伏安法测微安表表头内阻——等精度测量方法

1 实验原理

图1为伏安法测表头内阻的原理图，其中Rg为待测表头,V为较高精度的电压表。测量时，调节滑线变阻器RH使被测表头的示值I为的某一个值，并记录电压表的值V，则表头的内阻为：RgV (1)

I 图1 伏安法测表头内阻的原理

KRERHVRg2 测量方法与误差分析

伏安法测表头内阻的测量方案可分为等精度测量和非等精度测量两种。等精度测量方案的操作方法为：保持待测表头的示值I(电压表精度比待测表头的精度高，若不然应选择保持电压表的示值V)不变，改变R和RH，使电压表V和和被测表头I示值都尽可能满偏,次并记录相应示值时的V与I, 连续测量n。

对于等精度测量方案的处理方法为：取n次测量的平均值作为表头内阻的最佳估计值： 1nRgRgi (2)

ni1表头内阻测量总不确定度可分为A类不确定度和B类不确定度。A类不确定度可按贝塞尔函数求得：

A标（RiRg) (3)

(n1)3：

2B类不确定度可取n次测量中仪器误差的最大值的1/B(Rg)max/3Rg3(V2)(I)2 (4) VminImin其中：VfV%VM,IfI%IM,Vmin和Imin为实测值的最小值。 这样，合成不确定度按方和根合成为：

22RgAB (5)

3 实验条件的确定及电路参数的确定

由（4）式，知为了提高测量精度，选用尽可能高精度的fV和小量程的Vm；测量时，使 V和I尽可能满偏。由已知条件可得待测表头两端最大电压约为300mV ,故可选精度等级为0.5级的C65型多量程直流电压表作为标准电压表取其量程为UM300mV，由于C65型多量程直流电压表量程为300mV时，其内阻为300，为了使滑线变阻器的调节特性较好，可选R1000，取E=1V

4 实验结果数据处理

根据上述确定的电路参数进行等精度测量，得到的测量结果见表1。 由(3)式可求得Rg＝2438.8；由(4)式得A类不确定度A223；由(5)式可得

B类不确定度

B17，合成不确定度为RgAB17。

故微安表内阻的测量结果为：

RgRgRg（2.4390.017）103 (6)

ErRgRg100%0.7% (7)

表1等精度测量结果

1 100.0 243.25 2432.5

2 100.0 244.50 2445.0

3 100.0 244.00 2440.0

4 100.0 244.25 2442.5

5 100.0 243.50 2435.0

6 100.0 243.75 2437.5

I/A

U/mV

Rgi/

结论： 由（7）式可知Er0.7%2%，满足设计要求，故此方案可行。

伏安法测微安表表头内阻——非等精度测量方法

1 实验原理

图1为伏安法测表头内阻的原理图，其中Rg为待测表头,V为较高精度的电压表。测量时，调节滑线变阻器RH使被测表头的示值I为的某一个值，并记录电压表的值V，则表头的内阻为：RgV (1)

I 图1 伏安法测表头内阻的原理

KRERHVRg2 测量方法与误差分析

伏安法测表头内阻的测量方案可分为等精度测量和非等精度测量两种。非等精度测量方案的操作方法为：改变R和RH,，使待测表头的示值I(电压表精度比待测表头的精度高，若不然应选择保持电压表的示值V)按一定间隔变化，并记录相应示值时的V与I，连续测量n次。

此时的处理方法有加权平均法和拟合直线方程法，下面分别加以介绍。

对于加权平均法，设测得在不同电流、电压示值下的n组测量值为(Vi,Ii)，可算得n个

RgiRgi(V2)(I)2ViIi电阻值

Rgi，各个

Rgi的不确定度为，由各次测量电阻的权因子反比于

其不确定度的平方，可出求其归一化权为：

Ii221111Ii当I0时 wi/2/222222RgiRgiIi2VIVi2VIVi442当V0时 22IiIiIiIiIi 由上式可知，权因子正比于电流（或电压）读数的平方，小偏转时不确定度大，权因子小，对结果的贡献小；而电流表（或电压表）接近满偏时不确度小，权因子最大，对结果的贡献大。故可用待测表头内阻的加权平均值作为表头内阻的最佳估计值：

