连续时间信号的傅立叶分析

f(t)为奇函数，T2，02T，复指数傅立叶

anjbn级数的系数Fn，

22T2其中anTT2f(t)cosn0tdt0，

2T241bnTT2f(t)sinn0tdtT0f(t)sinntdtt(0,0.5)2t,而f(t)

2t2,t(0.5,1)代人，得

bnnsin822n2，

F(n)4jn22sinn2

Steps：1.给定向量n；2.生成向量F(n)；3.求幅度谱用abs函数，相位谱用angle函数。 程序： N=10;

>> n1=-N:-1;c1=-4*j*sin(n1*pi/2)./(n1.^2*pi.^2); %这里一定是点除（即对应点相除：a./b就是向量a与向量b中对应元素相除）。 >> c0=0; %这里n=0时不能做分母 >> n2=1:N;c2=-4*j*sin(n2*pi/2)./(n2.^2*pi.^2); >> cn=[c1 c0 c2]; >> n=-N:N;

>> subplot(2,1,1);stem(n,abs(cn));ylabel('幅度谱') >> subplot(2,1,2);stem(n,angle(cn));ylabel('相位谱')

>> xlabel('omega')

一 实验目的：

1、用傅立叶变换分析求解非周期信号的频谱。 2、用傅立叶级数对周期信号进行频谱分析。 二．实验涉及的子函数： 1.linspace

功能：对向量进行线性分割。

调用格式：t=linspace(a,b,n); 在a和b之间均匀地产生n个点值，形成1n元向量。（这n个点包括两个端点a和b，在a和b之间共有n-1个均匀间隔，每段间隔的大小为（（b-a）/(n-1)）。 三．实验原理：

1．一个非周期连续时间信号f(t)，其频谱可由傅立叶变换求得：

jwtdt （1） F(w)f(t)e其逆变换表达式为：

1 f(t)2F(w)ejwtdw （2）

连续时间信号用计算机程序处理时，首先要将信号离散化，对非周期信号将信号非零的部分分为N份，此时，原来的连续时间信号实际上已经转化为离散信号了。再根据上述公式进行编程。 2. 一个周期为T的周期性连续时间信号f(t)，如果满足狄利克雷条件，则可通过傅立叶级数求得其频谱：

1T F(n)2Tf(t)ejnwtdt （3）

T20

其逆变换表达式为： f(t)nF(n)ejnwt （4）

02其中w0

T处理周期信号时，一般把一个周期作为窗口显示的内容，将其分为N份。

四．程序设计思想：

1.非周期信号傅立叶变换的编程实现（即公式（1）的实现）： 按照matlab作数值计算的要求，必须把t分成N份，用相加来代替积分，对于任一给定的w（即固定w），公式（1）可写成：

F()nf(t)en1f(t1),Njtnteejtf(tN)Mjtejt12f(t2),L,Nt（5）

这里t是t的增量，在程序中用dt来代替。 虽然非周期信号f(t)的频谱

F()是关于的连续函数，但

是计算机处理的结果应该是对一系列不同的

求出一系列离散

的

F()值；由于求解一系列不同的处的F()的值都

设成一个行向量。

F(2),L,F(N) 设F(w)F(1),是使用同一公式（5），所以可以把则：

F()F(1),F(2),,F(N)eeejtejtf(t1),f(t2),,f(tN)jtjtee1111j1t1j2t1e2121jtetjteN1N1jNt1f(t1),f(t2),,f(tN)e若令

t1t2j12NtNtff(t1),f(t2),,f(tN)，

tt1,t2,,tN1,2,,N，则：

F()f*exp(j*t*)*t。

例题1：设一非周期方波信号x(t)的脉冲宽度为1ms，信号持续时间为2ms，在0~2ms区间外信号为0，如下图所示。

（1） 试求其含有20次谐波的信号的频谱特性。

（2） 求其傅立叶逆变换的波形，与原时间信号的波形进行比

较。

x(t)10.90.80.70.60.50.40.30.20.1000.20.40.60.811.21.41.61.82

分析：虽然这里是非周期信号，但如果将信号非零区间看作一个显示窗口看作一个周期T，则基波频率（简称为基频）（即一次谐波的频率）为f1=1/T，基波角频率w=2*pi/T=2*pi*f1，欲求含有20次谐波的信号频谱特性，可以在-20*f1~20*f1（或是在-20*w~20*w）这个频率范围内进行频率分割。 程序：

%非周期矩形脉冲的频谱

T=2;f1=1/T;N=256; t=linspace(0,T,N); dt=T/(N-1);

x=[ones(1,N/2),zeros(1,N/2)];f=linspace(-20*f1,20*f1,N); w=2*pi*f;

X=x*exp(-j*t'*w)*dt; subplot(1,2,1),plot(f,abs(X)),grid title('幅度谱') dw=(40*2*pi*f1)/(N-1); x2=X*exp(j*w'*t)/(2*pi)*dw; subplot(1,2,2),plot(t,x,t,x2),grid title('原信号与傅立叶逆变换')

2.周期信号的频谱：

对周期信号进行频谱分析，就是根据傅立叶级数的公式编程 例题2 设一时域周期方波x(t)，幅度E=1.2V，周期T=100us，脉冲宽度与周期之比为

1，时间轴上采样点数取1000点。

2T（1）试求其含有20次谐波的信号的频谱特性。

（2）求其傅立叶逆变换的波形，与原时间信号的波形进行比较。 解：取窗口长度为0~T，信号x(t)复指数傅立叶系数的计算公式：

1TX(n)0x(t)ejntdt

T其中2/T

jnt x(t)nX(n)e2020傅立叶级数逆变换为：

程序：

% 周期信号的频谱

T=100;f1=1/T;N=1000; %输入信号的周期，频率，和采样点 % 进行时间分割，在0-T 间均匀的产生N点，每两个点的间隔

为dt

t=linspace(0,T,N); dt=T/(N-1);

x=1.2*[ones(1,N/2),zeros(1,N/2)]; %建立时间信号x(t) %进行频率分割，-20~20次谐波间产生n点 n=[-20:20]; w1=2*pi*f1;

>> X=x*exp(-j*t'*n*w1)*dt/T; >> subplot(1,2,1),stem(n,abs(X)),grid >> title('周期矩形脉冲的幅度频谱') >> x2=X*exp(j*n'*w1*t); >> subplot(1,2,2),plot(t,x,t,x2),grid >> title('原信号与傅立叶逆变换')