最新2019年中考数学真题分类汇编 专题复习(七)几何综合题(答案不全)

专题复习（七）几何综合题

类型1 类比探究的几何综合题 类型2 与图形变换有关的几何综合题 类型3 与动点有关的几何综合题 类型4 与实际操作有关的几何综合题 类型5 其他类型的几何综合题

类型1 类比探究的几何综合题 （2018苏州）

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（2018烟台）

（2018东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO：CO=1:3，求AB的长． 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．

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请回答：∠ADB= °，AB= ． （2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，

AO=33，∠ABC=∠ACB=75°， BO：OD=1:3，求DC的长．

B

OCAAADOBODCBC

(第24题图1)

(第24题图2)

(第24题图3)

（2018长春）

（2018陕西）

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（2018齐齐哈尔）

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（2018河南）

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（2018仙桃）

问题：如图①，在Rt△ABC中，ABAC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时

针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 ； 探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，ABAC，ADAE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，

试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；

应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC∠ACB∠ADC45°．若BD9，CD3，求AD的长．

（2018襄阳）如图(1)，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD， 垂足为点F．

(1)证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形； ②推断：

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AG的值为 ； BE经典资料

(2)探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图(2)所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展与运用

正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长CG交AD于点H．若

AG=6，GH=22，则BC= ．

（2018淮安）

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（2018咸宁）

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（2018黄石）在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）.

（1）如图1，若EF∥BC，求证：

SAEFAEAF SABCABACSAE3,求AEF的值.

SABCAB4（2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，

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AAAEFEFEGF

BCBCBC

（2018山西）

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（2018盐城）【发现】如图①，已知等边ABC，将直角三角形的60角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F.

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（1）若AB6，AE4，BD2，则CF_______； （2）求证：EBDDCF.

【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示.问点D是否存在某一位置，使ED平分BEF且FD平分CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【探索】如图③，在等腰ABC中，ABAC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中MONB），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与ABC的顶点重合），连接EF.设B，则AEF与ABC的周长之比为________（用含的表达式表示）.

BDBC

（2018绍兴）

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（2018达州）

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（2018菏泽）

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（2018扬州）问题呈现

如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN与EC相交于点P，求tanCPN的值. 方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比如连接格点M、N，可得MN//EC，则

DNMCPN，连接DM，那么CPN就变换到中RtDMN.

问题解决

（1）直接写出图1中tanCPN的值为_________；

（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cosCPN的值；

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思维拓展

（3）如图3，ABBC，AB4BC，点M在AB上，且AMBC，延长CB到N，使BN2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求CPN的度数.

（2018常德）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E,过D作DHAE于H,设直线DH交AC于N.

（1）如图14，当M在线段BO上时，求证：MONO；

（2）如图15，当M在线段OD上，连接NE,当EN//BD时，求证：BMAB； （3）在图16，当M在线段OD上，连接NE,当NEEC时，求证：ANNCAC.

（2018滨州）

2

（2018湖州）

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（2018自贡）如图，已知AOB60,在AOB的平分线OM上有一点C,将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E . ⑴当DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OEOD与OC的数量关系，并说明理由； ⑵当DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，⑴中的结论是否成立？并说明理由； ⑶当DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

AMDCEDCEAAMMCOBOBOB图2（2018嘉兴、舟山）

图1图3

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.（2018淄博）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中ABAC，在ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD,CE，BC的中点M,N,G，连接

GM,GN.小明发现了：线段GM与GN的数量关系是 ；位置关系是 .

（2）类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中ABAC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由. （3）深入研究：

如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究.向ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE，其它条件不变，试判断GMN的形状，并给与证明.

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类型2 与图形变换有关的几何综合题

（2018宜昌）在矩形ABCD中，AB12，P是边AB上一点，把PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BECG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F. (1)如图1，若点E是AD的中点，求证:AEB≌DEC； (2) 如图2，①求证: BPBF；

②当AD25，且AEDE时，求cosPCB的值； ③当BP9时，求BE EF的值.

