内蒙古呼和浩特市赛罕区19-20学年九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 如果点𝐴(−3,𝑎)是点𝐵(3,−4)关于原点的对称点，那么a等于( )
A. 4
1
B. −4 C. ±4 D. ±3
2. 抛物线𝑦=2(𝑥−2)2+5的对称轴是( )
A. 𝑥=1 B. 𝑥=−1 C. 𝑥=2 D. 𝑥=−2
3. 如图，向四个形状不同高同为h的水瓶中注水，注满为止．如果注水量𝑉(升)与
水深ℎ(厘米)的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列各图象分别给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数的是( )
A.
B.
C.
D.
5. ⊙𝑂的半径为10cm，两平行弦AC，BD的长分别为12cm，16cm，则两弦间的距离是( )
A. 2cm B. 14cm C. 6cm或8cm D. 2cm或14cm
6. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图
如图所示，符合这一结果的实验可能是( )
A. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B. 任意写一个正整数，它能被3整除的概率 C. 抛一枚硬币，出现正面的概率
D. 从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率
7. 如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段𝐴′𝐵′，那么𝐵(−3,2)
的对应点𝐵′的坐标是( )
A. (2,3)
(3,−2)
B. (3,2) C. (2,−3) D.
8. 关于x的方程(𝑚−2)𝑥2−4𝑥+1=0有实数根，则m的取值范围是( )
A. 𝑚≤6 B. 𝑚<6 C. 𝑚≤6且𝑚≠2 D. 𝑚<6且𝑚≠2
9. 关于x的一元二次方程𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的两个实数根分别为2和−3，则( )
A. 𝑏=1，𝑐=−6 C. 𝑏=5，𝑐=−6
𝑎
2
B. 𝑏=−1，𝑐=−6 D. 𝑏=−1，𝑐=6
10. 反比例函数𝑦=𝑥(𝑎>0,a为常数)和𝑦=𝑥在第一象限内的图象如图
所示，点M在𝑦=𝑥的图象上，𝑀𝐶⊥𝑥轴于点C，交𝑦=𝑥的图象于𝑀𝐷⊥𝑦轴于点D，点A；交𝑦=𝑥的图象于点𝐵.当点M在𝑦=𝑥(𝑥>0)的图象上运动时，以下结论：①𝑆△𝑂𝐷𝐵=𝑆△𝑂𝐶𝐴；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，点B是MD的中点．其中正确结论的个数是( )
2
𝑎
𝑎
2
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. 一元二次方程𝑥(𝑥−2)=0的解是______ ．
AB是⊙𝑂的弦，⊙𝑂的半径是2，12. 如图，点P是弦AB上的动点，且1≤𝑂𝑃≤2，
则弦AB所对的圆周角的度数是______．
13. 二次函数𝑦=−𝑥2−2𝑥+3的最大值是______．
14. 一个圆锥的底面半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为
_________．
15. 函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的部分图象如图所示：
①当𝑦<0时，x的取值范围是______； ②方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=3的解是______．
关于该函数，下列结论正确的是16. 函数𝑦=𝑥+𝑥的图象如图所示，
______(填序号)．
①函数图象是轴对称图形；②函数图象是中心对称图形；③当𝑥>0时，函数有最小值；④点(1,4)在函数图象上；⑤当𝑥<1或𝑥>3时，𝑦>4．
3
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. (1)解方程：𝑥2+2𝑥=0；
(2)用配方法解方程：𝑥2+6𝑥+3=0．
18. 19.甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，
如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．
(1)用列表法(或画树状图)求甲获胜的概率；
(2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．
