扭摆法测量刚体转动惯量的误差定量分析

第３９卷第３期　２０１３年９月　延边大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｙａｎｂｉａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａ１　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｖｏ１．３９　Ｎｏ．３　Ｓｅｐ．２０１３　文章编号：１００４—４３５３（２０１３）０３—０１９９—０３　扭摆法测量刚体转动惯量的误差定量分析　申惠娟　，　陈锺贤　（１．闽南理工学院基础部，福建石狮３６２７００；２．哈尔滨工业大学物理系，黑龙江哈尔滨１５００００）　摘要：以圆柱形刚体为研究对象，推导了刚体轴线与仪器转轴不重合情况下的转动惯量误差表达式，进一步　给出了均匀细棒和均匀薄圆盘的误差表达式，且定量地给出了误差，并对其结果进行了分析，为改进测量方法　及实际应用提供了理论依据．　关键词：转动惯量；扭摆法；误差定量分析　中图分类号：Ｏ３１３．３　文献标识码：Ａ　Ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ　ｅｒｒｏｒ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｆｏｒ　ｍｏｍｅｎｔ　ｏｆ　ｉｎｅｒｔｉａ　ｕｓｉｎｇ　ｔｏｒｓｉｏｎ　ｐｅｎｄｕｌｕｍ　ｍｅｔｈｏｄ　ＳＨＥＮ　Ｈｕｉｊｕａｎ　，　ＣＨＥＮ　Ｚｈｏｎｇｘｉａｎ　（１．Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｍｉｎｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｓｈｉｓｈｉ　３６２７００，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｈａｒｂｉｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｉｎ　１５００００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｔｈｅ　ｍｏｍｅｎｔ　ｏｆ　ｉｎｅｒｔｉａ　ｗｈｉｌｅ　ａｘｅｓ　ｏｆ　ｒｉｇｉｄ—ｂｏｄｙ　ｗａｓｎ’ｔ　ｃｏｉｎｃｉｄｅ　ｗｉｔｈ　ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｃｏｌｕｍｎｉｆｏｒｍ　ｒｉｇｉｄ—ｂｏｄｙ．Ｔｈｅ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ　ｃａｎ　ｂｅ　ｕｓｅｄ　ｔＯ　ｕｎｉｆｏｒｍ　ｔｈｉｎ　ｓｔｉｃｋ　ａｎｄ　ｄｉｓｃ　ｂｙ　ｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｗａｙ．　Ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｏｎｃｌｕｄｅｓ　ｗａｓ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ｗｈｉｃｈ　ｃａｎ　ｂｅ　ｕｓｅｄ　ｔＯ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ｍｅａｓｕｒｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｐｒｏｍｏｔｅ　ｔｈｅ　ｐｒａｃｔｉｃｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．　一Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｍｏｍｅｎｔ　ｏｆ　ｉｎｅｒｔｉａ；ｔｏｒｓｉｏｎ　ｐｅｎｄｕｌｕｍ　ｍｅｔｈｏｄ；ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　转动惯量是描述刚体转动惯性大小的量度，　（如图１（ａ）所示）所产生的转动惯量误差表达式，　并进一步推导出细棒和圆盘的误差表达式．实验　示意图如图１（ｂ）所示．　其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位　置　］．刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在航　天、电力、机械、仪表等领域也是一个重要的参量．　扭摆法是测量刚体转动惯量的常用方法，但在实　验中由于摆角太大、弹簧回复力减弱［２。］、计时误　差　］、转盘放置不平衡或者待测刚体放置不当　］　等因素往往会产生很大误差，其中因待测刚体放　置不当而产生的误差是实验中较为容易出现的，　喜且很多误差由于设备制作工艺问题而无法修正和　避免，因此有必要通过精确的理论推导给出具体　的误差表达式．本文以圆柱体为例，推导出由于圆　图１　（ａ）为圆柱体放置倾斜（图中虚线部分）导致刚　体轴线与仪器转轴不重合的示意图；（ｂ）为图　（ａ）所对应的实验示意图　柱体放置倾斜导致的刚体轴线与仪器转轴不重合　收稿日期：２０１３—０５—２７　作者简介：申惠娟（１９７９一），女，讲师，研究方向为物理实验教学　２００　延边大学学报（自然科学版）　第３９卷　１　推导过程　１）细圆环对过环心且垂直于环面转轴的转　动惯量．设圆环的半径为ｒ，宽度为ｄｒ，厚度为　，则圆环的质量ｄｍ一２￣ｒｐｄｈｄｒ，且对中心轴线　的转动惯量ｄＪ　一２丌ｒ３ｐｄｈｄｒ，对３２轴和　轴的转　动惯量ｄＪ　一ｄＪ　一７ｃ　ｐｄｈｄｒ．　２）令圆环绕ｚ轴转过一小角度０（如图２所　示），求此时该圆环对ｚ轴的转动惯量．将其投影　到ＯＸＹ平面，其投影曲线为椭圆（图３），其对ｚ轴　的转动惯量为ｄ　—ｄＪ　一丌ｒ３ｐｄｈｄｒ，其对　轴的　转动惯量为ｄＪ：一７【　ｐｄｈｃｏｓ　Ｏｄｒ，由垂直轴定理　可得其对ｚ轴的转动惯量为ｄＪ　一７ｃｒ。ｐｄｈ（１＋　ｃ０ｓ０　）ｄｒ．　‘Ｊ　二＝＝　ｘ／｜　图２　令圆环绕　轴转过一小角度０的示意图　．ｒ’　、，。　　，　．．　图３　绕　轴旋转后的圆环投影到。ｘｙ平面后的椭圆图　３）计算倾斜　角度后圆盘对　轴的转动惯量．　设圆盘的半径为Ｒ，厚度为　，则倾斜　角度后对　Ｒｒ　ｚ轴的转动惯量为　一Ｉ　ａｒａｐｄｈ（１＋ＣＯＳ　Ｏ）ｄｒ．即　１　Ｊ　一÷７【Ｒ　ｐｄｈ（１＋ＣＯＳ　）．　（１）　１　设圆盘的质量为ｍ，则　一÷ｍ（１＋ＣＯＳ　Ｏ）Ｒ　，此　为倾斜后的圆盘对转轴的转动惯量．　４）计算倾斜　角度后圆柱体对　轴的转动惯　量．（１）式即为图１中质量为ｄｍ的圆盘绕过质心　的平行轴ＰＣ的转动惯量，设所取质量元高度为　ｈ，则两平行轴间距ｏＰ一　ｓｉｎＯ．根据平行轴定理，　质量元ｄ　对　轴的转动惯量为ｄＪ　＝＝＝［丢（１＋　ＣＯＳ　Ｏ）Ｒ。＋（ｈ　ｓｉｎＯ）　］ｐ　７ｃＲ　ｄｈ，则圆柱体对ｚ轴的　转动惯量为‘，　一ｌＤ丁ｃＲ　｛（１＋ｃｏｓ￣　）Ｒ　＋（＾・　ｓｉｎ臼）。］　，积分得　一丢（１＋ｃ。ｓ　臼）１０兀Ｒ　＋　丌Ｒ　ｉｎ　．　５）计算圆柱体放置不当面产生的误差．设圆　柱体的质量为　，则Ｊ　一｝（１＋ｃ。ｓ。Ｏ）ｍＲ　＋　ｌｍ（ｈ　ｓｉｎ　）　．当转盘处在严格水平的状态下，圆　柱体对转轴的转动惯量为．