正方形ABCD边长为4,点E、F分别是AB、BC上动点,且角EDF=45度,求四边...
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发布时间：2024-10-24 11:31
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热心网友
时间：2024-11-02 15:35
设∠ADE=α，∠CDF=45°-α，
四边形DEBF面积最大的时候，就是△ADE和△CDF面积之和最小的时候，
S(α)=S△ADE+S△CDF=AD×AE÷2+CD×CF÷2=AD²×tanα÷2+CD²×tan(45°-α)÷2
=8[tanα+tan(45°-α)]，
令tanα=x，
S(x)=8[x+(1-x)/(1+x)]=8[(x+1)+2/(x+1)-2]，
(x+1)²=2，即tanα=x=√2-1时，即α=22.5°时，
S(x)有最小值S(√2-1)=16(√2-1)，
四边形面积最大值Sdebf=4×4-16(√2-1)=16(2-√2)。
热心网友
时间：2024-11-02 15:33
BE=x，BF=y
x^2+y^2=(8-x-y)^2
xy-8(x+y)+32=0
因为 (√x-√y)^2>=0
所以 xy+32=8(x+y)>=16√(xy)
[√(xy)-8]^2>=32
√(xy)<=8-4√2 or √(xy)>=8+4√2(舍去)
xy<=32(3-2√2)
四边形DEBF面积=xy/4+8
所以，四边形DEBF面积最大值=8(3-2√2)+8=16(2-√2)
此时，x=y=8-4√2
