同余问题解题技巧是什么？
发布网友
发布时间：2022-04-20 23:36
共1个回答
热心网友
时间：2023-07-02 04:07
在作除法运算时，我们有这样的经验：
（1）一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有
5×1+3=8，
5×2+3=13，
5×3+3=18，
5×4+3=23，
…………
（2）一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，3分别除以5、7和11会得到相同的余数4.
3÷5=77……余4，
3÷7=55……余4，
3÷11=55……余4.
由此，我们可以来讨论下面的两个问题.
某数被5除余4，被7除也余4，被11除还余4.要求某数和某数最小是多少？读者一定会想到有：
5×7×11+4=3，
5×7×11×2+4=774，
5×7×11×3+4=1159，
…………
答案有无数多个，但最小的只能是3.
现在，我们把这个问题上升到一般形式.
问题一某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少？聪明的读者，能得出答案吗？
需要请读者注意的是，382、767、1152分别除以5、7和11所得的余数2、4、8，虽然都不相同，但是都与相应的.除数相差同样多.即
5-2=3，
7-4=3，
11-8=3.
于是，我们也可以提这样的问题：
某数被5除余2，被7除余4，被11除余8.问某数是多少和某数最小是多少？读者一定会想到是
5×7×11×1-3=382，
5×7×11×2-3=767，
5×7×11×3-3=1152，
…………
答案有无数多个，但最小只能是382.
这个问题的一般形式是：
问题二某数分别除以a、b、c、……得数相应的余数分别是A、B、C、……，并且，这些余数跟相应的除数都相差同样多（也设为k），即
a-A=b-B=c-C=……=k. 求某数最小是多少？聪明的读者，能得出答案吗？
【规律】
某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少？答案是
[a，b，c，……]+k.
某数分别除以a、b、c、……，得到相应的余数A、B、C、……，并且这些余数跟相应的除数都相差同样多（设为k），即
a-A=b-B=c-C=……=k.求某数最小是多少？答案是
[a，b，c，……]-k.
【练习】
1.某数分别除以3、5和7，都有相同的余数2.求某数最小是多少？（2除外）
2.某数被5、6、7除，都得到相同的余数1.问某数在1000以内有哪几个答案？
3.某数用5除余3，用7除余5，用9除余7，用11除余9.求某数最小是多少？
4.某数分别用5、7、9和11除，刚好都是差3才能整除.求某数最小是多少？
5.某数被2000除，余1993；被1999除，余1992；被1998除，余1991.求某数最小是多少？
