初等几何的著名问题目录
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发布时间：2024-10-24 01:22
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时间：2024-10-31 13:31
本文将探索初等几何中的一些著名问题，包括实际作图和理论作图的探讨。我们首先介绍代数形式问题的说明，然后深入研究代数表达式的作图可能性，特别是通过平方根求解的代数方程的作图方法。随后，我们关注Delian问题和角的三等分的理论背景与不可能性，接着探讨圆的等分问题及其与Gauss的贡献。此外，我们将深入分析正17边形的几何作图以及代数作图的一般情形。最后，本文将讨论超越数的存在性及其与圆的求积的关系。
在代数表达式的作图可能性中，我们首先关注那些可以通过平方根求解的代数方程的作图可能性。这涉及表达式x的结构、正规形式以及共轭值，同时探索对应方程F(x)=0、有理方程f(x)=0和不可约方程φ(x)=0的作图。我们进一步研究不可约方程的次数为2的幂的情况。此外，我们讨论了Delian问题和角的三等分的不可能性，以及一般方程x3=λ与用直尺和圆规三等分角的不可能性。
接着，我们转向圆的等分问题，回顾其历史，并强调Gauss的贡献。Gauss的素数在这一问题中发挥关键作用，同时我们介绍了割圆方程、Gauss引理以及割圆方程的不可约性。随后，我们探讨了正17边形的几何作图，从问题的代数表述到根形成的周期，以及通过周期满足的二次方程进行的作图历史说明。最后，我们介绍了正17边形的Von Staudt的作图方法。
在代数作图的一般情形中，我们涉及折纸、圆锥曲线的交、Diocles的蔓叶线、Nicomedes的蚌线以及机械设备等。这些方法展示了代数作图的广泛性和灵活性。
本文的第二部分探讨超越数和圆的求积的关系。首先，我们通过Cantor的证明了解代数数和超越数的定义以及代数数按高度的排列，进而证明了超越数的存在性。随后，我们回顾了关于兀的计算和作图的历史概观，从经验时期到现代分析，再到1770年起对严格性的复兴。最后，我们探讨了数e和兀的超越性，以及积分仪与兀的几何作图。
