,m,n为整数,|m|,|n|互质.am奇n偶 0a1 m偶n奇 幂函数的图像性质：m奇n奇 1看符号定曲线类型a0,抛物线型,曲线恒过点1,10,0当x0,时单调递增;0a1时图像弯向x轴,a1时图像弯向y轴;a0,双曲线型,曲线恒过点1,1当x0,时单调递减,以坐标轴为渐近线;m奇n偶 a0 2由m,n奇偶性看函数奇偶性m奇n偶为非奇非偶函数,图像在第一象限；m偶n奇为偶函数,图像在一,二m,n都为奇数则为奇函数,图像一,三象限原点另算.恒不过第四象限.a1 m偶n奇 3在第一象限内,当a从-到逐渐变大时,函数的图像绕1，1点作逆时针“旋转” m奇n奇 m奇n偶 a0 m偶n奇 m奇n奇 6

ya0a1 x a1 反函数 ylogax0a1 a1 函数 图像 定义域 值域 图像特点 单调性 随a变 化情况 具体函 数值 1.函数存在反函数的条件:x与y一一对应 2.原函数与反函数定义域与值域的关系3.二者图像的关系4.求反函数的步骤5.反函数与函数单 R 0, R 恒过(1,0)点 单调递减 单调递增 当a从0往逐渐变大时,函数图像绕1，0点作 顺时针旋转x1,y00x1,y0,0, 恒过(0,1)点 调性的关系单调递减 单调递增 6.反函数与函数奇当a从0往逐渐变大时,函数图像绕0，1点作逆时针旋转偶性的关系7.原函数与反函数的交点是否一定在 x0,y1x0,0y1直线yx上？x0,0y1x0,y1 0x1,y0x1,y0 函数的图形变换

一、初等函数的图形

①正比例函数：ykx,k0。图形特点：随着实数k由负变正逐渐增大，图形绕原点逆时针旋转(如图1)

②反比例函数：ykx,k0。图形特点：随着正实数k由小变大，图形在一、三象限向外拉伸；随着负实数k由大变小，图形在二、四象限向外拉伸(如图2)

③二次函数：yax2bxc,a0。图形特点：随着|a|的逐渐增大，张口的幅度逐渐减小(如图3)

④幂函数：yxa,a为有理数，a为常数。图形特点：当a0,且a1时，在x0,的前提下，图形绕(1，1)点作逆时针“转动”(如图4)

7

⑤指数函数：yax,a0且a1。图形特点：当a从小变大时，函数图形绕(0,1)点作逆时针旋转(如图5)

⑥对数函数：ylogax,a0且a1。图形特点：当a从小变大时，函数图形绕(1,0)点作顺时针旋转(如图6)

二、函数的图形变换 (一)平移变换

①yfxC型(左右型平移)C0时图形向左平移；C0时向右平移。(如图7) ②yfxC型(上下型平移)C0时图形向上平移；C0时向下平移。(如图8) (二)对称变换

①yfx型：相对于yfx来说，值域不变，定义域改为关于原点对称的区间，将yfx的图形沿y轴翻折过去。(如图9)

②yfx型：相对于yfx来说，定义域不变，值域改为关于原点对称的区间，将yfx的图形沿x轴翻折过去。(如图10)

③yfx型：相对于yfx来说，值域和定义域都改为关于原点对称的区间，将yfx的图形绕原点旋转180度。(如图11)

④xfy型：相对于yfx来说，值域和定义域相互交换，将yfx的图形沿

yx翻折过去，即为yfx的反函数。(如图12)

⑤xfy型：相对于yfx来说，值域和定义域都改为关于原点对称的区间，然后再相互交换，将yfx的图形沿yx翻折过去。(如图13)

8

⑥yf|x|型▲：相对于yfx的定义域a,b,a0b来说，定义域改为b,b，将yfx在y轴右边的图形沿y轴翻折过去，并保留原来y轴右边的部分，yfx在y轴左侧部分的图形舍去。(必为偶函数) (如图14)

⑦y|fx|型：相对于yfx来说，定义域不变，值域舍去小于0的部分，将yfx的图形在x轴下方的部分沿x轴翻折上去。(如图15)

(三)伸缩变换

①yfx,0型：yfx图像上各点的纵坐标不变，横坐标改变为原来的(如图16)

②yfx,0型：yfx图像上各点的横坐标不变，纵坐标改变为原来的倍。(如图17)

(四)倒数变换

根据yfx与x轴的交点有无情况分为三类。(如图18,19,20)

9

1倍。

不等式

一、知识要点：

1.不等式的概念和依据：实数的有序性

2.不等式性质：传递性；加法性质；乘法性质；乘方性质；开方性质； 3.基本不等式：①a2b22ab(当且仅当ab时，等号成立)；

b0，则ab2ab(当且仅当ab时，等号成立)； ②若a0， b同号，则③（推）a，baab2(当且仅当ab时，等号成立)；

④

ab222(ab22)ab(当且仅当ab时，等号成立)

4.重要结论： 设x， y为正数，

①如果积xy为定值P，那么当xy时，和xy有最小值2P； ②如果和xy为定值S，那么当xy时，积xy有最大值S2.

415.不等式的解法：

一次不等式的解法：变一次项系数为1； 高次不等式的解法：序轴标根法或列表讨论法；

分式不等式的解法：不等式的一边变为0，根据实数的性质转化为整式不等式； 绝对值不等式的解法：想办法去掉绝对值符号（讨论或平方）； 其它不等式解法：数形结合用图像法、换元法、根据函数的单调性等。 一元二次不等式的解法a0 0 二次函数 2yaxbxc 的图像 一元二次不等式 2axbxc0 的解集 一元二次不等式 axbxc0 20 0 的解集 一元二次不等式 2axbxc0 的解集 一元二次不等式 2axbxc0 的解集

10

注：1.某些题目中未注明a是否为0；

2.考查一元二次不等式的解时，往往含有上述表格中的多种情形。 其它不等式的解法：

1分式不等式①xgxf0　fx.gx0　　　②xgxf0　fx.gx0　　

③fxgx0　f(x).g(x)0且g(x)0　　④fxgx0　f(x).g(x)0且g(x)0　　2绝对值不等式①|fx|aa0　f(x)a或f(x)a　　②|fx|aa0　af(x)a　　③|fx|gx　f(x)g(x)或f(x)g(x)　　④|fx|gx　g(x)f(x)g(x)　　

11