厂　一　Ｒ　ｚ，从而得由　于载物盘放置不平衡所产生的转动惯量系统误差　为　一Ｊ；　－　一￣－ｍ（ｈｓｉｎ　）　一｛（１－ｃｏｄ０）×　Ｒ。，即ＡＪ＝（１ｈ　１　Ｒ。）　一　ｓｉｎ　．当０＝０时，　△　一０，由此证明计算结果是正确的．　２　结果与讨论　根据以上讨论，得出均匀圆柱体中轴线与仪　器转轴夹角０在（Ｏ，９０。）时引入的系统误差为　ＡＪ一（　一丢　ｎ　，　式中ｈ是圆柱体的高，Ｒ是圆柱体的半径，ｍ是圆　柱体的质量．由此，可以得到以下推论：　１）当＾＞，／　ｇＲ时，△－，＞。，对细长杆，可近　似地认为ｈ》Ｒ，则△　≈÷ｍ　。ｓｉｎ　０．即细长杆　。　倾斜产生的误差与杆的质量、长度和倾斜角度有　如下关系：对同一根细杆，随着倾角的增加，仪器　转轴的转动惯量增大，且增量值以ｓｉｎ。０倍增加；　在倾角一定的情况下，杆的长度越长或密度越大，　则转动惯量增量就越大．　２）当ｈ＜　Ｒ时，△　＜０，对薄圆盘，近似　厶　１　地认为ｈ《Ｒ，则△Ｉ，≈一÷ｍＲ　ｓｉｎ。０．即薄圆盘　由于倾斜引起的误差与圆盘的质量、半径及倾斜　角度有如下关系：对同一个圆盘，随着倾角的增　第３期　申惠娟，等：扭摆法测量刚体转动惯量的误差定量分析　２Ｏ１　加，仪器转轴的转动惯量减小，且减小的比例为　ｓｉｎ。０；同样倾角下，盘的半径越大或密度越大，则　产生的损失就越多．　小，均匀薄圆盘的半径和材料密度也可以适当减　小，从而减小实验测量误差．　参考文献：　３）当ｈ一　Ｒ时，ＡＪ—ｏ，若圆柱体的高度和　厶　［１］迟占铎，徐鑫莉，张心明．扭摆法测转动惯量的误差　分析［Ｊ］．长春理工大学学报：自然科学版，２０１２，３５　（１）：３６　４２．　半径满足该尺寸比例，则会减少由于载物盘面的　倾斜或圆柱体放置不平稳所产生的误差．　根据以上讨论结果可知：在用扭摆法测量刚　［２］　薄悦，卢志辉，张磊乐．扭摆法测量转动惯量的误差　分析与校准［Ｊ］．计量技术，２０１１（８）：２１　２３．　［３］池红岩，丁红伟．关于扭摆法测转动惯量实验的改　进［Ｊ］．物理通报，２０１１（１）：５１　５２．　Ｅ４］班丽瑛．刚体转动惯量实验中影响阻力矩因素研究　ＥＪ］．煤矿机械，２００６，２７（４）：６０３—６０４．　［５］马文蔚，周雨青，解希顺．物理学教程［Ｍ］．２版．北　京：高等教育出版社，２００６：９２—９９．　体转动惯量时，应尽量使刚体的转轴和仪器转轴　在一条直线上．其次，在实验仪器的设计上，圆柱　体刚体可以设置成半径和高度比为２：√３，从而　减小由于圆柱体放置不平衡带来的实验偏差；均　匀细长杆在杆的长度和材料密度上可以相应减　．Ｓｌ上．Ｓｔ　Ｊ止．址　—ＳｌＬ—Ｓ　—Ｓ　—Ｓｌ上—Ｓ止—Ｓ止—址—　—Ｓ　—Ｓｌ上—Ｓ屯—Ｓ屯—Ｓｌ上—址—　址—址—Ｓｌ上—　—址—Ｓｔ—ＳｌＬ　．Ｓｔ．轧．驰　（上接第１９８页）　［２３　Ｙｅ　Ｉ　，Ｇｕｏ　Ｇ　ｃ．Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ　ｔｅｌｅｐｏｒｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａｎ　ｕｎｋｎｏｗｎ　ａｔｏｍｉｃ　ｓｔａｔｅ［Ｊ２．Ｃｈｉｎ　Ｐｈｙｓ，２００２，１１（１０）：９９６—９９８．　ｎｅａｒ　ｏｐｔｉｃａｌ　ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｑｕａｎｔｕｍ　ｔｅｌｅｐｏｒｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｕｎｋｎｏｗｎ　ｔｗｏ　ｑｕｂｉｔ　ｅｎｔａｎｇｌｅｄ　［３１　Ｚｈｏｕ　Ｉ　，Ｋｕａｎｇ　Ｌ　Ｍ．ＬｉｓｔａｔｅｓＥＪ］．Ｃｈｉｎ　Ｐｈｙｓ　Ｌｅｔｔ，２００４，２１（１１）：２１０１－２１０４．　［４］　计新．