...的n次方根减一与x / n等阶(n∈自然数)?《高等数学——极限》高手帮忙...

发布网友 发布时间：2024-10-23 22:44

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热心网友 时间：2024-11-11 10:53

1、lim[x--->0] x/(e^x-1)
换元：令e^x-1=t，则x--->0时，t---->0，x=ln(1+t)
=lim[t--->0] ln(1+t)/t
=lim[t--->0] (1/t)ln(1+t)
=lim[t--->0] ln[(1+t)^(1/t)]
=lne
=1
因此：e^x-1与x等价

2、n次方差公式：由于(a-1)[a^(n-1)+a^(n-2)+...+a+1]=aⁿ-1
则：a-1=(aⁿ-1)/[a^(n-1)+a^(n-2)+...+a+1]
将a换成(1+x)^(1/n)，得：(1+x)^(1/n)-1=x/[(1+x)^((n-1)/n)+(1+x)^((n-2)/n)+...+(1+x)^(1/n)+1]
lim [(1+x)^(1/n)-1]/(x/n)
将分子换成：x/[(1+x)^((n-1)/n)+(1+x)^((n-2)/n)+...+(1+x)^(1/n)+1]
则x与分母的x消去
=lim n/[(1+x)^((n-1)/n)+(1+x)^((n-2)/n)+...+(1+x)^(1/n)+1]
将x=0代入上式
=lim n/(1+1+...+1)
=1
因此：(1+x)^(1/n)-1与x/n等价。

热心网友 时间：2024-11-11 10:58

用泰勒公式一步就得出来了。用带o()的那个。叫皮亚诺余项吧。

热心网友 时间：2024-11-11 10:54

这是高数里的等价无穷小啊，用洛必达法则啊