RgwiRgii1n (2)

通过类似贝塞尔式的证明[2]，可求得加权平均的标准偏差为：

标w(RgiiRg)2 (3)

n1可用（9）式作为表头内阻的A类不确定度的估计。 文献[2]并没有给出表头内阻的B类不确定度，实际求解合成不确定度时，若按(9)为作合成不确定度，与等精度测量方案求得的合成不确定度相比相差太大，明显不合理。考虑到实际仪器误差中权因子的分布情况，见(7)式，笔者提出以n次测量中仪器误差的加权平均值的1/3为作表头内阻的B类不确定度： B13wRgii (4)

这样，合成不确定度按方和根合成为：

RgAB22 (5)

对于直线拟合法，设测得在不同电流、电压示值下的n组测量值为(Vi,Ii),可用过原点的直线VaI来拟合。此时可用拟合直线的斜率作为表头内阻的最佳估计值：

IVRgaIi2ii (6)

拟合直线的斜率的标准偏差作为表头内阻的A类不确定度：

ASa(ViaIi)2 (7)

(n1)Ii2由于加权平均法和拟合直线方程法两种方法求得的A类不确定度是等价的，故这两种方法求得的B确不确定度也近似相等。由

ViaIi(i=1,2…n)，得当n时有VaI，故

aVI，从而：

VV)2(II)2a(V2)(I)2V1/2I1/2aa( 实质为拟合直线1/2处的仪器误差。若以上

其中V1/2、

I1/2为拟合直线1/2处的坐标，故

a式求得的a/3作为直线拟合法的B类不确定度，由于测量次数n一般有限，求得的结果与按（4）式求得的结果相差较大。考虑到实际测量次数n有限和仪器误差中权因子的分布情况，笔者提出以拟合直线2/3处的仪器误差的1/3为表头内阻的B类不确定度：

B

Rg3(V2)(I)2V2/3I2/3 (8)

其中:

VfV%VM,IfI%IM,22Rga,I2/32(IminImax)/3,V2/3aI2/3。

这样，合成不确定度按方和根合成为：

RgAB (9)

3 实验条件的确定及电路参数的确定

由（4）式，知为了提高测量精度，选用尽可能高精度的fV和小量程的Vm。由已知条件可得待测表头两端最大电压约为300mV ,故可选精度等级为0.5级的C65型多量程直流电压表作为标准电压表取其量程为UM300mV，由于C65型多量程直流电压表量程为300mV时，其内阻为300，为了使滑线变阻器的调节特性较好，可选R1000，取E=1V

4 实验结果数据处理

根据上述确定的电路参数进行等精度测量，得到的测量结果见表2。

当采用加权平均处理时，由(2)式可求得

Rg＝2439.4； 由(3)式得A类不确定度

A2；由(4)式可得B类不确定度B21；合成不确定度为

RgAB2122。

故微安表内阻的测量结果为：

RgRgRg（2.4390.021）103ErRgRg100%0.9% (10)

(11)

表2 非等精度测量结果

1 20.0 49.50 2475.0 144.70 1.33

2 40.0 98.00 2450.0 71.82 5.32

3 60.0 146.50 2441.7 47.76 11.96

4 80.0 195.25 2440.6 35.81 21.26

5 90.0 219.50 2438.9 31.81 26.91

6 100.0 243.50 2435.0 28.60 33.22

I/A

U/mV

Rgi/

Rg/

wi/%

当直线拟合处理时，用Origin软件对表2中实测数据进行过原点直线拟合，得到的拟合直线及拟合参数见图2。

250.00V/mV 实验数据Data: Data1_BModel: LineEquation: y = A + B*xWeighting: yNo weighting Chi^2/DoF= 0.1821R^2= 0.99997 A0±0B2439.36877±2.45965200.00150.00100.0050.000.020.040.060.080.10图2 过原点直线拟合结果I/mA