图1 图2 图2备用图 23.(1)证明：在矩形ABCD中，AD90,ABDC, 如图1，又

AEDE，

图1

ABEDCE,

(2)如图2，

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图2

①在矩形ABCD中，ABC90,

BPC沿PC折叠得到GPC

PGCPBC90,BPCGPC

BECG BE//PG, GPFPFB BPFBFP BPBF

②当AD25时，

BEC90

AEBCED90, AEBABE90,

CEDABE

又

AD90,

ABE∽DEC

ABDE AECD1225x， x12∴设AEx，则DE25x，

解得x19，x216

AEDE

AE9,DE16, CE20,BE15,

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由折叠得BPPG，

BPBFPG, BE//PG, ECF∽GCP

EFCE PGCG设BPBFPGy，

15y20 y252525 则BP 332510BC25310,cosPCB 3PC2510103y在RtPBC中，PC③若BP9,

解法一：连接GF，（如图3）

GEFBAE90, BF//PG,BFPG

∴四边形BPGF是平行四边形

BPBF,

平行四边形BPGF是菱形

BP//GF, GFEABE, GEF∽EAB

EFAB GFBEBEEFABGF129108

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解法二：如图2，

FECPBC90,

EFCPFBBPF, EFC∽BPC

又

EFCE BPCBBECA90,

由AD//BC得AEBEBC,

AEB∽EBC

ABCE BECBAEEF BEBPBEEFAEBP129108

解法三：（如图4）过点F作FHBC，垂足为HSBPFS四边形PFEGBFBF

EFPGBE图4

BFSBFCEFBCEF BESBEC12BC129EF BE12BEEF129108

（2018邵阳）

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（2018永州）

（2018无锡）

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（2018包头）

（2018赤峰）

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（2018昆明）

（2018岳阳）

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（2018宿迁）

（2018绵阳）

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（2018南充）

（2018徐州）

类型3 与动点有关的几何综合题 （2018吉林）

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（2018黑龙江龙东）

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（2018广东）已知Rt△OAB，∠OAB=90，∠ABO=30，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60，如图25-1图，连接BC.

（1）填空：∠OBC=_______；

（2）如图25-1图，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；

（3）如图25-2图，点M、N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒.设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？（结果可保留根号）

o

o

o

o

（2018衡阳）

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（2018黔东南）如图1，已知矩形AOCB，AB6cm，BC16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动.

（1）点P到达终点O的运动时间是________s，此时点Q的运动距离是________cm； （2）当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为________cm； （3）请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；

（4）如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1cm长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC，与PQ相交于点D，若双曲线y说明理由；若不会变化，请求出k的值.

（2018青岛）已知：如图，四边形ABCD，AB//DC,CBAB，AB16cm,BC6cm,CD8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s.点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为ts，0t5.

k过点D，问k的值是否会变化？若会变化，x经典资料

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根据题意解答下列问题： （1）用含t的代数式表示AP；

（2）设四边形CPQB的面积为Scm2，求S与t的函数关系式； （3）当QPBD时，求t的值；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

（2018广州）如图12，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC. (1)求∠A+∠C的度数

（2）连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系，并说明理由。

（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AEBE+CE,求点E运动路径的长度。

222

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（2018温州）

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（2018江西）

（2018潍坊）

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类型4 与实际操作有关的几何综合题

（2018徐州）如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30° 【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板绕点旋转，并使边．．．．DEF．．．．．E．．．DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q 【探究一】在旋转过程中， （1） 如图2，当（2） 如图3，当

CE＝1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明. EACE＝2时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由. EACE＝m时，EP与EQ满足的数量关系式 EA2

（3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当

为_________,其中m的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)

【探究二】若，AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm)，在旋转过程中：

（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由. （2） 随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.