19. 已知二次函数的图象过点(1,−3)，顶点坐标为(2,−5)，求这个二次函数的解析式．
20. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D，E分别在边AB，AC上，∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐵，射线AG分别交线段DE，BC
于点F，G，且𝐴𝐶=𝐶𝐺。
𝐴𝐷
𝐷𝐹
(1)求证：△𝐴𝐷𝐹∽△𝐴𝐶𝐺； (2)若𝐴𝐶=2，求证：𝐴𝐹=𝐹𝐺。
𝐴𝐷
1
由于国务院有关房地产的新政策出台后，21. 曲靖市某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，
购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售． (1)求平均每次下调的百分率．
(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.9折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.4元，请问哪种
方案更优惠？
B两点，一次函数𝑦=𝑥+𝑚的图象与反比例函数𝑦=𝑥的图象交于A，且与x轴交于点C，22. 如图，
点A的坐标为(2,1)．
𝑘
(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求点C的坐标；
(3)结合图象直接写出不等式0<𝑥+𝑚≤𝑥的解集。
𝑘
23. 某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：
每降价1元，每星期可多卖出20件．如何定价才能使每星期的利润最大？最大利润是多少？
B两点，AC是直径，AD平分∠𝐶𝐴𝑀，直线MN交⊙𝑂于A、交⊙𝑂于D，过D作𝐷𝐸⊥𝑀𝑁24. 如图，
于E点．
(1)求证：DE是⊙𝑂的切线；
(2) 若𝐷𝐸=6，𝐴𝐸=3，求⊙𝑂的半径．
25. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线𝑦=𝑚𝑥2−2𝑚𝑥+𝑛(𝑚≠0)与x轴交于点A，B，点A的坐
标为(−2,0)．
(1)写出抛物线的对称轴；
(2)直线𝑦=2𝑥−4𝑚−𝑛过点B，且与抛物线的另一个交点为C． ①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；
𝑦=𝑥+𝑎和𝑙2：𝑦=−𝑥+𝑏组成图形𝐺.过点P的两条直线𝑙1：②点P为抛物线对称轴上的动点，
1
当图形G与线段BC有公共点时，直接写出点P的纵坐标t的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：
本题考查平面直角坐标系中关于坐标原点对称的两点的坐标之间的关系．
根据平面直角坐标系中任意一点𝑃(𝑥,𝑦)，关于原点的对称点是(−𝑥,−𝑦)，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，据此可得答案．
解：根据题意，点𝐴(−3,𝑎)是点𝐵(3,−4)关于原点的对称点，
而关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，故𝑎=−(−4)=4． 故选A．
2.答案：C
解析：解：∵𝑦=2(𝑥−2)2+5， ∴此函数的对称轴就是𝑥=2． 故选：C．
由于所给的是二次函数的顶点式，故能直接求出其对称轴．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数三种表达式．
1
3.答案：D
解析：解：由题可得，水深与注水量之间成正比例关系， ∴随着水的深度变高，需要的注水量也是均匀升高， ∴水瓶的形状是圆柱， 故选：D．
依据注水量𝑉(升)与水深ℎ(厘米)的函数关系图象，可得水深与注水量之间成正比例关系，即随着水的深度变高，需要的注水量也是均匀升高，进而得到水瓶的形状．
本题主要考查函数的图象的知识点，需注意容器的水平截面是均匀的，注水量也将随着水深均匀增多．
4.答案：A
解析：
本题考查函数的定义，利用函数定义结合图象得出是解题关键．
利用函数的定义，对于给定的x的值，y都有唯一的值与其对应，进而判断得出． 解：在图象B，C，D中，x与y不是一一对应关系，
在A中，给x一个值，y有一个值与之对应，所以y是x的函数． 故选A．
5.答案：D
解析：
此题主要利用垂径定理，把问题转化为直角三角形，运用勾股定理来解决，还得注意分情况讨论． 解答有关垂径定理的题，作辅助线一般是连接半径或作垂直于弦的直径．分两种情况解答：①弦AC、BD在⊙𝑂的同侧；②弦AC、BD在⊙𝑂的两侧． 解：如图①，当AC，BD在圆心O同侧时，
