已知函数f(x)=x 2 -(2a+1)x+alnx.(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调增区间...
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发布时间：22小时前
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时间：20小时前
f（x）的定义域为x＞0
（I）将a=1代入f（x）得f（x）=）=x 2 -3x+lnx
所以f′（x）= 2x-3+ 1 x = 2 x 2 -3x+1 x
令f′（x）＞0得 0＜x＜ 1 2 或x＞1
所以函数的单调增区间 (0， 1 2 )，(1，+∞)
（II） f′(x)=2x-(2a+1)+ a x = 2 x 2 -(2a+1)x+a x
令f′（x）=0得 x= 1 2 (舍)或x=a
当a≤1时，在区间[1，e]上，f′（x）＞0
f（x）在区间[1，e]上的单调递增
所以[f（x）] min =f（1）=-2a；
当1＜a＜e时，f（x）在[1，a]单调递减，在[a，e]上单调递增
所以[f（x）] min =f（a）=-a 2 -a+alna；
当a≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减
所以[f（x）] min =f（e）=e 2 -2ae-e+a．
（III）令x 2 -（a+2）x+alnx≥0在 [ 1 e ，e] 上有解．
即x 2 -2x≥a（x-lnx），由于x-lnx在 [ 1 e ，e] 上为正数
∴问题转化为 a≤ x 2 -2x x-lnx 在 [ 1 e ，e] 上有解
令h（x）= x 2 -2x x-lnx ，下求此函数在 [ 1 e ，e] 的最大值
由于当x＜2时，h（x）为负，下研究h（x）在（2，e）上的单调性，
由于h′（x）= (x-1)(x+2-2lnx) (x-lnx) 2 ＞0成立，所以h（x）= x 2 -2x x-lnx 在（2，e）上是增函数，又 h (e) = e 2 -2e e-1 ＞0
所以 h(x) max = e 2 -2e e-1
故实数a的取值范围为 a≤ e 2 -2e e-1
