两个三阶矩阵相乘等于0如何判断矩阵的秩

发布网友 发布时间：2024-10-05 05:17

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热心网友 时间：2024-10-05 18:37

关系： r(A)+r(B)=n；

推导过程如下：

设AB = 0, A是mxn, B是nxs 矩阵；

则 B 的列向量都是 AX=0的秩；

所以 r(B)=n-r(A)；

所以 r(A)+r(B)=n。

扩展资料：

秩性质

我们假定 A是在域 F上的 m× n矩阵并描述了上述线性映射。

只有零矩阵有秩 0 A的秩最大为 min(m,n) f是单射，当且仅当 A有秩 n（在这种情况下，我们称 A有“满列秩”）。

f是满射，当且仅当 A有秩 m（在这种情况下，我们称 A有“满行秩”）。

在方块矩阵A（就是 m= n) 的情况下，则 A是可逆的，当且仅当 A有秩 n（也就是 A有满秩）。如果 B是任何 n× k矩阵，则 AB的秩最大为 A的秩和 B的秩的小者。

即：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B)) 推广到若干个矩阵的情况。

就是：秩（A1A2...Am)≤min（秩（A1），秩（A2），...秩（Am)) 证明：考虑矩阵的秩的线性映射的定义，令A、B对应的线性映射分别为 f和 g，则秩（AB)表示复合映射 f·g，它的象 Im f·g是 g的像 Im g在映射 f作用下的象。

然而 Im g是整个空间的一部分，因此它在映射 f作用下的象也是整个空间在映射 f作用下的象的一部分。也就是说映射 Im f·g是Im f的一部分。

对矩阵就是：秩（AB）≤秩（A）。对于另一个不等式：秩（AB）≤秩（B），考虑 Im g的一组基：（e1，e2，...，en），容易证明（f(e1），f(e2），...，f(en））生成了空间 Im f·g，于是 Im f·g的维度小于等于Im g的维度。

对矩阵就是：秩（AB）≤秩（B）。因此有：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B））。若干个矩阵的情况证明类似。

作为 "" 情况的一个例子，考虑积 两个因子都有秩 1，而这个积有秩 0。可以看出，等号成立当且仅当其中一个矩阵（比如说 A）对应的线性映射不减少空间的维度，即是单射，这时 A是满秩的。

于是有以下性质：如果 B是秩 n的 n× k矩阵，则 AB有同 A一样的秩。如果 C是秩 m的 l× m矩阵，则 CA有同 A一样的秩。A的秩等于 r，当且仅当存在一个可逆 m× m矩阵 X和一个可逆的 n× n矩阵 Y使得 这里的 Ir指示 r× r单位矩阵。证明可以通过高斯消去法构造性地给出。

矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数（这就是秩-零化度定理）。

关系是r(A)+r(B)=n。

因为AB=0，所以B的每一列都是线性方程组AX=0的解。而根据线性方程组理论，AX=0的基础解系中线性无关的解的个数（或者说解空间的维数）≤ n-r(A)。

而B的列向量组是解空间的一部分，所以B的列向量组中的极大线性无关组中的向量个数(就是秩r(B))一定≤基础解系中线性无关的解的个数，也就是≤ n-r(A)，所以r(B)≤ n-r(A)，从而r(A)+r(B)=n。

扩展资料

方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。

设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

定义1、在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。

定义2、A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得：

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在rmin(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

由行列式的性质1(1.5)知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。