作𝑂𝐸⊥𝐴𝐶垂足为E，交BD于点F， ∵𝑂𝐸⊥𝐴𝐶 𝐴𝐶//𝐵𝐷， ∴𝑂𝐹⊥𝐵𝐷，
∴𝐴𝐸=2𝐴𝐶=6𝑐𝑚， 𝐵𝐹=2𝐵𝐷=8𝑐𝑚， 在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐸中，
𝑂𝐸=√𝑂𝐴2−𝐴𝐸2=√102− 62=8𝑐𝑚， 同理可得： 𝑂𝐹=6𝑐𝑚，
∴𝐸𝐹=𝑂𝐸−𝑂𝐹=8−6=2𝑐𝑚； 如图②，当AC，BD在圆心O异侧时，
1
1
同理可得：𝐸𝐹=𝑂𝐸+𝑂𝐹=8+6=14𝑐𝑚， 综上所述两弦之间的距离为2cm或14cm． 故选：D．
6.答案：B
解析：
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率𝑃≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
解：𝐴.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为6，故此选项错误； B.任意写出一个正整数，能被3整除的概率为3，故此选项正确； C.掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误；
2
D.从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率是；故此选项错误．
3故选B．
2
1
1
1
7.答案：A
解析：解：如图，过B作𝐵𝐶⊥𝑥轴于C，过𝐵′作𝐵′𝐷⊥𝑥轴于D，则∠𝑂𝐶𝐵=∠𝐵′𝐷𝑂=90°，
由旋转可得，𝐵𝑂=𝑂𝐵′，∠𝐵𝑂𝐵′=90°， ∴∠𝐵𝑂𝐶+∠𝐵′𝑂𝐷=90°=∠𝐵𝑂𝐶+∠𝑂𝐵𝐶， ∴∠𝑂𝐵𝐶=∠𝐵′𝑂𝐷， ∴△𝐵𝑂𝐶≌△𝑂𝐵′𝐷， ∴𝐵𝐶=𝑂𝐷，𝐶𝑂=𝐷𝐵′， 又∵𝐵(−3,2)，
∴𝐵𝐶=𝑂𝐷=2，𝐶𝑂=𝐷𝐵′=3， ∴𝐵′(2,3)， 故选：A．
作辅助线构造全等三角形，根据旋转的性质和点𝐵(−3,2)可以求得点𝐵′的坐标．
本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质以及点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键．
8.答案：A
解析：
本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据根的判别式和已知得出不等式是解此题的关键．
当𝑚−2=0，关于x的方程(𝑚−2)𝑥2−4𝑥+1=0有一个实数根，当𝑚−2≠0时，列不等式即可得到结论．
解：当𝑚−2=0，即𝑚=2时，关于x的方程(𝑚−2)𝑥2−4𝑥+1=0有一个实数根， 当𝑚−2≠0时，
∵关于x的方程(𝑚−2)𝑥2−4𝑥+1=0有实数根， ∴△=(−4)2−4(𝑚−2)⋅1≥0， 解得：𝑚≤6，
∴𝑚的取值范围是𝑚≤6， 故选：A．
9.答案：A
解析：解：根据题意得2+(−3)=−𝑏，2×(−3)=𝑐， 解得𝑏=1，𝑐=−6． 故选A．
根据根与系数的关系得到2+(−3)=−𝑏，2×(−3)=𝑐，然后可分别计算出b、c的值． 本题考查了一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与系数的关系：若方程的两根为𝑥1，𝑥2，则𝑥1+𝑥2=−𝑎，𝑥1⋅𝑥2=𝑎．
𝑏
𝑐
10.答案：D
解析：
本题考查了反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠0)中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|𝑘|，反比例函数的图象和性质，三角形的面积，矩形的性质的有关知识．
①由反比例系数的几何意义可得答案；②由四边形OAMB的面积=矩形OCMD面积−(三角形ODB面积+三角形OCA面积)，解答可知；③连接OM，点A是MC的中点可得△𝑂𝐴𝑀和△𝑂𝐴𝐶的面积相等，根据△𝑂𝐷𝑀的面积=△𝑂𝐶𝑀的面积、△𝑂𝐷𝐵与△𝑂𝐶𝐴的面积相等解答可得．
解：①由于A、B在同一反比例函数𝑦=𝑥图象上，则△𝑂𝐷𝐵与△𝑂𝐶𝐴的面积相等，都为2×2=1，正确；
②由于矩形OCMD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形MAOB的面积不会发生变化，正确；
③连接OM，点A是MC的中点，
2
1
𝑘
则△𝑂𝐴𝑀和△𝑂𝐴𝐶的面积相等，
∵△𝑂𝐷𝑀的面积=△𝑂𝐶𝑀的面积=2，△𝑂𝐷𝐵与△𝑂𝐶𝐴的面积相等， ∴△𝑂𝐵𝑀与△𝑂𝐴𝑀的面积相等， ∴△𝑂𝐵𝐷和△𝑂𝐵𝑀面积相等， ∴点B一定是MD的中点．正确； 故选D．
𝑎
11.答案：𝑥1=0，𝑥2=2
解析：解：𝑥=0或𝑥−2=0， 所以𝑥1=0，𝑥2=2． 故答案为：𝑥1=0，𝑥2=2．