由图2可得

Rg＝2439.4( 按(6)式算得2437.749)； 表头内阻的A类不确定度

A2(按(7)式算得2.563)；由(8)式可得B类不确定度B21；合成不确定度为

RgAB2122。

故微安表内阻的测量结果为：

RgRgRg（2.4390.021）103Er

(12)

RgRg100%0.9% (13)

结论： 由（11）或（13）式可知Er0.9%2%，满足设计要求，故此方案可行。

替代法测微安表内阻——串联替代法

1 实验原理

串联替代法的实验原理图见图一，其中Rg为表头内阻，uA为高精度的标准微安表。测量时, 先闭合K1，将K2置于1处，调节R使被测表头在某较大示值处（注：被测表头的指针不能超过量程）,记录标准表的记数I；然后将K2置于2处，保持R1不变，调节R2，使标准表指在原来位置上，则有R2=Rg。

2 测量方法与误差分析

本实验采用等精度测量方案的操作方法为：改变R和RH或者改变E，使标准微安表的电流示值都在n次测量中相同, 连续测量n。

取n次测量的平均值作为表头内阻的最佳估计值： 1nRgR2i (1)

ni1表头内阻测量总不确定度可分为A类不确定度和B类不确定度。A类不确定度可按贝塞尔函数求得：

A标（R2iRg) (2)

(n1)2B类不确定度为：

把图一电路，通过戴维南等效为电压源电路,见图二设当串被测表时，标准表读数为I，串电阻箱R2时，标准表读数为I，则有：

I(R0rgRg)I(R0rgR2),令

In1，整理得： I(R0rgRg)n(R0rgR2)RgnR2(n1)(R0rg)R2

由上式两边取微分得：

dRgndR2(R2R0rg)dn(n1)dR0(n1)drg

因为n1，所以n1是一个无穷小量，则(n1)dR0和(n1)drg是二级无穷小量，可以忽略,则上式变为：BRg(nR2)2((R2R0rg)n)2

其中：R20.1%R2,nn21IIn210.3%IM,I是电流表的灵敏

I阈，为标准电流表精度等级，IM为电流表量程。代入上式得：

BRg(0.1%R2)2((R2R0rg)2这样，合成不确定度按方和根合成为：

0.3%IM2)I

22RgAB (5)

3 实验条件的确定及电路参数的确定

由（4）式，知为了提高测量精度，应使R0、rg尽可能小，故控制电路应用分压接法；。测量时，应使I尽可能大；选用高精度电流表(I小)作为标准。故选精度等级为0.5级的C31-μA多量程直流微安表作为标准电流表取其量程为100uA。取R00， E=1V。 4 实验结果数据处理

根据上述确定的电路参数进行等精度测量，得到的测量结果见表1。

表1 次数 表头和电阻箱互换前后，标准表读数(uA) 1 100.0 2 100.0 3 100.0 4 100.0 5 100.0 6 100.0 电阻箱R（） 2420.0 2424.0 2433.0 2432.0 2424.0 2434.0 RH位置（%） 20 2420.0 20 2424.0 20 2433.0 20 2432.0 20 2424.0 20 2434.0 R（ g） R（g）2427.8 84.3 2R() 标准偏差：AB类不确定度：

（RiRg)n15.9

B(0.1%2427.8)2((2427.8所以，合成不确定度为Rg2104*4160.30.5%10021200)2)8.25201002AB10

微安表内阻的测量结果为：

RgRgRg(2.430.01)103

ErRgRg100%0.4% (6)

