频率域重磁异常转换
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发布时间：2022-04-22 00:38
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时间：2023-10-01 00:29
在频率域中进行异常转换，关键在于推导或设计出各种换算的频率响应ϕ（ω），也称为转换因子。下面介绍几种常用的重磁异常转换
1.空间换算
设场源位于z＝H平面以下（H＞0），则重磁场为在z＝H平面以上对x，y，z的连续函数，具有一阶、二阶连续可微的导数，若 z＝0观测平面上的磁场T（x，y，0）为已知，则由外部狄利克莱问题，向上延拓公式为
勘探重力学与地磁学
设T（x，y，z）对于变量（x，y）的傅里叶变换为ST（u，v，z），可得
勘探重力学与地磁学
则
勘探重力学与地磁学
利用（10-128）式，若已知T（x，y，0）即可求出其频谱ST（u，v，0）。
向上延拓的权系数为
，应用Erdelyi（1954年）给出的积分变换表可以得到其转换因子为
勘探重力学与地磁学
当z＜0时上式成立。由（10-129），（10-130）式并应用褶积定理得
勘探重力学与地磁学
上式对于z≤0成立。
T（x，y，z）是ST（u，v，z）的反傅里叶变换，即
勘探重力学与地磁学
（10-132）式即为向上延拓的频谱表达式。
（10-132）式表明，由z＝0平面上的重磁场值，求出它的傅里叶变换ST（u，v，0），由它乘以延拓因子
（-∞＜z＜H，z＞0时是向下延拓，z＜0时向上延拓），然后通过反傅里叶变换，即可求出z＜H空间磁场的表达式。
对二度体重磁异常，可写出当z＜0时
勘探重力学与地磁学
先求T（x，0）的傅里叶变换
勘探重力学与地磁学
在观测平面上z＝0，有
勘探重力学与地磁学
再求
的傅里叶变换，可以得到
勘探重力学与地磁学
最后应用褶积定理有
ST（ω，z)＝ST（ω，0）e2πωz（z≤0成立） （10-134）
设T（x，z）是ST（ω，z）的反傅里叶变换，即
勘探重力学与地磁学
上式即为二度体磁场的频谱表达式。
利用（10-134）式，首先由z＝0平面上的重磁异常值求出其傅里叶变换ST（ω，0），再乘以它的延拓因子e2πωz即得距原平面为z的上半空间平面上的重磁异常频谱，最后利用反傅里叶变换式（10-135）式，即可求得上半空间z平面上的重磁异常。
2.导数换算
设SZx（u，v，z），SZy（u，v，z），SZz（u，v，z）及SZxx（u，v，z），SZyy（u，v，z），SZzz（u，v，z）分别为ΔZ（x，y，z）对x，y，z的一阶导数及二阶导数的频谱，则由微分定理可以得到
勘探重力学与地磁学
勘探重力学与地磁学
勘探重力学与地磁学
式中：SZ（u，v，0）为ΔZ（x，y，0）的频谱。
同理，可以得到
勘探重力学与地磁学
勘探重力学与地磁学
勘探重力学与地磁学
由此可知，导数换算的转换因子分别为i2πu，i2πv，
，（i2πu）2，（i2πv）2，
。
如果求磁场的m阶垂向导数的频谱，n阶沿x方向水平导数及l阶沿y方向的导数的频谱，［即求
的频谱］，转换因子为
勘探重力学与地磁学
重磁场导数的频谱表达式为
勘探重力学与地磁学
勘探重力学与地磁学
3.各分量之间的换算
由磁场与磁位的关系可以得到磁场各分量之间的关系式：
勘探重力学与地磁学
上列式中的t0为地磁场方向的单位矢量。
若设
，