利用腔ＱＥＤ技术实现特殊三粒子ｗ态的隐形传送ＥＪ］．延边大学学报：自然科学版，２０１１，３７（３）：２３４　２３７．　［６３　Ｙａｎ　Ｆ　Ｉ　，ｗａｎｇ　Ｄ．Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ　ａｎｄ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ　ｔｅｌｅｐｏｒｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｕｎｋｎｏｗｎ　ｑｕａｎｔｕｍｓ　ｓｔａｔｅｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｌｅｔｔ　Ａ，２００３。　３１６（５）：２９７－３０３．　［６１　Ｂｅｎｎｅｔｔ　Ｃ　Ｈ，Ｗｉｅｓｎｅｒ　Ｓ　Ｊ．Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ　ｖｉａ　ｏｎｅ　ａｎｄ　ｔｗｏ　ｐａｒｔｉｃｌｅ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　Ｅｉｎｓｔｅｉｎ—Ｐｏｄｏｌｓｋｙ－Ｒｏｓｅｎ　ｓｔａｔｅｓ　［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ｌｅｔｔ，１９９２，６９：２８８１　２８８４．　Ｅ７１　Ｍａｔｔｌｅ　Ｋ，Ｗｅｉｎｆｕｒｔｅｒ　Ｈ，Ｋｗｉａｔ　Ｐ　Ｇ，ｅｔ　ａ１．Ｄｅｎｓｅ　ｃｏｄｉｎｇ　ｉｎ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ　ｑｕａｎｔｕｍ　ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ｌｅｔｔ，１９９６，７６（２５）：４６５６－４６５９．　［８］　Ｈｉｒｏｓｈｉｍａ　Ｔ．Ｏｐｔｉｍａｌ　ｄｅｎｓｅ　ｃｏｄｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｍｉｘｅｄ　ｓｔａｔｅ　ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ［Ｊ￣．Ｊ　Ｐｈｙｓ　Ａ：Ｍａｔｈ　Ｇｅｎ，２００１，３４：６９０７—６９１２．　［－９３　Ｅｋｅｒｔ　Ａ　Ｋ．Ｑｕａｎｔｕｍ　ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｂｅｌｌ’ｓ　ｔｈｅｏｒｅｍ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ｌｅｔｔ，１９９１，６７：６６１　６６３．　［１０１　李哲奎．基于纠缠交换的三方量子安全直接通信［Ｊ］．延边大学学报：自然科学版，２００７，３３（４）：２４９—２５２．　ｎｓｔｅｉｎ　Ａ，Ｐｏｄｏｌｓｋｙ　Ｂ，Ｒｏｓｅｎ　Ｎ．Ｃａｎ　ｑｕａｎｔｕｍ　ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐｈｙｓｉｃａｌ　ｒｅａｌｉｔｙ　ｂｅ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ　ｃｏｍｐｌｅｔｅ　［１１］　Ｅｉ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ，ｌ９３５，４７（１０）：７７７—７８０．　［１２］　Ｃｅｒｅｃｅｄａ　Ｊ　Ｌ．Ｑｕａｎｔｕｍ　ｄｅｎｓｅ　ｃｏｄｉｎｇ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｒｅｅ　ｑｕｂｉｔｓ［Ｊ］．