科技经济前沿科技经济导刊期数据包络分析盛晨铜陵职业技术学院方法综述庞娟安徽铜陵要数据包络分析是研究经济效率非常重要的方法之一由于不需要预先设定函数形式和估计参数不仅能够避免主观因素的影响而且还能最大程度减少误差丰富了微观经济学中的生产函:数理论本文从DEA模型的发展历史开始介绍了DEA模型的相关概念和两个主要模型CR模型和CGS模型最后介绍了DEA模型的基本思路和一般步骤关键词:数据包络分析(DEA);决策单元;有效性;投影中图分类号:C37文献标识码:C文章编号:2096一2995(2026)20一0008一04摘。ZZZ。引言数据包络分析(DataEnvelopm即tAnal邪15)1978年由AChas和WWCoper等简称DEArne人l[]在相对效率的基础上提出的一种系统分析方法涉及到运筹学管理学和数理经济学DEA模型的前身][是Farrel在研究英国农业生产力时提出的包络思想2通过在运用和发展运筹学的基础上逐渐形成了以线性规划为基础对经济定量分析的非参数分析法所以DEA又被称作Farrel型有效性分析法或者非参数方法;DEA中国学者研究模型始于1986年1988年魏权龄][公开出版了关于DEA模型的第一本专著3DEA模型以相对效率为基础利用数学规划模型(包括线性规划及其对偶和锥对偶理论半无限规划及其对偶和锥对偶理论a通过评价的方法判断同)[]n类型的多输人多输出的决策单元(dceisonmakigunit简称DMU)的相对有效性(称为DEA有效)具体说来由于每个DMU都有生产要素的投人和产品的产出也就是说这些DMU都有相同的输人和输出所以可以将这些DMU都看做是相同的实体根据对每个DMU的输人和输出数据的综合评价与分析DEA模型可根据DMU综合效率的数量指标进行优劣排序以便得出效率最高的DMU并且可以看出其他DUM非有效的原因和程度此外DEA模型可以给DMU的投人规模给予建议是扩大还是缩小程度是多少DEA模型的提出很大程度上丰富和拓展了微观经济学中的生产函数理论和应用技术并且由于DEA方法不需要预先估计参数在避免主观因素和简化运算][减少误差等方面有着不可低估的优越性s近年来DEA模型被广泛运用于成本收益城市经济状况资源的有效配置等问题上,,1,、。。益递减的若p一1则(xy)所对应的决策单元是规模收益不变的213最大生产规模点j)其中j一12…n对任意一生产活动(如果jyx二::、ljyj)为最大生产规模点有f加)时有共则(x。;,,,,,,,。。,,,。刀,,。,。。引理若(j动为最大生产规模点则(xj对是规x,,模收益不变的具体来说如果任意一生产活动(xy)为规模收益递增的那么在原投人x1的基础上继续加大生产要素的投人量可以获得更高比例的产出所以DMU会积极增加投人说明并未达到最大生产规模点。:,,,,,,,,。。,22凸锥,,“”,、模型允许在原有生产过程的基础上进行线性组合以产生新的生产过程这样就产生了凸锥概念设参jyj)j一12…n考集少一(x则由少生成的凸锥是指集,。DEA,,,,,,,。,合c(今1兄艺凡(戈劝},全o,=l2”,,。3OEADEA。模型的发展ZZZ,,,,。,,,。,,,、。,、、。22基本概念和理论的解释1生产函数和规模收益211生产函数生产函数是在一定技术水平的条件下任意一组投人量与最大产出的函数关系由于无效性是生产可能集的一个特点所以产出量y是投人量x的增函数设T为生产可能集则一切有效生产活动点(xy)构成的Rm空间中的超曲面y一f(x)为生产函数,。模型中最重要的就是CR模型和CGS模sA等人在单输人单输出的工程型1978年Charne效率的基础上提出来评价具有多输人特别是多输出DMU的CZR模型CZR模型可以同时评价规模的有效性和技术的有效性所谓规模的有效性是指生产经营活动处于规模收益不变的状态及投人扩大k倍产出;也可以扩大k倍所谓技术的有效性是指生产经营活动能够以最小的投人获得最大的产出即生产处于理想状态简而言之能使DEA有效的DMU既是规模适当的又是管理水平高的当生产可能集的凸性假设不s和WWCoper等人提成立时1985年ACharneZZZ出了评价相对有效性的CGS模型下面分别介绍CRZZ模型和CGs模型,、。。,,,,,。,,。,。。4eZRn模型,,,,。,。设有个决策单元DMjU其中j一12…n任意一个DMU都有m个输人向量(投人的生产要素)和s个输出向量(获得的产出)则,,,+S。