误差分析的重要性
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发布时间：2022-04-23 08:50
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时间：2022-06-18 14:33
在数值分析中，一般不讨论“模型误差”和“观测误差”。数值分析只研究用数学方法求解数学模型产生的误差，主要包括算法的截断误差和舍入误差。
当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。如果用泰勒多项式Pn（x）近似代替函数f（x），即
地球物理数据处理基础
则数值方法的截断误差是
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可见截断误差与算法的收敛性有关。如用泰勒多项式Pn（x）代替函数f（x），计算时要确定n。若n越大误差越小，则算法是收敛的；反之，若随着n的增大，截断误差随之增大，则称算法是发散的。
在用计算机进行数值计算时，由于计算机内存的字长有限，原始数据在计算机内部的储存会产生误差，计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差。例如，用3.14159近似代替π，产生的误差R＝π－3.14159＝0.0000026…，R就是舍入误差。在大型计算中运算次数太多，舍入误差一般很难估计，为此引入算法稳定性的概念。我们把运算过程舍入误差不增长的计算公式称为数值稳定的。这样，对于数值稳定的计算过程，可以不去估计具体的舍入误差，只是分析计算过程的数值稳定性，因而对运算过程中的误差积累问题进行定性分析是有重要意义的。
由此可见，在数值分析中除了研究数学问题的算法外，还要研究计算结果的误差是否满足精度要求，这就是误差估计问题。
下面举例说明误差分析的重要性。
［例］计算积分In＝e－1∫10xnexdx，n＝0，1，…，并估计误差。
解：由分部积分法可得计算In的递推公式：
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（1）算法A（顺序递推法）
首先算出I0＝e－1∫10exdx＝1－e－1，即要算出e－1，可用泰勒多项式展开，取n＝7以前各项的和，并且精确到4位小数，计算得到e－1≈0.3679。
截断误差 计算过程中小数点后的第5位数字按四舍五入原则取舍，由此产生的舍入误差不作讨论。当取初值为 时，递推公式为
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计算结果如表2－1的 列，即
表2－1 两种算法计算结果
利用积分估计可知 而表2－1中 出现负值，显然是不正确的。这里计算公式与每步计算都是正确的，那么什么原因使计算结果错误呢？主要是初值 有误差 由此引起以后各步计算的误差为
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容易推出
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这说明 有误差e0，则 就有e0的n！倍误差。例如n＝8，若 则｜e8｜＝8！×｜e0｜>2，这就说明 完全不能近似I8了。
（2）算法B（逆序递推法）
现在换一种计算方案，取n＝9，得
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我们粗略取 然后得倒序递推公式
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计算结果见表2－1的 列。我们发现 与I0的误差不超过10－4。由于 比 缩小了n！倍。因此，尽管 较大，但由于误差逐步缩小，故可用 近似In，此例说明我们应重视计算过程中的误差分析。
