...做:f(x)在[0,1]勒贝格可积且有届,是否存在[0,1]上的黎曼可积函数g...
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既然你知道类Cantor集, 其实不难构造这个反例.
设E是包含于[0,1]并具有正测度的类Cantor集, 取f(x)为E的特征函数.
显然f(x)有界, 可测, Lebesgue可积.
由E没有内点, 易见E中的点都是f(x)的不连续点.
设S = {x∈[0,1] : f(x) ≠ g(x)}, 由已知m(S) = 0.
以下证明E-S中都是g(x)的不连续点.
任取a ∈ E-S, 有g(a) = f(a) = 1.
对任意δ > 0, (a-δ,a+δ)-E是一个非空开集, 因此具有正测度,
又m(S) = 0, 故m((a-δ,a+δ)-E-S) = m((a-δ,a+δ)-E) > 0,
(a-δ,a+δ)-E-S非空, 即存在b满足: |b-a| < δ, g(b) = f(b) = 0.
由δ的任意性, g(x)在a不连续.
最后, 由m(E-S) = m(E) > 0, g(x)的不连续点集不是零测集, 从而不是Riemann可积的.
