高中物理 追及相遇问题 专题练习 (含详细答案)

第八弹：那些年我们追过的小怪物

1、如下图所示，小球甲从倾角θ＝30°的光滑斜面上高h＝5 cm的A点由静止释放做匀加速运动（加速度a=gsin30°），同时小球乙自C点以速度v0沿光滑水平面向左匀速运动，C点与斜面底端B处的距离L＝0.4 m．甲滑下后能沿斜面底部的光滑小圆弧平稳地朝乙匀速追去，甲释放后经过t＝1 s刚好追上乙，求乙的速度v0.

2.汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以0.4 m/s2

的加速度做匀加速运动，经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动.设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同的速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始（ ）

A.A车在加速过程中与B车相遇 B. A、B相遇时速度相同 C.相遇时A车做匀速运动 D. 两车不可能再次相遇

3.同一直线上的A、B两质点，相距s，它们向同一方向沿直线运动（相遇时互不影响各自的运动），A做速度为v的匀速直线运动，B从此时刻起做加速度为a、初速度为零的匀加速直线运动.若A在B前，两者可相遇______次，若B在A前，两者最多可相遇______次.

4、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以2

3 m/s的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车．试求：汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？（请分别用公式法、图像法、二次函数极值法、相对运动法尝试解答）

5、一列货车以28.8 km/h的速度在平直铁路上运行，由于调度失误，在后面600 m处有一列快车以72 km/h的速度向它靠近.快车司机发觉后立即合上制动器，但快车要滑行2000 m才停止.试判断两车是否会相碰.

6、两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v0.若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车的加速度开始刹车.已知前车在刹车过程中所行驶的距离为x，若要保证两辆车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为( )

A.1x B.2x C.3x D.4x

7、A、B两车沿同一直线向同一方向运动，A车的速度vA=4 m/s，B车的速度vB=10 m/s.当B车运动至A车前方7 m处时，B车以a=2 m/s2的加速度开始做匀减速运动，从该时刻开始计时，则A车追上B车需要的时间是_____s ，在A车追上B车之前，二者之间的最大距离是______m.

8.如图1-2-1所示，A、B两物体相距s=7 m，A正以v1=4 m/s的速度向右做匀速直线运动，而物体B此时速度v2=10 m/s，方向向右，

做匀减速直线运动（不能返回），加速度大小a=2 m/s2，求：

①从图示位置开始计时，经多少时间A追上B.

②若A、B两物体初始相距s=8 m，A以v1=8 m/s的速度向右做匀速直线运动，其他条件不变，求A追上B 时间

9、在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件．

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10． 火车甲以速度V1向前行驶，发现前方S米处另一辆火车乙正以速度V2（V2＜V1）做匀减速运动，加速度的大小为2，火车甲为了避免与火车乙相撞，也开始做减速运动，则加速度1的大小至少为多少？

11.A、B两物体从同一地点，以相同初速度30 m/s，相同加速度a=10m/s2，间隔2 s时间先后出发，做匀减速运动（可以折返）, 求两物体将在何处、何时相遇？

12.从相距30 km的甲、乙两站每隔15 min同时以30 km/h的速率向对方开出一辆汽车.若首班车为早晨5时发车，则6时从甲站开出的汽车在途中会遇到多少辆从乙站开出的汽车？

★ 13. A球自距地面高h处开始自由下落（以初速度为

2

零，加速度为10m/s做匀加速运动），同时B球以初速度v0正对A球竖直上抛 （加速度向下，大小为10m/s2，做匀减速运动）空气阻力不计. 问：（1）要使两球在B球上升过程中相遇，则v0应满足什么条件？（2）要使两球在B球下降过程中相遇，则v0应满足什么条件？

14—16题为选做题：

14．甲、乙两车相距为s，同时同向运动，乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a2、初速度为v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系。

2

15.汽车以1m/s的加速度起动，同时车后60m远处有一人以一定速度V0匀速追赶要车停下．已知人在离车小于20m，且持续时间为2s喊停车，方能把停车信息传达给司机，问V0至少要多大？如果以V0=10m/s的速度追车，人车距离最小值应为多少？