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（2018成都）

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（2018枣庄）

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（2018德州）

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类型5 其他类型的几何综合题 （2018宁波）

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（2018安徽）如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F. （1）求证:CM=EM；

（2）若∠BAC=50°,求∠EMF的大小；

（3）如图2,若△DAE≌△CEM,点N为CM的中点,求证:AN∥EM. 经典资料

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17. （1）证明：∵M为BD中点 Rt△DCB中，MC=

1BD 21Rt△DEB中，EM=2BD

∴MC=ME

（2）∵∠BAC=50° ∴∠ADE=40° ∵CM=MB ∴∠MCB=∠CBM

∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM 同理，∠DME=2∠EBM ∴∠CME=2∠CBA=80° ∴∠EMF=180°-80°=100° （3）同（2）中理可得∠CBA=45° ∴∠CAB=∠ADE=45° ∵△DAE≌△CEM

1∴DE=CM=ME=2BD=DM，∠ECM=45°

∴△DEM等边 ∴∠EDM=60° ∴∠MBE=30° ∵∠MCB+∠ACE=45° ∠CBM+∠MBE=45° ∴∠ACE=∠MBE=30° ∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75° 连接AM，∵AE=EM=MB ∴∠MEB=∠EBM=30°

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1∠AME=2∠MEB=15°

∵∠CME=90°

∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM ∴AC=AM ∵N为CM中点 ∴AN⊥CM ∵CM⊥EM ∴AN∥CM

（2018金华、丽水）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12.点D在直线CB上，以CA,CD为边作矩形ACDE,直线AB与直线CE,DE的交点分别为F,G.

（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形.

①若点G为DE中点，求FG的长. ②若DG=GF，求BC的长.

（2）已知BC=9，是否存在点D,使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由.

A F G E

C

D

第24题图

B

（2018金华（丽水））在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12.点D在直线CB上，以CA,CD为边作矩形ACDE,直线AB与直线CE,DE的交点分别为F,G.

（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形.

①若点G为DE中点，求FG的长. ②若DG=GF，求BC的长.

（2）已知BC=9，是否存在点D,使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由.

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(2018眉山）如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，

且MB=MN.

（1）求证：BN平分∠ABE；

（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长； （3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC.

(2018泰安)

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（2018威海）如图①，在四边形BCDE中，BCCD，DECD，ABAE，垂足分别为C,D，A，BCAC，点M,N,F分别为AB,AE,BE的中点，连接MN,MF,NF.

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(1)如图②，当BC4，DE5，tan∠FMN1时，求

AC的值； AD1(2)若tan∠FMN，BC4，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；

2(3)连接CM,DN,CF,DF，试证明△FMC与△DNF全等； (4)在(3)的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出. 解：(1)∵M,N,F分别是AB,AE,BE的中点， ∴BMNFMA，MFANNE. ∴四边形MANF是平行四边形. 又∵BAAE.

∴平行四边形MANF是矩形. 又∵tan∠FMN1，∴

FN1，即FNFM. FM∴矩形MANF为正方形. ∴ABAE.

∵∠1∠290°，∠2∠390°， ∴∠1∠3， ∵∠C∠D90°， ∴△ABC≌△EAD(AAS) ∴BCAD，CADE. ∵BC4，DE5. ∴

AC5. AD4

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(2)可求线段AD的长.

由(1)知，四边形MANF为矩形，FN11AB，MFAE， 221FN1AB1∵tan∠FMN，即，∴.

2FM2AE2∵∠1∠3，∠BCA∠ADE90°， ∴△ABC△FAD. ∴

ABBC. AEAD14， 2AD∵BC4，∴∴AD8.

(3)∵BCCD，DECD. ∴△ABC与△ADE都是直角三角形. ∵M,N分别是AB,AE中点. ∴BMCM，NAND. ∴∠42∠1，∠52∠3. ∵∠1∠3，∴∠4∠5.

∴∠FMC90°∠4，∠FND90°∠5. ∴∠FMC∠FND. ∵FMDN，CMNF. ∴△FMC≌△DNF(SAS).

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(4)△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE.

（2018武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°、

(1) 如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN (2) 如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝

25，求tanC的值 53AD2(3) 如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝，，直接写出tan∠CEB5AC5的值

（2018贵阳）

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（2018哈尔滨）

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(2018沈阳)

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