...Y=ax²+bx+c(a>0)经过点B(12,0)和C(0,-6),对称轴为x=2 求该...
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发布时间：2024-10-23 17:13
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（1）由题意抛物线y=ax^2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，-6），对称轴为x=2，根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式；
（2）假设存在，设出时间t，则根据线段PQ被直线CD垂直平分，再由垂直平分线的性质及勾股定理来求解t，看t是否存在；
（3）假设直线x=1上是存在点M，使△MPQ为等腰三角形，此时要分两种情况讨论：①当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点；②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点；然后再根据等腰三角形的性质及直角三角形的勾股定理求出M点坐标．
解：（1）方法一：∵抛物线过C（0，-6）
∴c=-6，即y=ax^2+bx-6
由 −b/2a＝2
144a+12b−6＝0
解得：a=1/16，b=-1/4
∴该抛物线的解析式为y=x^2/16−x/4−6
方法二：∵A、B关于x=2对称
∴A（-8，0）
设y=a（x+8）（x-12）
C在抛物线上
∴-6=a×8×（-12）
即a=1/16
∴该抛物线的解析式为：y= x^2/16−x/4−6；
（2）存在，设直线CD垂直平分PQ，
在Rt△AOC中，AC=根号(8^2+6^2) =10=AD，
∴点D在对称轴上，连接DQ，显然∠PDC=∠QDC
由已知∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，
∴DQ∥AC
∴DB=AB-AD=20-10=10，
∴DQ为△ABC的中位线，
∴DQ=1/2AC=5，
∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，
∴t=5÷1=5（秒），
∴存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分
在Rt△BOC中，BC=根号（6^2+12^2)＝6根号5 ，
而DQ为△ABC的中位线，
∴CQ=3根号5 ，
∴点Q的运动速度为每秒3根号5/ 5 单位长度；
（3）存在，过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=3，PH=9
在Rt△PQH中，PQ=92+32 ＝3/10
①当MP=MQ，即M为顶点，
设直线CD的直线方程为：y=kx+b（k≠0），
则：−6＝b 0＝2k+b
解得：
b＝−6
k＝3
∴y=3x-6
当x=1时，y=-3，
∴M1（1，-3）
②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点．
设直线x=1上存在点M（1，y），
则OP=3，点M的横坐标为1，纵坐标为y，根据勾股定理得PM2^2=4^2+y^2，
又PQ^2=90，
则4^2+y^2=90，
即y＝±根号74
∴M2（1,根号74），M3(1，−根号74 )
③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点，
过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F（1，-3）
设直线x=1存在点M（1，y），由勾股定理得：
（y+3）^2+5^2=90 即y=-3±根号65
∴M4(1，−3+根号65 )，M5(1，−3−根号65 )
综上所述：存在这样的五点：
M1（1，-3），M2（1，根号74），M3(1，−根号74 )，M4(1，−3+根号65 )，M5(1，−3-根号65 )．
