...为R的奇函数.(1)求k的值;(2)(理)若f(1)=32,
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发布时间：2024-10-24 02:56
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时间：2024-10-30 14:25
（1）由题意，对任意x∈R，f（-x）=-f（x），
即a-x-（k-1）ax=-ax+（k-1）a-x，
即（k-1）（ax+a-x）-（ax+a-x）=0，（k-2）（ax+a-x）=0，
因为x为任意实数，所以k=2．
解法二：因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=0，即1-（k-1）=0，k=2．
当k=2时，f（x）=ax-a-x，f（-x）=a-x-ax=-f（x），f（x）是奇函数．
所以k的值为2．
（2）（理）由（1）f（x）=ax-a-x，因为f(1)＝32，所以a?1a＝32，
解得a=2．
故f（x）=2x-2-x，g（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x），
令t=2x-2-x，则22x+2-2x=t2+2，由x∈[1，+∞），得t∈[32 ， +∞)，
所以g（x）=h（t）=t2-2mt+2=（t-m）2+2-m2，t∈[32 ， +∞)
当m＜32时，h（t）在[32 ， +∞)上是增函数，则h(32)＝?2，94?3m+2＝?2，
解得m＝2512（舍去）．
当m≥32时，则f（m）=-2，2-m2=-2，解得m=2，或m=-2（舍去）．
综上，m的值是2．
（2）（文）由（1）知f（x）=ax-a-x，由f（1）＜0，得a?1a＜0，解得0＜a＜1．
当0＜a＜1时，y=ax是减函数，y=-a-x也是减函数，所以f（x）=ax-a-x是减函数．
由f（x2+tx）+f（4-x）＜0，所以f（x2+tx）＜-f（4-x），
因为f（x）是奇函数，所以f（x2+tx）＜f（x-4）．
因为f（x）是R上的减函数，所以x2+tx＞x-4即x2+（t-1）x+4＞0对任意x∈R成立，
所以△=（t-1）2-16＜0，
解得-3＜t＜5．
所以，t的取值范围是（-3，5）．
