直三棱柱ABC_A1B1C1.CA=CB=1.角BCA=90.AA1=2.M,N分别是A1B1.A1A的中点...
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发布时间：2024-10-23 17:20
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1、∵AA1⊥平面ABC，AC∈平面ABC，
∴AA1⊥AC，
∴△ACN是RT△，
NA=AA1/2=1，
根据勾股定理，
NC=√(AC^2+NA^2)=√(1+1)=√2，
2、延长BA至E，使AE=BA，连结A1E，CE，
则四边形A1B1AE是平行四边形，
A1E//AB1，
∴〈EA1C与A1C和B1A所成角相等，
A1E=AB1，
∵△ACB是等腰RT△，
∴AB=√2，
根据勾股定理，
AB1=√(BB1^2+AB^2)=√6，
A1E=AB1=√6，
A1C=√5，
在△EAC中，〈EAC=180°-45°=135°，
根据余弦定理，
EC^2=AE^2+AC^2-2AE*AC*cos135°=5，
在△A1EC中，根据余弦定理，
cos<EA1C=(A1E^2+A1C^2-EC^2)/(2A1E*A1C)
∴直线B1A和CA1所成角的余弦值为√30/10。
3、∵△C1A1B1是等腰RT△，M是A1B1的中点，
∴C1M⊥A1B1，
∵平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，
∴C1M⊥平面ABB1A1，(若二平面互相垂直，则一平面上直线若垂直交线，则该直线垂直于另一平面)，
∵A1B∈平面ABB1A1，
∴A1B⊥C1M。
