f(x,y)=(x^2+y^2)sin1/x^2+y^2),(x,y)≠(0,0) 0,(x,y)

发布网友 发布时间：2024-10-23 23:54

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热心网友 时间：2024-11-14 23:27

证明过程如下：

f(x,y)={(x^2+y^2)sin[1(/x^2+y^2)]，(x，y)≠(0，0) 

{0，(x，y)=(0，0)

∂f/∂x=2xsin[1/(x^2+y^2)]+(x^2+y^2)cos[1/(x^2+y^2)]*[-2x/(x^2+y^2)^2]

=2xsin[1/(x^2+y^2)]-2x/(x^2+y^2)*cos[1/(x^2+y^2)],(x,y)≠(0,0)

lim<△x→0>(△x）^2sin[1/(△x)^2]/△x=0

同理，∂f/∂y=2ysin[1/(x^2+y^2)]-2y/(x^2+y^2)*cos[1/(x^2+y^2)]，(x,y)≠(0,0)

0,(x,y)=(0,0)

∴f'x(x，0)=2xsin(1/x^2)-2/x*cos(1/x^2),x→0时第一项的极限为0，第二项的极限不存在。

∴f'x在(0,0)处不连续，同理，f'y在(0,0)处不连续。

设u=f(x,y),p=√[(△x)^2+(△y)^2],r=psin(1/p^2)

在原点处，△u=[(△x)^2+(△y)^2]sin{1/[(△x)^2+(△y)^2]}-0

=p^2sin(1/p^2)=0*△x+0*△y+pr,

当p→0时r→0，根据微分的定义，f(x,y)在原点的微分存在。

全微分概念：

如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)

可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)

其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即dz=AΔx +BΔy

该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。

热心网友 时间：2024-11-14 23:27

简单计算一下即可，答案如图所示

热心网友 时间：2024-11-14 23:33

f(x,y)={(x^2+y^2)sin[1(/x^2+y^2)]，(x，y)≠(0，0) ;
...........{0，(x，y)=(0，0).
∂f/∂x=2xsin[1/(x^2+y^2)]+(x^2+y^2)cos[1/(x^2+y^2)]*[-2x/(x^2+y^2)^2]
=2xsin[1/(x^2+y^2)]-2x/(x^2+y^2)*cos[1/(x^2+y^2)],(x,y)≠(0,0);
lim<△x→0>(△x）^2sin[1/(△x)^2]/△x=0.
同理，∂f/∂y=2ysin[1/(x^2+y^2)]-2y/(x^2+y^2)*cos[1/(x^2+y^2)]，(x,y)≠(0,0)
0,(x,y)=(0,0).
∴f'x(x，0)=2xsin(1/x^2)-2/x*cos(1/x^2),x→0时第一项的极限为0，第二项的极限不存在，
∴f'x在(0,0)处不连续，同理，f'y在(0,0)处不连续。
设u=f(x,y),p=√[(△x)^2+(△y)^2],r=psin(1/p^2),
在原点处，△u=[(△x)^2+(△y)^2]sin{1/[(△x)^2+(△y)^2]}-0
=p^2sin(1/p^2)=0*△x+0*△y+pr,
当p→0时r→0，根据微分的定义，f(x,y)在原点的微分存在。