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
12.答案：60°或120°
解析：
本题考查了垂径定理及推论，圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理及其推论.利用垂径定理及推论，结合题目条件得O到弦AB的距离为1，利用圆心角定义得圆心角∠𝐴𝑂𝐵=120°，最后利用圆周角定理及其推论得结论．
解：因为⊙𝑂的半径为2，AB是⊙𝑂的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤𝑂𝑃≤2， 所以𝑂𝐴=𝑂𝐵=2，O到弦AB的距离为OP的最小值1， 则由勾股定理可得𝐴𝐵=2√22−12=2√3， 所以在等腰三角形OAB中，圆心角∠𝐴𝑂𝐵=120°， 所以弦AB所对的圆周角为60°或120°． 故答案为60°或120°．
13.答案：4
解析：
本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 将抛物线解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质即可得．
解：∵𝑦=−𝑥2−2𝑥+3=𝑦=−(𝑥2+2𝑥+1−1)+3=−(𝑥+1)2+4， ∴当𝑥=−1时，y取得最大值4， 故答案为：4．
14.答案：9cm
解析：
本题考查的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长，及弧长公式．求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
解：圆锥的底面周长为：2𝜋×6=12𝜋 𝑐𝑚； ∴圆锥侧面展开图的弧长为12𝜋 𝑐𝑚， 设圆锥的母线长为Rcm， ∴
240𝜋×𝑅180
=12𝜋，
解得𝑅=9𝑐𝑚． 故答案为9cm．
15.答案：①𝑥<−5或𝑥>1；
②𝑥1=−4，𝑥2=0
解析：
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎,b，c是常数，𝑎≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
①利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−5,0)，然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可；
利用抛物线对称性得到抛物线过点(−4,3)，从而得到方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+②抛物线与y轴的交点为(0,3)，𝑐=3的解．
解：①∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0)， 而抛物线的对称轴为直线𝑥=−2， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−5,0)， ∴当𝑦<0时，x的取值范围是𝑥<−5或𝑥>1；
②抛物线与y轴的交点为(0,3)，根据抛物线对称性可得抛物线过点(−4,3)； 所以方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=3的解为𝑥1=−4，𝑥2=0． 故答案为𝑥<−5或𝑥>1；𝑥1=−4，𝑥2=0．
16.答案：②③④
解析：
本题考查了函数的图象、轴对称图形、中心对称图形等知识，综合性较强．根据轴对称和中心对称图形性质、函数图象的特征，结合解析式解答．
解：①②当x变为−𝑥时，y变为−𝑦，所以，(𝑥,𝑦)对应点为(−𝑥,−𝑦)，可见，函数图象是中心对称图形，不是轴对称图形，故②正确，①错误；
③当𝑥>0时，函数图象有最低点，故函数有最小值，故本选项正确； ④将点(1,4)代入解析式，等式成立，点(1,4)在函数图象上，故本选项正确： ⑤当𝑥=1和𝑥=3时，𝑦=4，可见，0<𝑥<1或𝑥>3时，𝑦>4，故本选项错误； 故答案为：②③④．
17.答案：解：(1)因式分解得：𝑥(𝑥+2)=0，
所以𝑥=0或𝑥+2=0， 解得：𝑥=0或𝑥=−2；
(2)移项得：𝑥2+6𝑥=−3， 配方得：(𝑥+3)2=6， 由此得：𝑥+3=±√6，
于是得：∴𝑥1=−3+√6,𝑥2=−3−√6．
解析：(1)因式分解法求解可得；
(2)常数项移到方程的右边，两边都加上9配成完全平方式，然后开平方即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18.答案：(1)2；(2)公平，理由见解析
解析：
