黎曼积分和勒贝格积分的区别
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发布时间：2024-10-24 08:19
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时间：2024-10-25 02:13
黎曼积分与勒贝格积分是两种不同的积分方法，它们在概念上有所区别。黎曼积分基于区间划分，将被积函数在每个区间上取值进行求和，强调函数在定义域上的连续性，如若函数在某些点不连续，黎曼积分将无法计算，例如分段函数D(x)，它在无理数上为0，有理数上为1，这样的函数在黎曼积分下是不可积的。
相比之下，勒贝格积分则更注重值域的测量。在勒贝格积分中，同样的值域区间可能对应多个定义域区间，它的核心思想是求解函数值对应定义域的测度之和，与黎曼积分的求和顺序相反。形象地说，可以想象钞票面额代表值域，钞票张数代表定义域，如迪利克雷函数，虽然有理数的测度为0，无理数的测度为1，因此勒贝格积分的结果为0，因为所有有理数的贡献被无理数的测度1完全抵消。