16． 羚羊从静止开始奔跑，经过s1=50m的距离能加速到最大速度v1=25m/s，并能维持一段较长的时间。猎豹从静止开始奔跑，经过s2=60m的距离能加速到最大速度v2=30m/s，以后只能维持这个速度4.0s。设猎豹距离羚羊x时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0s开始奔跑，假设羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，问：(1) 猎豹要在达最大速度且未减速前追到羚羊，x值应在什么范围？ (2) 猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值应在什么范围？

【参考答案】

1、【解析】 设小球甲在光滑斜面上运动的加速度为a，运动时间为t1，运动到B处时的速度为v1，从B处到追上小

2

球乙所用时间为t2，则 ： a＝gsin 30°＝5 m/s 124h＝at1 得：t1＝＝0.2 s t2＝tsin 30°2a－t1＝0.8 s ， v1＝at1＝1 m/s ， v0t＋L＝v1t2代入数据解得： v0＝0.4 m/s.

2、【解析】 若A车在加速过程中与B车相遇，设运动

由时间为t，则：

h12

at=vBt，解得：t=2vB28 s=40 s＞30 2a0.4s，可见，A车加速30 s内并未追及B车.因加速30 s后，vA=12

m/s＞vB=8 m/s，故匀速运动过程中可追及B车.【答】C

3、【解析】 若A车在前匀速运动，B车在后匀加速追赶A车，两车等速时相距最远（间距大于s），故B车追及A车时必有vB＞vA，以后B车在前，两车间距逐渐增大，不可能再相遇. 若B车在前匀加速运动，A车在后匀速运动，若追及时两车恰等速，因以后vB＞vA，不可再次相遇，即只能相遇1次；但若A车追及B车时vA＞vB，相遇后A车超前，但由于B车速度不断增大，仍能再次追及A车，即能相遇2次. 4、解析：【方法一：公式法】画出汽车和自行车的行程草图如图所示，当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大．设经过时间t两车之间的距离最大．则有：

v自6

v汽＝at＝v自所以t＝＝ s＝2s

a31212

Δsm＝s自-s汽＝v自t-at＝6×2-×3×2m＝6 m

22

【方法二：图象法】画出自行车和汽车的速度－时间图象如图所示，自行车的位移s自等于其图线与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移s汽则等于其图线与时间轴围成的三角形的面积．两车之间的距离则等于图

中矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，当t＝t0时矩形与三角形的面积之差最大．v－t图象的斜率表示物体的

6

加速度,由a＝＝3得t0＝2 s 当t＝2 s时两车的距离

t0

1

最大：Δsm＝×2×6 m＝6 m

2

【方法三：二次函数极值法】设经过时间t汽车和自行车之

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②同理可求得：物体B减速到停下的时间内：S0+SB9、在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速【方法四：相对运动法】

度大小为2a的匀减速直线选自行车为参考系，则从开始

运动，而B车同时做初速度运动到两车相距最远这段过

为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要程中，以汽车相对地面的运动

使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件． 方向为正方向，汽车相对此参

【解析】 A、B车的运动过程(如右图)，利用位移公式、考系的各个物理量分别为：v0

212 ＝－6 m/s，a＝3 m/s，v＝0 速度公式求解．对A车有： xA＝v0t＋×(－2a)×t

2v－v00－(－6)

对汽车，由公式v＝v0＋at得t＝＝ s＝2 s 12a3vat，vB＝at A＝v0＋(－2a)×t对B车有： xB＝2222v－v0－(－6)022

又知：v－v0＝2as所以有s＝＝ m＝-6 m， 两车有：x＝xA－xB 追上时，两车不相撞的临界条件是 2a2×31232

间的距离为Δs，则： Δs＝v自t－at＝6t－t,当

22

2

6－6

t＝- ＝2 s时Δs有极大值：Δsm＝＝6m.

332×(－)4×(－)

22相距最远为6 m 【答案：2 s ， 6 m】

5、【解析】 两车速度相等恰追及前车，这是恰不相碰的临界情况，因此只要比较两车等速时的位移关系，即可明确是否相碰. 因快车减速运动的加速度大小为：

vA＝vB 联立以上各式解得v0＝6ax 故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤6ax.【答案】 v0≤6ax

10．解：因为二者均作匀减速运动，所以它们的V-t图都是直线，根据题意可作图五，图中阴影部分的面积即是甲、乙两车停下时它们的位移差S1。

v快202a=

2s22000t=

2 m/s2=0.1 m/s2.