本题考查了概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可． 【详解】 方法一画树状图：
1
由上图可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结
1
果有6种．∴𝑃(和为奇数)=2． 方法二列表如下：
由上表可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结
1
果有6种．∴𝑃(和为奇数)=2；
(2)∵𝑃(和为奇数)=2，∴𝑃(和为偶数)=2，∴这个游戏规则对双方是公平的．
1
1
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.答案：解：∵二次函数的顶点坐标为(2,−5)，
∴可设二次函数的解析式为𝑦=𝑎(𝑥−2)2−5， ∵二次函数的图象边点(1,−3)， ∴𝑎(1−2)2−5=−3， 解得𝑎=2，
∴二次函数的解析式为𝑦=2(𝑥−2)2−5， 即𝑦=2𝑥2−8𝑥+3．
解析：本题主要考查二次函数的图象与用待定系数法求二次函的解析式．由于知道二次函数的顶点坐标，可将二次函数的解析式设为顶点式𝑦=𝑎(𝑥−2)2−5，然后根据二次函数的图象经过点(1,−3)，代入解析式可求得a的值，从而求出二次函数的解析式．
20.答案：解：(1)证明：∵∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐵，∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐶， ∵
𝐴𝐷𝐴𝐶
=𝐶𝐺，
𝐷𝐹
∴△𝐴𝐷𝐹∽△𝐴𝐶𝐺； (2)∵△𝐴𝐷𝐹∽△𝐴𝐶𝐺， ∴
𝐴𝐷𝐴𝐶
=
𝐴𝐷𝐴𝐶
𝐴𝐹𝐴𝐺
，
1
又∵
𝐴𝐹
=2，
1
∴𝐴𝐺=2，
∴𝐴𝐹=𝐹𝐺．
解析：本题考查了相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题，中考常考题型．
(1)欲证明△𝐴𝐷𝐹∽△𝐴𝐶𝐺，由𝐴𝐶=𝐶𝐺可知，只要利用三角形内角和定理证明∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐶即可； (2)利用相似三角形的性质得到𝐴𝐹=𝐹𝐺，由此即可证明．
𝐴𝐷
𝐷𝐹
21.答案：解：(1)设平均每次下调的百分率是x，依题意得，4000(1−𝑥)2=3240
解之得：𝑥=0.1=10%或𝑥=1.9(不合题意，舍去) 所以，平均每次下调的百分率是10%．
(2)方案①优惠=100×3240×(1−99%)=3240元 方案②优惠=100×1.4×12×2=3360元 故选择方案②更优惠．
(1)设出平均每次下调的百分率为x，解析：利用预订每平方米销售价格×(1−每次下调的百分率)2=开盘每平方米销售价格列方程解答即可．
(2)分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案②更优惠．
本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．
22.答案：解：(1)∵一次函数𝑦=𝑥+𝑚的图象与反比例函数𝑦=𝑥的图象交于A，B两点，点A的坐
标为(2,1)，
∴1=2+𝑚，解得𝑚=−1， 1=，解得𝑘=−2． 2
故一次函数的解析式为𝑦=𝑥−1，反比例函数的解析式为𝑦=𝑥； (2)令𝑦=0，则0=𝑥−1，解得𝑥=1． 故点C的坐标为(1,0)；
(3)观察函数图象得到不等式0<𝑥+𝑚≤𝑥的解集为1<𝑥≤2．
𝑘
2
𝑘
𝑘
解析：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力以及用待定系数法确定一次函数的解析式．
(1)先把𝐴(2,1)代入𝑦=𝑥+𝑚得到𝑚=−1，再把𝐴(2,−1)代入𝑦=𝑥可求出𝑘=−2，从而得出一次函数和反比例函数的解析式；
(2)令𝑦=0，求得一次函数与x轴的交点坐标即为点C的坐标； (3)观察函数图象得到不等式0<𝑥+𝑚≤𝑥的解集为1<𝑥≤2．
𝑘
𝑘
23.答案：解：设每件定价x元，利润为y元，依题意得：
𝑦=(𝑥−40)×[300+20×(60−𝑥)]， =−20𝑥2+2300𝑥−60000，
=−20(𝑥−57.5)2+6125(40≤𝑥≤60)， ∵−20<0，且40≤𝑥≤60，
∴当𝑥=57.5时，y取得最大值6125元，
答：每件定价57.5元时利润最大，最大利润是6125元．
解析：此题考查二次函数的实际运用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．设每件定价为x元，利润为y元，则每件利润是(𝑥−40)元，所售件数是[300+20(60−𝑥)]件，根据利润=每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．
