...A1B1C1中,AB=AC=2AA1=2,sin∠ABC=32,D是BC的中点.(1)求证:A1B∥...
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发布时间：2024-10-23 19:20
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（1）证明：连接A1C交AC1于点O，连接OD，
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1是矩形，∴A1O=OC．
又∵D是BC的中点，∴A1B∥OD．
∵A1B?平面AC1D，OD?平面AC1D．
∴A1B∥平面AC1D．
（2）在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点．
∴AD⊥BC．
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1B⊥底面ABC，∴B1B⊥AD．
又B1B∩BC=B，∴AD⊥侧面BCC1B1．
∵AD?平面AC1D，
∴平面AC1D⊥平面BCC1B1．
（3）在Rt△ABD中，∵sin∠ABD＝32，∴∠ABD=60°．
∵AB=2，∴AD＝3，BD=1．
∴VB?AC1D=VC1?ABD=13S△ABD×C1C=13×12×3×1×1=36．