Ｑｕａｎｔ—Ｐｈ／０１０５０９６．　［１３］　冷春玲，计新．基于法拉第旋转的ＧＨＺ态制备［Ｊ１．延边大学学报：自然科学版，２０１３，３９（２）：ｌ１２—１１５．　［１４１　Ｚｈａｎｇ　Ｘ　Ｌ，Ｇａｏ　Ｋ　Ｉ　，Ｆｅｎｇ　Ｍ．Ｐｒｅｐａｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｌｕｓｔｅｒ　ｓｔａｔｅｓ　ａｎｄ　Ｗ　ｓｔａｔｅｓ　ｗｉｔｈ　ｓｕｐｅｒ　ｃｏｎｄｕｃｔｉｎｇ　ｑｕａｎｔｕｍ—ｉｎｔｅｒｆｅｒ＿　ｅｎｃｅ－ｄｅｖｉｃｅ　ｑｕｂｉｔｓ　ｉｎ　ｃａｖｉｔｙ　ＱＥＤＥＪ］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ａ，２００６，７４（２）：０２４３０３．　［１５］　Ｂｒｉｅｇｅｌ　Ｈ　Ｊ，Ｒａｕｓｓｅｎｄｏｒｆ　Ｒ．Ｐｅｒｓｉｓｔｅｎｔ　ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ　ｉｎ　ａｒｒａｙｓ　ｏｆ　ｉｎｔｅｒａｃｔｉｎｇ　ｐａｒｔｉｃｌｅｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ｌｅｔｔ，２００１。　８６：９１０—９１３．　［１６］　Ｚｈａｎｇ　Ｘ　Ｌ，Ｇａｏ　Ｋ　Ｌ，Ｆｅｎｇ　Ｍ．Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ａｎｄ　ｈｉｇｈ　ｆｉｄｅｌｉｔｙ　ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａｔｏｍｉｃ　ｃｌｕｓｔｅｒ　ｓｔａｔｅｓ　ｗｉｔｈ　ｃａｖｉｔｙ　ＱＥＤ　ａｎｄ　ｌｉｎｅａｒ　ｏｐｔｉｃｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ａ，２００７，７５（３）：０３４３０８．　［１７１　Ｙａｎｇ　Ｗ　Ｘ，Ｚｈａｎ　Ｚ　Ｍ，Ｌｉ　Ｊ　Ｈ．Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｓｃｈｅｍｅ　ｆｏｒ　ｍｕｌｔｉｐａｒｔｉｔｅ　ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ　ａｎｄ　ｑｕａｎｔｕｍ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｔｒａｐ　ｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ａ，２００５，７２：０６２１０８．　［１８１　Ｄｏｎｇ　Ｐ，Ｘｕｅ　ｚ　Ｙ，Ｙａｎｇ　Ｍ，ｅｔ　ａ１．Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｌｕｓｔｅｒ　ｓｔａｔｅｓＥＪ］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ａ，２００６，７３：０３３８１８．　［１９］　明莹．利用单模腔和原子的共振相互作用制备团簇态与ＧＨＺ态Ｉ－Ｄ］．延吉：延边大学，２００７．　［２ｏ］　Ｊｕｌｓｇａａｒｄ　Ｂ，Ｋｏｚｈｅｋｉｎ　Ａ，Ｐｏｌｚｉｋ　Ｅ　Ｓ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ　ｌｏｎｇ—ｌｉｖｅｄ　ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ　ｏｆ　ｔｗｏ　ｍａｃｒｏｓｃｏｐｉｃ　ｏｈｊｅｃｔｓｒＪ］．Ｌｏｎ—　ｄｏｎ：Ｎａｔｕｒｅ，２００１，４１３：４００—４０３．