24.答案：证明：(1)连结OD，如图，
∵𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝑀， ∴∠1=∠2， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐷， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3，
∴𝑂𝐷//𝑀𝑁， ∵𝐷𝐸⊥𝑀𝑁， ∴𝑂𝐷⊥𝐷𝐸， ∴𝐷𝐸是⊙𝑂的切线；
(2)∵𝐷𝐸=6𝑐𝑚，𝐴𝐸=3𝑐𝑚． 𝐴𝐷=√𝐷𝐸2+𝐴𝐸2=3√5， 连接CD．
∵𝐴𝐶是⊙𝑂的直径， ∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐸𝐷=90°． ∵∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐷𝐴𝐸， ∴△𝐴𝐶𝐷∽△𝐴𝐷𝐸． ∴𝐴𝐸=𝐴𝐷， 即
3√53𝐴𝐷
𝐴𝐶
=
𝐴𝐶3√5 则𝐴𝐶=15． ∴⊙𝑂的半径是2．
15
解析：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
(1)连结OD，如图，由AD平分∠𝐶𝐴𝑀，得∠1=∠2，加上∠2=∠3，则∠1=∠3，于是可判断𝑂𝐷//𝑀𝑁，由于𝐷𝐸⊥𝑀𝑁，所以𝑂𝐷⊥𝐷𝐸，则可根据切线的判定定理得到DE是⊙𝑂的切线；
(2)依题意得到△𝐴𝐶𝐷∽△𝐴𝐷𝐸.根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．
25.答案：解：(1)∵抛物线所对应的函数表达式为𝑦=𝑚𝑥2−2𝑚𝑥+𝑛，
∴抛物线的对称轴为直线𝑥=−
−2𝑚2𝑚
=1．
(2)①∵抛物线是轴对称图形， ∴点A、B关于直线𝑥=1对称． ∵点A的坐标为(−2,0)， ∴点B的坐标为(4,0)．
∵抛物线𝑦=𝑚𝑥2−2𝑚𝑥+𝑛过点B，直线𝑦=2𝑥−4𝑚−𝑛过点B，
1
∴{
16𝑚−8𝑚+𝑛=0
，
2−4𝑚−𝑛=0
1
𝑚=−2
解得：{，
𝑛=4
∴直线所对应的函数表达式为𝑦=2𝑥−2，抛物线所对应的函数表达式为𝑦=−2𝑥2+𝑥+4． ②联立两函数表达式成方程组，𝑦=2𝑥−2{， 12
𝑦=−2𝑥+𝑥+4
𝑥1=4𝑥2=−3
7． 解得：{，{
𝑦1=0𝑦2=−
2∵点B的坐标为(4,0)， ∴点C的坐标为(−3,−2).
𝑦=−𝑥+𝑏1过点B时，0=−4+当直线𝑙2：𝑏1，
解得：𝑏1=4，
∴此时直线𝑙2所对应的函数表达式为𝑦=−𝑥+4， 当𝑥=1时，𝑦=−𝑥+4=3， ∴点𝑃1的坐标为(1,3)；
当直线𝑙2：𝑦=−𝑥+𝑏2过点C时，−2=3+𝑏2， 解得：𝑏2=−2，
∴此时直线𝑙2所对应的函数表达式为𝑦=−𝑥−当𝑥=1时，𝑦=−𝑥−
15132
132
13
7
7
1
1
1
，
=−，
2
15
∴点𝑃2的坐标为(1,−2).
∴当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围为−
152
≤𝑡≤3．
解析：(1)由给定的抛物线的表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称轴；
再利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象(2)①根据抛物线的对称性可得出点B的坐标，上点的坐标特征，即可求出m、n的值，此问得解；
②联立直线及抛物线的函数关系式成方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，利用一次函数图象
上点的坐标特征求出直线𝑙2过点B、C时b的值，进而可得出点P的坐标，再结合函数图象即可找出当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围．
本题考查了二次函数的性质、一次(二次)函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是：(1)利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴；(2)①利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于m、n的二元一次方程组；②利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线𝑙2过点B、C时点P的坐标．
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