冲到家里打人情节严重的构成故意伤害罪。一般来说要看案件类型、伤者的伤害后果确定。
1、如果是轻微伤：对方应负行政责任，可能受到治安处罚、罚款，情节严重的还可能涉及到行政拘留，如果给受害人造成损失的，还需要赔偿受害人的民事损失，承担民事责任；
2、如果是轻伤：对方有刑事责任、民事赔偿责任。
3、如果是重伤：一般应由检察院提起公诉、受害人提起附带民事赔偿诉讼。
法律依据:
《中华人民共和国治安管理处罚法》 第四十三条 殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处5日以上10日以下拘留，并处200元以上500元以下罚款;情节较轻的，处5日以下拘留或者500元以下罚款。有下列情形之一的，处10日以上15日以下拘留，并处500元以上1000元以下罚款：
(一)结伙殴打、伤害他人的；
(二)殴打、伤害残疾人、孕妇、不满14周岁的人或者60周岁以上的人的；
(三)多次殴打、伤害他人或者一次殴打、伤害多人的。