故快车刹车至两车等速历时：

v快v货208 s=120 s.a0.1

该时间内两车位移分别是： s快=v快t-

121at=20×120 m-×0.1×1202 m=1680 m22

11S1V1t2V2t2

22

s货=v货t=8×120 m=960 m V1V2 t2 因为s快＞s货+s0=1560 m,故两车会发生相撞.

26、【解析】两车同时刹车，则两车将滑行相同的距离s

VVV2而停止，由于前车刹车停止后后车接着刹车，所以后车比前t22S11V2 车多运动的位移（即题中所求最小间距）即为前车刹车时间222内后车以原速运动的位移.由刹车过程的平均速度等于原速

的1/2，故前车刹车过程中，后车以原速运动的位移为2s. S ＜ S 1 S ＜ ( V 1  V 2 )V 2 时 , 它们相遇有共同的速度。当

7、【解析】 设在B车减速过程中A车追及B车，其间22历时为t，则：vAt=vBt-

12

1at+7，代入数据解得：t=7 s(取有如图中的点。此时的解是（由图可知）S(V1V2)t1

22vBV2VV1V(V1V2)2意义值).而B车减速至零，历时t0==5 s＜t，故上解错误.

t1 ； t1 ； 12 a2S2122v(v2a)7=8 s

正确的解答应为：vAt=B+7，所以：t=B(V1V2)V2时，此时的解由图可知 2a当S≥S，既S≥vA22

两车等速时间距最大，B车减速至A、B等速历时： t1=vBvA104 s=3 s，所以A、B两车最大间距为：

a2Δsm=vBt1-

2VV11V122

t22；SV1t1/V2t2；t11；2112S2V222211、【解析】 设第一物体出发t s后相遇，则：

121at1+7-vAt1=10×3 -×2×32 +7-4×3 m=16 m 228、【解】 ①物体B的减速到停下的时间为 tB=

vA1010=5 s在此时间内B前进了sB=v·tB=×5 a22ssB725vA4m=25 m； 这时A前进了 sA=vAtB=4×5 m=20 m

可见在此时间内A没有追上B，必须在B停止后，A才能追上B.故A追上B的时间为t=

s=8 s

11×10t2=30×(t-2)- ×10×(t-2)2解得：t=4 s, 221相遇位置x=30t-×10t2=40 m.

2s12、【解析】 每车在两站间运动时间t==1 h.当6时

v 30t-某车从甲站开出时，乙站的首发车已进甲站，此时路上已有3辆车在路途中，且乙站恰有一车待发.当该车行至乙站时历

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时1 h，乙站将又发出4辆车，故最多可有7辆车相遇. 将 a ＝ 1m/ s 代入上式并整理得 T －2V0T＋80＝0

13、【解析】 两球相遇时位移之和等于h.即： 设为该方程的两个根，由韦达定理有 T1＋T2＝2V0 ①

T1·T2＝80 ② h1212v0gt+(v0t-gt)=h所以：t=.而B球上升的时间：t1=，又因为人车相距20 m以内的时间至少持续2s，所以有

v022gT1－T2＝2 ③ 解①②③可得的最小速度为9m/s。

当V0＝10m/s时经过一段时间t后人车之间距离为 B球在空中运动的总时间： t2=2v0

222

d＝1/2aT ＋60－V0T＝1/2T －10T＋60＝1/2(T－10) ＋10 g∴当T＝10s时,d取得最小，即人与车的最小距离为10m。 (1)欲使两球在B球上升过程中相遇，则有：

方法二、已知人在离车小于20m，且保持时间为2s喊停车hv0 t＜t1,即＜ ， 所以v0＞gh 方能把停车信息转达到司机，那么题意就是当距离为20m

v0g后，再经过2s，距离仍然不超过这个范围。相当于人追赶

了车40m.所以有，vt-1/2at2=40 ① (2)欲使两球在B球下降过程中相遇，则有：

同时v(t+2）-1/2a (t+2)2=40 ② v0h2v0 t1＜t＜t2 即:＜＜ ②-①得 t=v/a+1 ③ 将③代入①得最小速度v = 9m/s.