戈一(:、气),>。了一l2。耳一(:儿动了>o,一l2、规模效益设生产可能集T“212,x(,y)〔`,T。令:=)f(i=Ina1、(l{a,脚“水介},了黔以川刀一一ll若若p>;增的,p<则(xy)所对应的决策单元是规模收益递1则(xy)所对应的决策单元是规模收,其中x:表示第j个决策单元对第i种类型输人量的投人总量ij>叭xy、表示第j个决策单元对第k种类型输出量的投人总量甄>O由于DEA模型是要综合评价和分析输人向量和输出向量的数量指标所以必须分别赋予输人向量和输出,,。,,8一科技经济导刊期向量适当的权重。这里我们假设赋予输人向量的权重为。,赋予输出向量Y的权重为况。则输人和输出的权向量分别为、一vl(vZ…叼了和。一u(,uZ…u、)了其中,。,表示对第i种类型输出的一种度量;恢表示对第k种类型输人的一种度量。现在我们为了找到最优的决策单元,需要对任意一个决策单元DMU:进行效率评价。第j个决策单元的效u凡率评价指数为:气丫=竿。。一般来说,F无篡花二,l2、,乙K气气镇1;当h、越大,表明DMU」可以投人较少的生产要素从而获得较多的产出;如果能够尽可能的改变权重和的大小从而计算h、的最大值,便能找到相对最优的DMU。综上所述1978年,AChamse、WCoper和E·Rhodse构造出CZR模型(习:一UT一Vl不工maX一咋一T(万){:,V一U一Xy三lj=l2…nu、全0k=l2二s愁全0,i=l2…m可以看出,第j。个决策单元是否有效是相对于其它决策单元而言的,即z又牡配。的相对有效性。上述(习模型为分式规划模型,要把分式规划模型转化为线性规划模型,需要借助Charnse一Copre转换。作charnse一c。。per转换,同时为方便起见,j。记为O:t=l—记x0田=tV刀=tu得到线性规划的(P)模型:{mxa厂y。=瓦&“全PO12…n()扩毛一厂jyj=田Tx。=1田全0刀全O(1)若·`,·`为(:)的解,则翻一`v“`u为(p)的解,*t一六;并且z)(与倒的最优值相等。2()若。`一,丫厂,丫是(P)的解,则翻`一介`刀也是(刁的解,并且(刁与(P)的最优值相等。由线性规划的对偶理论,可得(P)的对偶线性规划模型()D:科技经济前沿`mino=DV:t.工凡x,+:一六。少=l`、…艺兄,:,一s`一,。竺J1凡之oj=12。s+全0s一全0其中、一(``…、;T)、一:s(`…、:了是松弛变巨。由线性规划的对偶理论可知,线性规划(P)和()D存在最优解,最优解为v:一v。镇1(3)弱DEA有效(CZR):如果线性规划问题(P)解。`=八`厂八`满足咋一厂场。1,或者对偶线性题()D的解满足凡=1,则(C`R)。娜u为弱DEA有效(4)DEA有效(CZR):若线性规划问题(P)的解口`>0,厂>,0并且蛛一厂场。1,或者对偶线性规题()D的最优解为屹=l,并且它的每个最优解兄`、`一s`+o`都有s`-一、`十一O综上所述,如果要判断任意一个决策单元,比如田叹、的有效性时,如果要采用线性规划问题(P),则解·了和厂必须满足。>O,厂>O,并且称一厂沙。l;采用对偶线性规划问题()D,则所有解厂s*一+*s犷都须满足犷一O和犷+一O,并且叽一1。由于上述两种求解方式都不简单,所以ACharnseWWC。。pre引人非阿基米德无穷小量:,其中,6>O,且小于任何正数。于是可以得到带有非阿基米德的CZR模型(P。):~声Ty。=称s..t勿丁x,一矿凡七o,j=1,2,一,n毋Txo=ll。厂:二。,产r全二扩(P。)的对偶规划问题为(D。):mi·[“一八Tes一+eTs+){一、二.t艺凡x,+、一撇。J=l艺凡沁一、一:。j=l凡之O,j=12,…ns+全0,s一20一9坚都的规划问划问若有必和无穷小量科技经济前沿设。的最优解为不,s一`,s+`,口`,可得:)(i若犷一1,则娜u、为弱DEA有效(czR);(11)若0`一1,且s一`=s十`o,则DMU、为DEA有效(CZR)。定义:设不,、一`,、*十,“`为带有非阿基米德无穷小量的对偶线胜规戈”问题(D6,的”,令!凡一召凡y。=yos+贝”称:式式)为删U·对应的(、、,“DEA才目对“效面上的投影。所以,如果原来的0y,,减少(x0)是非DEA有效的可以通过投影使在不输出的前提下降低输人;或者在不增加输人的前提下提高输出。