生母与继父离婚后继父不是一定应该承担子女抚养费的。如果生母与继父离婚，且子女不再与继父共同生活的，该子女与继父之间的拟制血亲关系解除，继父无需再承担子女的抚养费。如果子女继续与继父共同生活的，继父应当承担子女的抚养费。
一、孩子不是自己的能够争取抚养权吗
孩子不是自己的，当事人能够争取抚养权。以继子女为例，生父与继母或生母与继父离婚时，对曾受其抚养教育的继子女，继父或继母不同意继续抚养的，一般仍应由生父母抚养。但是如果继父母明确表示愿意抚养继子女的，继子女也愿意让继父母抚养的，则法院也可以直接把子女判给该方抚养。
二、非婚生子女归谁抚养
根据我国法律规定，对非婚生子女的抚养应遵循这样一个原则：非婚生子女同婚生子女一样，同是父母双方的子女，应由父母双方共同承担抚养教育的义务。
实践中，有这样几种情况：
1、非婚生子女由生母实际抚养，非婚生子女的生父应负担子女必要的生活费和教育费的一部或全部，直至子女能独立生活为止。
2、非婚生子女的生母与他人结婚的，若继父愿意负担子女的生活费和教育费的一部或全部的，则生父的抚养费和教育费可酌情减少或免除。若继父不愿意负担，则生父应支付的抚育费不能减免。
3、当非婚生子女的生父母将孩子送与他人收养时，那么孩子与收养人之间形成法律拟制的父母子女关系，这时，非婚生子女由养父母抚养，其与生父母之间的权利义务关系解除，其生父母不再负担抚养义务。
4、非婚生子女的生父要求子女与其共同生活，即要求实际抚养子女时，可与子女的生母协商解决。协商不成，可请求法院作出处理。
三、如何认定孩子是否与继子女有扶养关系？
与继子女的抚养关系的界定可以参照下列标准：
1、继子女的生父或生母与继父或者继母再婚时继子女尚未成年；
2、继子女在生父或生母再婚后与继父或者继母共同生活，继父母或者继母对继子女进行了抚养；或者继父或者继母没有与继子女共同生活，但承担了继子女全部或部分抚养费用。形成抚养关系的继子女，属于第一顺位继承人。
【本文关联的相关法律依据】
《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条
父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。
离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。
离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。
《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第五十四条
生父与继母离婚或者生母与继父离婚时，对曾受其抚养教育的继子女，继父或者继母不同意继续抚养的，仍应由生父或者生母抚养。