ggv0如果10m/s，当然是车的速度也是10m/s的时候，距离最小。 所以最小距离=60-10*10-1/2*102=10m 2gh

方法三、因为人在离车距离小于20m.持续时间为2s喊停车.所以：＜v0＜gh

2才能把信息传给司机.经过时间t后人与车相距为20m

即 1/2at2+60-vot=20 此时车速为at ，接下来2s内保持14．解析 解法一（物理方法）：

20m距离即2＊vo=at＊2+1/2a＊22. 解得t=8s. vo=9m/s 由于两车同时同向运动，故有 v甲= v0+ a2t，v乙= a1t。

方法四、 根据题意，要在汽车的速度达到V之前，人与车 （1）当a1的距离小于20m，因为如果在汽车速度达到V的时候人车有v甲> v乙.。由于原来甲车在后，乙车在前，所以甲、乙两

的距离还大于20m，那汽车在加速，速度变得比人快，人车车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然追上乙车。

的距离就在变大了，永远超都追不上了，同时也不能等于，由于甲车追上乙车时v甲> v乙，所以甲超过乙后相距越来越

因为人在叫的时候要2秒，那会儿，汽车还在行进，我们的大，因此甲、乙两车只能相遇一次。

目标是要使人在叫的过程中人车的距离都要小于20m,既然（2）当a1= a2时，a1t= a2t，v甲> v乙，因此甲、乙两车也

这样那就分析当人叫完两秒的时候的情况。人距车的距离关只能相遇一次。

于t=v/a对称，也就是说t=v/a+1也就是t=v+1（因为a=1） （3）当a1>a2时，a1t>a2t，v甲和v乙的大小关系会随着运

时，人距车必须小于20米，有60+1/2*(v+1)^2-v*(v+1)<=20,动时间的增大而发生变化.。刚开始a1t和a2t相差不大且甲

解出v就o了 有初速度v0，所以v甲> v乙.。随着时间的推移，a1t和a2t相

方法五、根据判别式等于零来求解。（略） 差越来越大，当a1t-a2t= v0时，v甲= v乙，接下来a1t-a2t> v0，

16．解析： (1) 猎豹在达最大速度且尚未减速前追到羚羊，则有v甲即猎豹的运动只能是先匀加速运动后匀速运动。设猎豹在维若在v甲= v乙之前，甲车还没有超过乙车，随后由于v甲

持最大速度的时间t内追到羚羊，由题意知t≤4.0s。现在我们首先探索的问题是：当猎豹追上羚羊时，羚羊的运动情况若在v甲= v乙时，两车刚好相遇，随后由于v甲如何？为此，我们可先分别求出羚羊和猎豹做加速运动的加车又要落后乙车，这样两车只能相遇一次；

速度和时间。羚羊做加速运动的加速度为 若在v甲= v乙之前，甲车已超过乙车，即已相遇一次，随后由于v甲时，再相遇一次，则两车能相遇两次。

方法二(数学方法）： 设经过时间t两车能够相遇，由于

2

2

11s甲＝v0ta2t2， s乙＝a1t2，

22相遇时有s甲s乙s，则 (a1a2)t2v0t2s0，

2vv2(a1a2)s。 00所以 ta1a2v12252m/s2=6.25m/s2， a12s1250v125羚羊做加速运动的时间为 t1a16.25而猎豹做加速运动的加速度为

2v2302m/s2=7.5m/s2， a22s2260猎豹做加速运动的时间为

s=4.0s；

2（1）当a111（2）当a1= a2时，s甲s乙v0ta2t2a1t2v0ts，

22t2v230s=4.0s。 a27.5① 若猎豹刚达到最大速度时追上羚羊，则羚羊只加速了t’=3s，有x1s2s所以tv0若v0若v2.。t只有一个解，则相遇一次。

1a1t26016.2532m=32m 22 （3）当a1>a2时，

2(a1a2)s，t无解，即不相遇； 2(a1a2)s，t只有一个解，即相遇一次； 2(a1a2)s，t有两个正解，即相遇两次。

②若猎豹刚要减速时追上羚羊，则有

x2s2v2t(s1v1t)60+30×4-(50+25×3)=55m

1202若v015. 解：方法一、 设经过时间T人和车相距20m，则根据位移关系可得 60 m＋1/2aT²－V0T＝20m

由此可知，猎豹要在达最大速度且未减速前追到羚羊，x值应为 32m≤x≤55m。

(2) 羚羊刚要开始奔跑时，猎豹已前进的距离

11x3a2t27.512m=3.75m。由此可知。猎豹要在其加022速阶段追上羚羊，x值应为 3.75m≤x≤32m。

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