线性代数预习自学笔记-21:根子空间分解
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根子空间分解是线性代数中一个重要的概念，它扩展了对角化方法的应用。对于一个可对角化的矩阵，其特征向量构成一组基，并且这些特征向量分别属于特定的零空间。直和分解允许我们根据特征值对应的零空间对特征向量进行分组。对角化意味着矩阵可以表示为其特征向量的线性组合，每个特征子空间是相应的根子空间的子集。
对非对角化的矩阵，我们引入了广义特征向量和根子空间的概念。广义特征向量是满足特定关系的非零向量，它们的指数决定了与常规特征向量的区别。根子空间是广义特征向量的集合，表示特定特征值的集合。根子空间的大小随着指数的增加而扩大，但受限于矩阵的秩，有一个上界。
定理21.2给出了根子空间大小的上界，而定理21.1保证了指数较高的根向量不能由指数较低的向量线性组合出来。通过这些定理，我们能够分解线性变换的核空间和像空间，它们的和等于整个空间，这是根子空间分解的核心。
定理21.3（Fitting引理）进一步指出，线性算子的某些特性与根子空间的结构无关。通过数学归纳法，我们证明了当矩阵具有不同特征值时，其根子空间的直和等于整个空间。
最后，定理21.5（根子空间分解）总结了所有这些努力，它表明一个线性算子的特征值对应的根子空间的直和定义了整个空间。这个分解是线性代数中若尔当标准型的基础之一，将在后续笔记中深入探讨。