，SΔZ（u，v，z），以及SΔT（u，v，z）分别为ΔHx（x，y，z），ΔHy（x，y，z)，ΔZ（x，y，z）及其ΔT（x，y，z）的频谱。利用频谱微分定理可得到上列场各分量导数在频率域内相应的换算关系式：
勘探重力学与地磁学
勘探重力学与地磁学
式中：
；l0，m0，n0为地磁场单位矢量t0的方向余弦。
利用（10-99）式，除以原分量的方向余弦，再乘以新分量的方向余弦即可得到新分量的频谱式：
勘探重力学与地磁学
这里的l1，m1，n1和l2，m2，n2分别为原分量和要换算到的新分量的方向余弦。
4.不同磁化方向之间的换算
由（10-98）式可以导出：
勘探重力学与地磁学
式中：α1，β1，γ1为原磁化方向的方向余弦；α2，β2，γ2为新磁化方向的方向余弦（磁化方向即为磁化强度方向）。
（10-140）式适合于转换到任意磁化方向。若要转化到垂直磁化，需要令α2＝β2＝0，γ2＝1，此时转换因子为
勘探重力学与地磁学
对ΔT来说，化到垂直磁化的垂直磁异常最便于解释推断。为此需要考虑将ΔT转换为ΔZ，再将ΔZ转换为Z⊥，同时要考虑进行磁化方向的转换。也就是说，要将ΔT化到垂直磁化的垂直磁异常进行解释，需要综合考虑磁化方向和分量转换两个方面。经两种换算后可求得ΔT化到磁极的转换因子为
勘探重力学与地磁学
由于这种转换相当于将ΔT换算到地磁极的地磁场状态，故称为化到磁极。
在一般情况下，磁化方向与地磁场方向一致，
与
相同，故ΔT化到磁极因子为
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5.磁源重力异常
由泊松公式
勘探重力学与地磁学
可导出垂直磁化时磁位U⊥与磁源重力异常的关系：
勘探重力学与地磁学
勘探重力学与地磁学
将上式转换到频率域，并设化到垂直磁化时磁位及磁源重力异常的频谱为
与Sg（u，v，z）。对ΔT而言，U⊥相当于ΔT经化磁极运算得到ΔZ⊥，再利用频谱微分定理关系式
勘探重力学与地磁学
则可求得SU⊥。最后得到由ΔT（u，v，z）求Sg（u，v，z）的转换因子为
勘探重力学与地磁学
为使计算简单，常令泊松比
。
6.频率域重磁场转换的一个通式
分析上述换算方法我们发现，频率域中的各种换算都以乘上一个因子的形式出现，因此我们可以将上述几种换算综合起来，用一个统一的公式来表示。如果假设ST1（u，v，0）为观测面上某一观测方向上的磁场分量的频谱，ST2（u，v，z）为经过空间换算、导数换算、分量换算和磁化方向换算后的磁场任一分量的频谱，则有关系式
勘探重力学与地磁学
式中：
为磁化方向换算因子；
为分量换算因子；（i2πu）n，（i2πv）l，
为导数换算因子；
为空间换算因子。
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。各换算因子的含义同前所述。
作为频率域重磁场转换通式的应用，下面给出一个由ΔT异常换算到新磁化方向情况下的
、和它们对z的一阶导数，以及磁源重力异常的频谱关系式
勘探重力学与地磁学
式中：ST（u，v，0）为ΔT（x，y，0）的频谱，
分别为换算到新磁化方向后的
和磁源重力异常g的频谱；
；l0，m0，n0为地磁场方向余弦。其他各量意义同前。
应用（10-145）式需注意以下几个问题：
（1）当换算到垂直磁化时，则令α2＝β2＝0，γ2＝1，也即
。
（2）当不转换磁化方向仅作延拓、分量换算及导数换算时，则可令α1＝α2，β1＝β2，γ1＝γ2，即
。
（3）当已知的异常值是垂直分量ΔZ（x，y，0）时，只要将ST（u，v，0）改为SZ（u，v，0），并令l0＝m0＝0，n0＝1，即以
代入（10-145）式中的
。
