...且a≠0)在x=1处取得极值.(I) 当a=1时,求f(x)的单
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发布时间：1天前
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时间：22小时前
（I）因为f（x）=lnx+ax 2 +bx所以f′（x）= 1 x +2ax+b，…（2分）
因为函数f（x）=lnx+ax 2 +bx在x=1处取得极值
f′（1）=1+2a+b=0…（3分）
当a=1时，b=-3，f′（x）= 2 x 2 -3x+1 x ，
f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x （0， 1 2 ） 1 2 （ 1 2 ，1） 1 （1，+∞） f′（x） + 0 - 0 + f（x） 增 极大值 减 极小值 增 …（5分）
所以f（x）的单调递增区间为（0， 1 2 ），（1，+∞）
单调递减区间为（ 1 2 ，1）…（6分）
（II）因为f′（x）= (2ax-1)(x-1) x
令f′（x）=0，x 1 =1，x 2 = 1 2a …（7分）
因为f（x）在 x=1处取得极值，所以x 2 = 1 2a ≠x 1 =1，
当 1 2a ＜0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减
所以f（x）在区间（0，e]上的最大值为f（1），
令f（1）=1，解得a=-2…（9分）
当a＞0，x 2 = 1 2a ＞0
当 1 2a ＜1时，f（x）在（0， 1 2a ）上单调递增，（ 1 2a ，1）上单调递减，（1，e）上单调递增
所以最大值1可能在x= 1 2a 或x=e处取得
而f（ 1 2a ）=ln 1 2a +a（ 1 2a ） 2 -（2a+1） 1 2a =ln 1 2a - 1 4a ＜0
所以f（e）=lne+ae 2 -（2a+1）e=1，解得a= 1 e-2 …（11分）
当1≤ 1 2a ＜e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，（1， 1 2a ）上单调递减，（ 1 2a ，e）上单调递增
所以最大值1可能在x=1或x=e处取得
而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0
所以f（e）=lne+ae 2 -（2a+1）e=1，
解得a= 1 e-2 ，与1＜x 2 = 1 2a ＜e矛盾…（12分）
当x 2 = 1 2a ≥e时，f（X）在区间（0，1）上单调递增，在（1，e）单调递减，
所以最大值1可能在x=1处取得，而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0，矛盾
综上所述，a= 1 e-2 或a=-2．…（13分）