所以投影的概念为解决非DEA有效提供了一个很好的方法,并且也指出了非DEA有效的原因。5eZGsZ模型设有n个决策单元DMU」,其中j一1,2,…,n,且:工、一(、、..动了>。,一l2”,耳一,一2(二,2动>o、、。,则eZGsZ模型(D)为翩川|…min夕=吃;.t艺凡毛+:一撇。J=l艺凡凡一、一乃艺月n凡一凡七0j=l2,一ns+全Os一全O由线性规划对偶理论知,(D)的对偶线性规划问题为(P)max(、了y。+、。)一称s·t·毋T毛一声`T夕,一声,。全0j=l2…n切Tox=l山全0产全0综上所述:(1)弱DEA有效(CZGSZ):若对偶线性规划问题(P)的最优解犷厂斌满足称一厂了0y沂1;或者线性规划问题(D)的任意一个最优解不s一`广犷都满足叮一。`l,那么2功八诀为弱DEA有效(CZGSZ);(2)DEA有效(CZGSZ):若对偶线性规划问题(P)有叮一1且。>0厂>0;或者线性规划问题(D)满足叮=犷1和丁`=、十`O,那么删U、为DEA有效(CZGSZ)。由线性规划的对偶理论可知,线性规划(D)和(P科技经济导刊期都存在最优解,最优解为珠一凡1同cZR模型一样,我们也可以引用非阿基米德无穷小量6,得到模型(冥):ùm(xa、犷y。+、。)=叹s..t田气,一户场,一户。全Oj=12…n魂lse翻Txo=1切T全`e,刀TZ`eT则它的对偶线性规划问题为:、夕一占誓+eTs+工可ìJ得几:疚艺凡毛+`一撇。(引{艺一“`艺lj=月\"机凡一凡全0j=l2一”s+全0s一全0设(砚)的最优解为可、s*十_0*,)i若犷一1,则~、为弱DEA有效(CZGSZ))i若犷一l,且s一`一+s`,0则删呱为DEA有效(CZGSZ)6OEA模型的评价思路和一般步骤61评价思路DEA模型通过将同类型的n个决策单元DMU视为一个被评价群体,综合分析与评价各个决策单元的输人数据、输出数据和输人与输出的比率,确定有效生产前沿面,并且计算各DMU与有效生产前沿面的距离,判断是否DEA有效,从而在同类型、环境设置相同的决策单元中找到相对效率最高的决策单元。62一般步骤步骤一:确定评价目的评价是DEA模型最基本的功能,是我们正确应用DEA模型的基础,只有确定评价目的,我们才能找到正确的方向,选择合适的模型,收集恰当的数据,才能将生产、生活中的问题具体化。这就要求我们能够把经济活动中的信息准确地翻译成DEA模型所需要的信息,或者能够与DEA的有关概念一一对应。步骤二:选择决策单元DMU由于DEA评价同类型DMU的相对有效性,所以在DMU的选择上,需要遵循下面两点:1DMU必须是同类型的,可以是相同性质的DMU,也可以是具有相同时间间隔的DMU;2DMU数量上的选择应为输人输出数据总和的2倍为宜。步骤三:建立输人输出指标体系建立输人输出指标体系需要注意一下几点:首先,要能真实、全面地反映评价目的;其次,要注意输人指标和输出指标之间的联系,同时应尽量避免(下转P习科技经济导刊【」PProeeSSeoalsone12,期2Yu0un,60,科技经济前沿2001,,nYluanooJishWuexHtioon3gdfroanaEnggineering12【]1(2),:189evationpfvanadiummtronaeonmstg刘小波傅勇坚刘宇元,肖秋国,,等石l,J」Ex【2007,,ress:InforatifMinin煤渣保温材料的配方研究[]J:环境工程19954(13)Indtry4(4),1147一50][4贺慧琴朱燕邓方,等,钒渣中有害元素的浸,13【]谢贵文:,陈匡周刘敏1994:一种从石煤中氧化转化浸出出特性[]J武汉工程大学学报,200729(l):45一47钒的方法中国,200710035255,1[P]2007,一11一28【习陈文祥含钒炭质页岩提钒废渣资源化利用研究0211,,【4]张智敏1煤歼石的综合利用[M]北京38一85:进展[月湿法冶金[」郭振刚60(4)3赵壁,,:268一271,中国商业出版社1习郑开军【,,吴颖捷Kos等B轻质隔热材料的现,石煤渣在水泥生产中的应用团水泥状与应用[月消防科学与技术7」Malah【inpsuro200726(4):43Aan,技术hea,1995(5):43一45,A,Jdayil:Clay一basedtn【6]戴文灿1等,石煤废渣资源化利用