结论： 由（6）式可知Er0.4%2%，满足设计要求，故此方案可行。

半偏法测微安表内阻——并联半偏法

1 实验原理

并联半偏法的实验原理图见图一，其中Rg为表头内阻，V为高精度的标准毫伏表。测量时, 1）将滑线变阻器（RH）置于安全输出状态，闭合K1，K2，再缓慢改变RH，使微安表电流满偏，并记住毫伏表的电压读数。2）断开K2，保持毫伏表电压读数不变，调节R2, 直到微安表电流半偏，此时Rg=R2

2 测量方法与误差分析

本实验采用等精度测量方案，在相同的实验条件下重复测量n次。 取n次测量的平均值作为表头内阻的最佳估计值： 1nRgR2i (1)

ni1表头内阻测量总不确定度可分为A类不确定度和B类不确定度。A类不确定度可按贝塞尔函数求得：

A标（R2iRg) (2)

(n1)2B类不确定度为：

设闭合K1，K2,且被测微安表满偏时，微安表读数为I1，标准毫伏表表读数为U1；当断开K2，保持毫伏表电压读数不变，调节R2, 直到微安表电流半偏串电阻箱R2时，微安表读数为I2，标准毫伏表表读数为U2，则有：

U1I1Rg （3） U2(RgR2)I2 （4）

由（3）（4）式可得：

RgUIU1I1，令1n11,1n22则有： U2I2U2I2RgR2n1n2dRgRgRgRgR2，整理得：Rgn1R2R2，两边取对数再取微分，整理得：

n2n1(dn2dR11)dn12，故有： n1n2n1n2n1R2n22R11)n1)2()(2)2 n1n2n1n2n1R2BRgRg((其中：

R20.1%R2;

n1n121UUn1210.3%UMU为标准电压表精度,是电压表的灵敏阈，

U等级，UM为电压表量程; n22n21II2n210.3%IMI,是电压表的灵敏阈，为标准电i流表精

I度等级，IM为电流表量程。代入上式得：

BRgRg(220.3%UM20.3%IM2)(5)(0.1%)2 (5)

UI这样，合成不确定度按方和根合成为：

22RgAB (6)

3 实验条件的确定及电路参数的确定

由（5）式，知为了提高测量精度，测量时，应使U、I尽可能大,标准电压表的量程尽可能小；选用高精度电流表(I小)作为标准。故选精度等级为0.5级的C65型多量程直流电压表作为标准电压表取其量程为UM300mV，由于C65型多量程直流电压表量程为300mV时，其内阻为300，为了使滑线变阻器的调节特性较好，可选R11000，取E=1V.。

4 实验结果数据处理

根据上述确定的电路参数进行等精度测量，得到的测量结果见表1。

表1

次数 U（mv）表头半偏时1 242.75 2 242.75 3 242.75 4 242.50 5 243.00 6 243.00

R2() R（ g） R（g）2470.0 2460.0 2470.0 2440.0 2440.0 2450.0 2470.0 2455 242.8 2460.0 2470.0 2440.0 2440.0 2450.0 U(mV)

标准偏差：标B类不确定度：

（RiRg)n1214

BRg(220.30.5%30020.31%1002)(5)(0.1%)221

242.8100所以，合成不确定度为Rg微安表内阻的测量结果为：

AB25

22RgRgRg(2.4550.025)103

ErRgRg100%1% (6)

结论： 由（6）式可知Er1%2%，满足设计要求，故此方案可行。

参考文献：

[1] 王华等 大学物理实验［Ｍ］．华南理工大学出版社，2008.2

[2] 朱鹤年．物理实验研究［M]．清华大学出版社，1994 [3] 李震春,曾卫东．左卫群“伏安法测表头内阻”数据处理方法的探讨[J].河池学院报, 2007.5 [4] 王吉有 原安娟．替代法测量微安表内阻的不确定度分析[J] ．大学物理实验，2006.9 [5] 刘竹琴，杨德甫. 用开关代替灵敏电流计测量电流表的内阻[J] ．物理实验，2008.9