的研究团63,latorreompitesThermal,dwaterretentio再生资源研究鼎生,,2003(3):一73,peties【J」Appl,Clay,sei200737:90,7]张小乐1【周剑良魏涛,杨忠,马光【]张杰8马子月l刘凤云,,等屋面轻质保温材料,喻立新2010,,田祝娟等贵州省某露天开采钒矿的防水性能[]J建筑材料学报,20092(l1),:09放射性职业病危害因素调查及评价团中国辐射卫,[]宋杰光95(24刘勇华陈林燕等国内外绝热,19(4):456一457保温材料的研究现状及发展趋势团材料导报):2010,1[8]叶际达,,孔玲莉,李莹,等五省放射性378一381伴生石煤矿开发和利用对环境影响研究团辐射防ko10」Ly【asenV,Roussa1onP,RemakithrBer,et护200419【],24(l):1一24lStudyofnano一poorousas,siliesuwithlowmamalGB656一2100,建筑材料放射性核素限量【5],eonduetivityth,ermalinlatingteial【J」J北京:中国标准出版社2010,PorousMa,ter2000o7:177on2[0]PRen朱燕,贺慧琴,邓方2006,,等钒渣中钒的浸出特:11」Z【ouXiaReayg,gQingjinghonorurna,Ouyang性[月环境科学与技术【1」邹晓勇29(12)27416一17YpuzhuTianenguoeseareounthseroastinge含钒石煤烧渣的稳定化试验研究【月,roeesswithoreleiumeompdsJoilieaobasPd能源环境保护,20060(2)42:一vanadiumJ」Th【eChineselfroees(上接1P0)输人或者输出指标内部的多重线性关系最后要保证输人指标和输出指标的多样性和可得性步骤四选择DEA模型DEA模型的选择要遵循以下两点要求一是注重实际的生产生活背景二是要很据评价目的选择DEA模型除此之外也可以应用不同的模型进行多角度分析以便得出更为综合的评价步骤五评价和分析DEA结果这是运用DEA模型最为关键的一步通过对数据的收集和模型的计算得出DEA模型的结果在此结果的基础上分析实际经济问题为决策者制定有效的政策和解决实际问题提供了准确的方向步骤六调整输人输出指标体系当评价和分析的DEA结果不令人满意是我们应该在不违背评价目的的前提下适当调整输人输出指标体系并重新求解通过运用多种DEA模型进行不同角度的分析将不同结果进行比较观察影响决策单元的重要因素在哪里这点非常重要步骤七给出综合分析并评价结论通过对DEA模型的计算我们可以得到以下信息各DMU的DEA有效性各DMU的相对有效性与输人输出指标间的关系相对有效生产前沿面及各DMU在有效生产前沿面上的投影等对这些结果进行综合分析与评价就可以制定出科学合理的政策,。;参考文献1」Ch【EMaesurein:arnesAl,CoooperWnWRo,Rhunodes:ge廿iei即yCofdeeisioeramakinglits【J」,:European:JournafOptionaesereh1978,(2)EffiSoee429一444rr。,,2」Fa【iiety,lley。eneeMJTI刁eMaoJ」Journal【surem即tofPStaroduetivsefRyaltitieal:,,,,。:,,。,,,。:,:,,。,。(12OA)125【3]魏权龄评价相对有效行的DEA方法运筹19学的新领域[M]北京中国人民出版社8【]魏权龄DEA概论和CZR模型4数据包络分J19891析(一)[]系统工程理论与实践()58曰朱乔数据包络分析(DEA)方法的综述与展望【月系统工程方法与应用19943(4)1【]李美娟陈国宏6数据包络分析法(DEA)的研究与应用[]J中国工程科学20035(6)DEA方法在可持续发展评价中的应用【7]曾珍香【月系统工程理论与实践2000(8)【]金秀云DEA方法在模型评价中的应用研究【8]D2009上海华东师范大学运筹学与控制论【9]马立杰DEA理论及应用研究[D]济南山东2007大学运筹学与控制论10【]马占新数据包络分析方法的研究进展【月系203统工程与电子技术2204()1957,::,—,—:,,:,,,,:,:,,,一5